KA 2 Mathematik Pflichtteil ohne Hilfsmittel

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Volker Kramer
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1 KA Mathematik Pflichtteil ohne Hilfsmittel Nr. 1. / P Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion f (x)=x (sin(x)). Handelt es sich bei P(0 0) um einen Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt der Funktion? Tipp: Bestimme dazu das Vorzeichen von f'(-1) und f'(+1). Nr.. / 1 + 0,5 + 1 P a) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit f (x)=e 4 x + 4 x, b) sowie lim x f (x). c) Bestimme 1 x+x ² dx. Nr 3. / P Lösen Sie das lineare Gleichungssystem, i.e. alle Lösungen müssen angegeben werden. 6 x x 4 x 3 1 x x x 1 + x x 3 = 3 Nr. 4. / 1 + 0,5 + 1 Gegeben ist die Ebene E und die Gerade g durch: ( E :x 1 +x + x 3 = g : x= 3 ) 4 +r ( ) a) Ermitteln Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E. b) Bestimme den Schnittpunkt von E mit der x Achse des Koordinatensystems. c) Der Punkt P(10 5 ) wird an E gespiegelt, bestimme den Spiegelpunkt P'. Nr. 5. / 0,5 + 1 P Ein Fußballspieler verwandelt erfahrungsgemäß 90% aller Elfmeter. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verwandelt er von drei Elfmetern - nur den letzten (vollständig ausrechnen) - mindestens zwei? (Binomialkoeffizient ermitteln, restlicher Rechenterm stehen lassen)

2 LÖSUNGEN 1 a) f ' (x)=sin (x) + xcos(x)sin(x) b) Es ist ein Sattelpunkt, da kein VZW von f'(x) vorliegt: f ' ( 1)=sin ( 1) + ( 1) cos( 1) sin( 1)=(negativ) +negativ (negativ positiv)>0 f ' (1)=sin(1) + (1) cos(1) sin (1)=positiv + ( positv positiv)>0 a) F(x)= 1 4 e 4 x 4 x b) lim x f (x)=0 c) 1 x+x ² dx=[x x3 ] 1 =6 3 6 x 1 +9x 4 x 3 1 x 1 +6x +0x 3 x 1 +x x 3 = 3 6 x 1 +9x 4 x 3 1x 1 +6x +0x 3 10 x 1 +5x 0 x 3 =0 ( 4 III +I) 6 x 1 +9x 4 x 3 6 x 1 +3x +0x 3 =4 (: ) x 1 +1x 0 x 3 =4 (:5) Aus II 3 III ergibt sich 0=-8, also hat das LGS keine Lösungen! 4 a) (3+r)+(-4-3r)-r= r=0 S(3-4 0) b) x_= S(0 0) c) h: x= ( 10 5 ) +r ( ) 1 schneiden mit E: ( 10 + r ) r + ( + r ) = 0 + 4r r r = 7= -9r -3=r also r=-6 einsetzen um zu P'( ) zu gelangen. 5 a) P(X daneben, Y daneben, Z Treffer) = 0,1 * 0,1 * 0,9 = 0,009 b) P(X 3 )=P (X 3 =)+P(X 3 =3)= ( 3 ) 0,9 0,1 1 +0,9 3

3 KA Mathematik Wahlteil mit den Hilfsmitteln GTR / Formelsammlung 1. / 0,5 + 0,5 + 0,5 + 1 Gegeben ist die Funktion f mit f (t)= 4000, 0,7t 1+4 e 0 t 7,7. Diese Funktion beschreibt modellhaft die Anzahl der Wörter im Englischsprachwortschatzes der G8 Schülerin Eva. t ist dabei die Anzahl der Jahre seit der Einschulung in die 5. Klasse, t=7,7 der Zeitpunkt des Abiturs. a) Skizzieren Sie das Schaubild von f. b) Nach wie vielen Jahren kennt Eva 1500 Wörter? c) Wie viele Wörter lernt Eva durchschnittlich pro Jahr? d) Zu welchem Zeitpunkt lernt Eva die meisten Wörter? Gib diese Änderungsrate an und berechne wie viele Wörter sie in einem Monat lernen würde, wenn sie in diesem besten Tempo weiterlernen könnte.. / 1 + 0,5 P Angenommen nach dem Abitur beherrscht Eva 3500 Wörter. Da sie nur noch selten Englisch spricht vergisst Eva leider jedes Jahr 10% der Wörter. a) Warum ist die Modellierung durch W (x)=3500 0,9 x zu dieser Situation genauer als durch W (x)=3500e 0,1x. Für b) kannst Du eine Modellierung aussuchen! b) Nach wie vielen Jahren hat sich der Wortschatz von Eva halbiert? 3. / P Evas Französischwortschatz beträgt irgendwann nach dem Abi noch 1500 Wörter. Modellhalt lernt sie durch Sprach CDs jährlich 400 Wörter hinzu, hat aber trotzdem eine momentane Vergessensrate von % der jeweils bekannten Wörter. a) Durch welche Differenzialgleichung lässt sich die Entwicklung des Wortschatzes Französisch beschreiben? b) Bestimme den Funktionsterm der die Anzahl der Wörter angibt und skizziere ihn ganz grob.

4 LÖSUNGEN 1a) b) GTR: INTERSECT Nach 3,81 Jahren f (7,7) f (0) c) mit GTR (z.b. Y1(7.7)... ): 447,44 Wörter pro Jahr. 7,7 0 d) Man sucht den Wendepunkt, an der Skizze erkennt man bereits ca. nach 5 Jahren. GTR: Y=nderive(Y1,X,X) GRAPH: nd Calc Minimum von Y finden. x=4,54 mit y=700 Wörter würde Sie also in dem Tempo lernen so wären das 700 Wörter pro Jahr, oder 58,3 Wörter pro Monat. a) Die erste Modellierung trifft die Situation exakt, die zweite nicht. Die zweite wäre dann exakt wenn es heißen würde: Zu jedem Zeitpunkt beträgt ihre Vergessensrate der bekannten Wörter 10%. b) Für die erste Modellierung berechnet man: 1 =0,9x ln() ln(0,5)=x ln( 0,9) ln(0,9) ln(0,5) ln(0,9)=x 6,58=x Für die zweite Modellierung lässt sich die Halbwertszeit mit der Formelsammlung bestimmen: T H = ln() =6,93 Jahre. 0,1 3a W '(x)=400 0,0 W (x) 3b Mit der FS ergibt sich die Differenzialgleichung Lösung: W (x)= e 0,0 x W ' (x)=400 0,0 W (x) W '(x)=0,0(0000 W (x)) mit der

5 4. / Die Funktion f (x)=x e (sin(x)) und die Gerade die durch den ersten Hochpunkt A und den Wendepunkt B verläuft schließen eine Fläche ein. a) Ermitteln Sie die relevanten Größen und notiere sie auf dem Blatt. b) Berechnen Sie die beschriebene Fläche. c) Geben Sie den Ansatz an, wie auch das Rotationsvolumen berechnet werden könnte, das entsteht wenn die genannte Fläche um die x-achse gedreht wird. Die Lösungen sind spätestens ab Sonntag unter Schule 1 Mathematik abrufbar. Die korrigierte KA kann voraussichtlich ab Dienstag in der Schule abgeholt werden. Viel Erfolg!!

6 LÖSUNG: Hier sind kleine Abweichungen möglich da der GTR nicht immer die HP / WP exakt findet. a) Relevant ist der Hochpunkt A und der Wendepunkt B: A(,07 4,98) über nd Calc Maximum B(7,06 14,9) über maximum von y=nderive(y1,x,x) Die Gerade g durch A und B hat die Steigung m= 14,9 4,98 7,06,07 1,866 Den y-achsenabschnitt erhält man aus y=1,866x+c A(,07 4,98) einsetzen 4,98=1,866 *,07+c nach c auflösen 4,98-3,86 = 1,118 = c also g: y=1,866x + 1,118 Man kann nun im GTR eintippen Y1= x e^sin(x) Y=1,866x + 1,118 fnint(y-y1, X,,07, 7,06 ) = 7,53 Alternativ könnte man beide Flächen berechnen und voneinander abziehen: 7,06 c) Vol=π,07 g(x) 7,06 dx π,07 f (x) 7,06 dx=π,07 g(x) f (x) dx wobei g die Gerade von oben ist.

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