Eigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)

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1 Eigenwerte Teschl/Teschl 4. Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x 0, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x = A λi n x = 0. Der Skalar λ ist dann ein Eigenwert von A, mit sagt x ist Eigenvektor zum Eigenwert λ. Beispiel Mit A = Es folgt, dass x = λ = 3 ist. und x = ist Ax = 3 3 = 3 x. Eigenvektor von A zum Eigenwert eigenwerte4.pdf, Seite

2 Beispiel 0, 8 0, 6 Die Matrix Q = beschreibt eine Spiegelung an 0, 6 0, 8 der Geraden durch 0; 0 und 3;. Für alle Vektoren v auf der Spiegelachse, d. h. die skalaren Vielfachen von 3;, gilt Qv = v = v. Somit besteht die Spiegelachse aus Eigenvektoren zum Eigenwert. Die skalaren Vielfachen w von ; 3 stehen senkrecht zur Spiegelachse. Damit gilt Qw = w = w, d. h. diese Vektoren sind Eigenvektoren zum Eigenwert. Man kann nachprüfen, dass Vektoren, die auf keiner dieser beiden Achsen liegen, keine Eigenvektoren von Q sind. Zum, 4 Beispiel Q = kein skalares Vielfaches von. 0, eigenwerte4.pdf, Seite

3 Beispiel 3 Ist A eine 3 3Drehmatrix und x ein Vektor auf der Drehachse, so gilt Ax = x = x. Folglich hat jede 3 3Drehmatrix den Eigenwert und die zugehörigen Eigenvektoren liegen auf der Drehachse. Zum Bespiel sind alle Vektornen der Form t mit t R \ {0} Eigenvektoren zum Eigenwert λ = von A = 3. vgl. Beispiel im Abschnitt lineare Abbildungen eigenwerte4.pdf, Seite 3

4 Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren Man bestimmt im ersten Schritt die Eigenwerte einer gegebenen Matrix A und anschlieÿend im zweiten Schritt zu jedem Eigenwert die zugehörigen Eigenvektoren. Letztere erhält man als Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems. Zur Bestimmung der Eigenwerte dient folgende Überlegung: Es gilt λ ist Eigenwert von A Es gibt einen Vektor x 0 mit Ax = λx = λi n x das LGS A λi n x = 0 hat eine Lösung x 0 die Matrix A λi n = 0 ist singulär nicht regulär deta λi n = 0. eigenwerte4.pdf, Seite 4

5 Charakteristisches Polynom Aus der LaplaceEntwicklung der Determinante folgt, dass p A λ = deta λi n ein Polynom nten Grades in λ ist, das charakteristische Polynom von A. Dessen Nullstellen sind gerade die Eigenwerte. Beispiel: Das charakteristische Polynom von A = ist p A λ = deta λi = det = det λ λ λ 0 0 λ = λ = λ λ 3. Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen 3 und von p A λ. eigenwerte4.pdf, Seite 5

6 Bemerkungen Nur quadratische Matrizen können Eigenwerte und Eigenvektoren haben. Ist A nicht quadratisch, so haben Vektoren x und y = Ax unterschiedliche Dimensionen, so dass y kein skalares Vielfaches von x sein kann. Das charakteristische Polynom einer n nmatrix ist ein Polynom nten Grades und hat somit höchstens n Nullstellen. Diese können reelle oder komplexe Zahlen sein. Auch eine Matrix mit reellen Koezienten kann somit komplexe Eigenwerte haben. Im folgenden werden wir uns auf Beispiele beschränken, wo die Eigenwerte reell sind. Warnung: Die Eigenwerte einer Matrix ändern sich im Allgemeinen bei elementaren Zeilenoperationen. Daher können diese bei der Berechnung von Eigenwerten nicht benutzt werden. eigenwerte4.pdf, Seite 6

7 Berechnung der Eigenvektoren Hat man einen Eigenwert λ bestimmt, so erhält man die zugehörigen Eigenvektoren als Lösung des homogenen LGS A λi n x = 0. Im Beispiel ergeben sich die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = als Lösungen des LGS [ ] 0 x x = = 0 x x x x = t mit t R beliebig. Mit λ = 3 ergibt sich 3 x = 3 x x = t mit t R. x x = x eigenwerte4.pdf, Seite 7

8 Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren Lineare Rekursionen Lineare Dierentialgleichungssysteme, z. B. Schwingungsgleichungen Bestimmung von Wachstumsraten Bestimmung von Maximal- und Minimalwerten von Funktionen mehrerer Veränderlicher Stabilität von Gleichgewichtslösungen dynamischer Systeme Stationäre Verteilungen für MarkovProzesse Dreh und Spiegelachsen bei geometrischen Transformationen eigenwerte4.pdf, Seite 8

9 Beispiel Gegeben sei die lineare Rekursion x n+ = x n + x n. Mit y n = x x erhält man die Vektorgleichung xn+ xn + y = n xn =. y n+ x n 0 y n Die Matrix A = hat das charakteristische Polynom 0 deta λi = λ λ = λ λ mit den Nullstellen λ = und λ =. Die zum Eigenwert λ = gehörenden Eigenvektoren von A sind skalare Vielfache von 0 0 Lösungen des LGS, die Eigenvektoren zu λ = sind skalare Vielfache von 0 0 Lösungen des LGS eigenwerte4.pdf, Seite 9

10 Fortsetzung Beispiel Die Eigenvektoren liefern spezielle Lösungen der Rekursion: x x Mit = = erhält man y x 0 x x x = A = und durch mehrfache Anwendung y y y xn y n = A n x y = n x y = n und damit x n = n x = n. x x Mit = = erhält man analog y x 0 xn xn = = n = n x y n x n n n = n. eigenwerte4.pdf, Seite 0

11 Fortsetzung Beispiel Da Linearkombinationen von Lösungen einer homogenen linearen Rekursion wieder Lösungen sind, ist xn = A n x = p n + q n Lösung y n y x zu den Anfangsbedingungen = p + q, y d. h. x n = p n + q n ist Lösung zu den Anfangsbedingungen x 0 = y = p + q und x = p + q. Ist nun beispielsweise die Anfangsbedingung x 0 = und x = vorgegeben, so sind p und q aus dem linearen Gleichungssystem = p + q = p zu bestimmen. q Die eindeutige Lösung ist p = q =, die Lösung der Rekursion damit x n = n + n. eigenwerte4.pdf, Seite

12 Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren Eine n nmatrix hat höchstens n Eigenwerte. Die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind die Koezienten auf der Diagonale. Ist λ Eigenwert von A, so bildet die Menge aller Eigenvektoren zum Eigenwert λ als Lösungsmenge eines homogenen LGS einen Unterraum des R n, den Eigenraum zum Eigenwert λ. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer linear unabhängig. Hat A n verschiedene Eigenwerte, so gibt es eine aus Eigenvektoren { bestehende Basis des R n. } Beispiel:, ist eine aus Eigenvektoren von A = bestehende Basis des R. eigenwerte4.pdf, Seite

13 Beispiel A = hat das charakteristische Polynom λ 0 0 det 4 λ 0 = λ λ 3 λ λ mit den Nullstellen λ =, λ = und λ 3 = 3. Zur Bestimmung der Eigenvektoren zu λ = löst man das LGS A I 3 x = 0 x = t mit t R, d. h. der Eigenraum zum Eigenwert λ = ist der aus allen skalaren Vielfachen von bestehende eindimensionale Unterraum des R 3. eigenwerte4.pdf, Seite 3

14 Fortsetzung Beispiel A = Zur Bestimmung der Eigenvektoren zu λ = löst man das LGS A Ix = mit der allgemeinen Lösung x = t t bzw. t = t , = t 0 R, die den zugehörigen Eigenraum bildet. mit Analog erhält man den Eigenraum zu λ 3 = 3 als Menge aller skalaren Vielfachen von 0 0. Eine Basis aus Eigenvektoren ist {, 0, 0 0 } eigenwerte4.pdf, Seite 4

15 Geometrische und algebraische Vielfachheit Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ von A ist die Dimension des zugehörigen Eigenraumes. Sie ist gleich der Zahl der frei wählbaren Parameter bei der Lösung des LGS A λi n x = 0. Die algebraische Vielfachheit ist die Vielfachheit von λ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms p A λ, d. h.: ˆλ hat algebraische Vielfachheit k, wenn p A λ = λ ˆλ k qλ mit qˆλ 0. Satz: Die algebraische Vielfachheit ist immer gröÿer gleich der geometrischen Vielfachheit. Insbesondere: Ist λ einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms, so sind die algebraische und die geometrische Vielfachheit gleich. eigenwerte4.pdf, Seite 5

16 Beispiel A = hat das charakteristische Polynom p A λ = det A λi = 7 λ 5 λ 4 9 = λ λ + = λ. Also ist λ = Eigenwert von A mit der algebraischen Vielfachheit. Das LGS A I x = 0 hat die allgemeine Lösung x = t 3 = t 3 R mit t R, die den t zugehörigen Eigenraum bildet. Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ = ist die Dimension dieses Eigenraums, also Zahl der frei wählbaren Parameter. eigenwerte4.pdf, Seite 6

17 Beispiel A = 3 4 hat das charakteristische Polynom p A λ = λ 3 + 3λ + λ 3 mit den einfachen Nullstellen λ =, λ = und λ 3 = 3. Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = sind die Lösungen des LGS A Ix = A + Ix = 3 x = Als allgemeine Lösung erhält man x = t 0,, T mit t R. Analog erhält man Eigenvektoren x = t,, 0 mit t R zum Eigenwert λ = sowie x = t, 3, mit x = t R zum Eigenwert λ 3 = 3. Somit haben die drei Eigenwerte, und 3 jeweils die algebraische und geometrische Vielfachheit. eigenwerte4.pdf, Seite 7

18 Ähnlichkeit von Matrizen Zwei n nmatrizen A und B heiÿen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix U gibt mit Es folgt A = UBU. B = U AU. Die Zuordnung A U AU wird als Ähnlichkeitstransformation bezeichnet. U ist dabei eine Basiswechselmatrix. Die Matrix A ist diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix D ist. Interpretation Ähnliche Matrizen stellen die selbe lineare Abbildung bezüglich unterschiedlicher Basen dar. eigenwerte4.pdf, Seite 8

19 Satz: Diagonalisierung Eine n nmatrix ist genau dann diagonalisierbar ähnlich zu einer Diagonalmatrix wenn es n linear unabhängige Eigenvektoren gibt. Bilden diese die Spalten der Matrix U, so ist U invertierbar Spalten von U linear unabhängig rang U = n und D = U AU ist eine Diagonalmatrix. Hat A n verschiedene Eigenwerte, so sind die zugehörigen Eigenvektoren immer linear unabhängig, also ist A in diesem Fall diagonalisierbar. eigenwerte4.pdf, Seite 9

20 Beispiel Mit A = AU = Mit U = U AU = und U = = eine Diagonalmatrix. = = ist dann ist = D eigenwerte4.pdf, Seite 0

21 Andere Betrachtungsweise AU = = 3 3 Da die Spalten von U Eigenvektoren von A sind, werden sie mit den entsprechenden Eigenwerten und 3 multipliziert. Dies entspricht der Multiplikation von rechts mit der Diagonalmatrix D, deren Koezienten auf der Diagonalen die Eigenwerte und 3 sind: 3 0 AU = = = UD Nach Mulitplikation beider Seiten von links mit U folgt dann U AU = U UD = D. eigenwerte4.pdf, Seite

22 Beispiel A = 3 4 Eigenvektoren U = AU = und U AU = hat die Eigenwerte, und 3 mit , 0 und U = = = Mit ist dann eigenwerte4.pdf, Seite

23 Beweis des Satzes am ersten Beispiel A = hat Eigenvektoren zum Eigenwert λ = und zum Eigenwert λ = 3. Für R gilt dann mit U = x y U x y = x + y AU x y = x A + y A = x + y 3 = U x U AU x y = U U x 3y = x 3y = D x y 0 mit D = Das dies für alle. 0 3 x y R gilt, muss U AU = D sein. eigenwerte4.pdf, Seite 3 3y

24 Umgekehrte Betrachtung Lineare Abbildung x y A x y und D aus dem letzten Beispiel: Darstellung von x y Eigenvektoren Basiswechsel: x y in zwei Schritten mit A, U als Linearkombination von = c + c = U c c c c = U x y Berechnung der linearen Abbildung mit Hilfe von Eigenvektoren und Eigenwerten: A x y = A c + c = c A + c A = c + 3c = U c 3c = UD c c = UDU x y eigenwerte4.pdf, Seite 4

25 Eigenschaften von Ähnlichkeitstransformationen Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrealtion auf der Menge aller n nmatrizen. Ähnliche Matrizen haben die selben Eigenwerte. Die Eigenvektoren von B werden durch U auf die Eigenvektoren von A abgebildet. Es gibt genau dann eine Basis aus Eigenvektoren, wenn die Summe der geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte gleich n ist. Ist A = UBU, so folgt A n = UB n U. eigenwerte4.pdf, Seite 5

26 Beispiel 0, 4 0, 3 A = hat Eigenwerte λ 0, 6 0, = und λ = 0, mit 7 Eigenvektoren v = und v = Für x = gilt z. B. x = v 3 + v 3. Es folgt Ax = 3 Av + 3 Av = 3 v + 30 v sowie A n x = 3 v n v für alle n N. Für n gilt dann lim n A n v = 3 v = /3 4/3. eigenwerte4.pdf, Seite 6

27 Noch mehr Eigenschaften Sind A und B ähnlich, so ist det A = det B. Umgekehrt folgt aus det A = det B aber noch nicht, dass A und B ähnlich sind. Ist A diagonalisierbar, so ist det A das Produkt der Eigenwerte. Die Spur von A, deniert als Summe der Koezienten a ii auf der Diagonalen, ist gleich der Summe der Eigenwerte. Liegt der Körper C der komplexen Zahlen zugrunde, so ist eine Matrix genau dann diagonalisierbar, wenn für alle Eigenwerte die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit ist. Jede n nmatrix lässt sich durch eine Ähnlichkeitstransformation in die Jordansche Normalform bringen. eigenwerte4.pdf, Seite 7

28 Eigenwerte symmetrischer Matrizen Ist A eine symmetrische n nmatrix, so sind alle Eigenwerte reell und ihre geometrische Vielfachheit ist gleich der algebraischen Vielfachheit. Es folgt, dass die Summe der geometrischen Vielfachheiten gleich n ist. Damit gibt es eine Basis des R n aus Eigenvektoren. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander. Folgerung Es gibt es eine aus Eigenvektoren von A bestehende Orthonormalbasis des R n. Äquivalent dazu ist: Es gibt eine orthogonale Matrix Q, sodass Q AQ = Q T AQ diagonal ist. Beispiel: A =, Q = eigenwerte4.pdf, Seite 8

29 Beispiel : A = p A λ = deta λi 3 = det mit der Regel von Sarrus λ λ 0 0 λ = λ λ λ 4 λ 4 λ = λ + λ λ 4 λ λ = λ λ + 8λ = λ λ + 8 = λ 9 λ hat die Nullstellen λ = 0, λ = 3 und λ 3 = 3. Die Eigenvektoren zu λ = 0 erhält man durch Ax = 0 mit t R x = t eigenwerte4.pdf, Seite 9

30 Fortsetzung Beispiel A = Mit λ = 3 erhält man das LGS A + 3I 3 x = mit t R, mit λ 3 = 3 dann A 3I 3 x = x = t mit t R x = t eigenwerte4.pdf, Seite 30

31 Fortsetzung Beispiel A = Wählt man zu jedem Eigenwert einen normierten Eigenvektor, so erhält man die Orthonormalbasis { } 3, 3 Matrix Q = 3 AQ = 3, Q T AQ = 3 =, mit der die orthogonale gebildet werden kann. Es ist sowie = eigenwerte4.pdf, Seite 3

32 Beispiel 3 A = hat die Eigenwerte λ = 3, λ = 3 und λ 3 = 3 mit normierten Eigenvektoren x = , x = und x 3 = x, x und x 3 bilden eine Orthogonalbasis des R 3. eigenwerte4.pdf, Seite 3

33 Fortsetzung Beispiel Ist Q die Matrix mit den Eigenvektoren x, x und x 3 als Spalten, so hat 0 0, , , AQ = = 0 0 0, , , , , , , , , , , , , die Spalten λ x, λ x und λ 3 x 3. 3 Q T 0 0 AQ = d ij = hat dann die Koezienten d ij = x i, λ j x j = λ j x i, x j = { λj, falls i = j 0, falls i j eigenwerte4.pdf, Seite 33

34 Eigenwerte spezieller Matrizen Satz : Ist Q orthogonal, so gilt λ = für alle Eigenwerte λ von Q. Beweis: Für einen Eigenvektor x zum Eigenwert λ gilt x = Qx = λx = λ x. Die erste Gleichung folgt aus den Eigenschaften orthogonaler Matrizen, die letzte aus denen der Vektornorm. Da x Eigenvektor ist, gilt x 0, womit aus obiger Gleichung λ = folgt. Bemerkung und geometrische Interpretation Im allgemeinen können orthogonale Matrizen auch komplexe Eigenwerte mit Betrag haben. Diese treten bei Drehungen auf. Der Eigenwert λ = tritt immer dann auf, wenn an einem Unterraum gespiegelt wird, der Eigenwert λ = + gehört zu Unterräumen, die invariant unter der linearen Abbildung x Qx sind wie z. B. Dreh und Spiegelachsen. eigenwerte4.pdf, Seite 34

35 Satz Eigenwerte einer Projektion Für eine quadratische Matrix A gilt genau dann A = A d. h. A beschreibt eine Projektion, wenn sie diagonalisierbar ist und alle Eigenwerte entweder 0 oder sind. Beweis Ist A Diagonalisierbar mit Eigenwerten {0; }, so gibt es eine invertierbare Matrix U mit A = UDU, wobei D eine Diagoanlmatrix mit ausschlieÿlich mit Nullen und Einsen auf der Diagonale ist. Man rechnet leicht nach, dass für eine solche Matrix gilt D = D und somit A = A A = UDU UDU = UD U = UDU = A. Zum Beweis von stellt man fest, dass Vektoren im Kern von A Eigenvektoren zum Eigenwert 0 sind, Vektoren im Bild von A sind Eigenvektoren zum Eigenwert. Da es zu einer Projektion immer eine Basis bestehend aus solchen Vektoren gibt, ist A diagonalisierbar mit Eigenwerten 0 und. eigenwerte4.pdf, Seite 35