Grundlagen der Technischen Informatik. 5. Übung

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1 Grundlagen der Technischen Informatik 5. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit

2 5. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Boolesche Algebra I Basisssteme I Basisssteme II Boolesche Algebra II Schaltnetze, NAND-Technik

3 5. Übungsblatt Aufgabe 1 Es seien folgende Booleschen Funktionen gegeben: i abc ii iii a b c iv a bc a bc a Auf welche mengentheoretischen Operationen lassen sich i und ii abbilden? i Die Konjunktion entspricht der Schnittmenge ii Die Disjunktion entspricht der Vereinigungsmenge

4 5. Übungsblatt Aufgabe 1 b Geben Sie die Wahrheitswerte der vier Funktionen für folgende Variablenbelegung an: i ii iii iv f f w w abc w f w w c b a f f w f w w c b a ( a = wahr b = wahr c = falsch f f f f w w c b a

5 5. Übungsblatt Aufgabe 2 Bei einem Spaziergang durch die Stadt fällt Ihnen folgende Reklame ins Auge: Zeigen oder widerlegen Sie diese Aussage im Rahmen der Booleschen Algebra.

6 5. Übungsblatt Aufgabe 2 Bei einem Spaziergang durch die Stadt fällt Ihnen folgende Reklame ins Auge. Die Operatorenmenge B := {,+, } bildet ein Basissstem der Booleschen Algebra. Da sich die Disjunktion (+ mittels der De Morgan schen Gesetze auf die Konjunktion ( und Negation ( abbilden lassen, stimmt die Aussage der Reklame.

7 5. Übungsblatt Aufgabe 3 Die Operatoren {,+, } bilden ein Basissstem der Booleschen Algebra. Zeigen Sie mit Hilfe dieser Vorgabe, dass auch die folgenden Mengen von Funktionen jeweils ein Basissstem bilden. a {nor} b {, 0} Der Beweis besteht darin, die Operatoren des Basissstems mit den gegebenen darzustellen.

8 5. Übungsblatt Aufgabe 3 Die Operatoren {,+, } bilden ein Basissstem der Booleschen Algebra. Zeigen Sie mit Hilfe dieser Vorgabe, dass auch die folgenden Mengen von Funktionen jeweils ein Basissstem bilden. a {nor} Negation: nor Konjunktion: nor ( nor nor ( nor Disjunktion: nor ( nor nor ( nor

9 5. Übungsblatt Aufgabe 3 Die Operatoren {,+, } bilden ein Basissstem der Booleschen Algebra. Zeigen Sie mit Hilfe dieser Vorgabe, dass auch die folgenden Mengen von Funktionen jeweils ein Basissstem bilden. b {, 0} Negation: 0 Konjunktion: ( 0 Disjunktion: ( 0 ( ( 0 0

10 5. Übungsblatt Aufgabe 4 Zeigen Sie durch die Anwendung schaltalgebraischer Vereinfachungsregeln, dass die folgenden Gleichungen erfüllt sind. a z z z b c ac ab bc b c mit ab 0 und a b 1 d ab ac ad bcd a bcd e ab acd abd abcd b acd

11 5. Übungsblatt Aufgabe 4 Zeigen Sie durch die Anwendung schaltalgebraischer Vereinfachungsregeln, dass die folgenden Gleichungen erfüllt sind. Regeln: Eklusiv-Oder: Idempotenz: und Absorption: und Consensus: Distributivität: und ( ( ( ( ( ( ( z z z ( ( ( z z ( ( ( z z

12 5. Übungsblatt Aufgabe 4 Zeigen Sie durch die Anwendung schaltalgebraischer Vereinfachungsregeln, dass die folgenden Gleichungen erfüllt sind. a z z z z z z z( z z z ( z ( z z z

13 5. Übungsblatt Aufgabe 4 Zeigen Sie durch die Anwendung schaltalgebraischer Vereinfachungsregeln, dass die folgenden Gleichungen erfüllt sind. b ( ( (

14 5. Übungsblatt Aufgabe 4 Zeigen Sie durch die Anwendung schaltalgebraischer Vereinfachungsregeln, dass die folgenden Gleichungen erfüllt sind. c ac ab bc b c mit ab 0 und a b 1 ac ab bc ab c( a b ab ab c ab c b( a a c b c

15 5. Übungsblatt Aufgabe 4 Zeigen Sie durch die Anwendung schaltalgebraischer Vereinfachungsregeln, dass die folgenden Gleichungen erfüllt sind. d ab ab ac ad bcd a bcd ac ad bcd a( b c d bcd a( b c d bcd abcd bcd a bcd

16 5. Übungsblatt Aufgabe 4 Zeigen Sie durch die Anwendung schaltalgebraischer Vereinfachungsregeln, dass die folgenden Gleichungen erfüllt sind. e ab ab acd abd abcd b acd acd abd abcd ab abd ad( c bc ab ab abd ad( c b abd acd abd ab ab( d d acd ( a a b acd b acd

17 5. Übungsblatt Aufgabe 5 Die Schaltfunktion s( a, b, c a b c bildet die Summe der drei Bits a, b, c (ohne Übertrag. Zeichnen Sie das Schaltnetz von s. a unter ausschließlicher Verwendung von XOR-Gattern mit zwei Eingängen.

18 5. Übungsblatt Aufgabe 5 Die Schaltfunktion s( a, b, c a b c bildet die Summe der drei Bits a, b, c (ohne Übertrag. Zeichnen Sie das Schaltnetz von s. b unter ausschließlicher Verwendung von AND-, OR- und NOT- Gattern. s( a, b, c a b c ( ab ab c ( ab ab c ( ab ab c

19 5. Übungsblatt Aufgabe 5 Die Schaltfunktion s( a, b, c a b c bildet die Summe der drei Bits a, b, c (ohne Übertrag. Zeichnen Sie das Schaltnetz von s. c unter ausschließlicher Verwendung von NAND-Gattern. a b ( ab ab ( ab ab abab ( a b( a b ( ab b( a ab abbaab

20 5. Übungsblatt Aufgabe 5 Die Schaltfunktion s( a, b, c a b c bildet die Summe der drei Bits a, b, c (ohne Übertrag. Zeichnen Sie das Schaltnetz von s. c unter ausschließlicher Verwendung von NAND-Gattern. a b abbaab

21 5. Übungsblatt Danke für die Aufmerksamkeit