Nachklausur Mathematik für Biologen WS 08/09

Transkript

1 Aufgabe 1: (5 Punkte) In einer diploiden Population beobachten wir die Ausprägung eines bestimmten Gens, das zwei Allele V und W annimmt. Somit besitzt jedes Individuum V V, V W oder W W als Genotyp. Die Population besteht zum Beobachtungszeitpunkt aus 500 Individuen mit Genotyp V V, 100 Individuen mit Genotyp V W und 200 Individuen mit Genotyp W W. Berechnen Sie die durch das Hardy-Weinberg-Gesetz prognostizierten relativen Häufigkeiten der Genotypen V V, V W und W W in der ersten und zweiten Nachkommensgeneration dieser Population. Lösung zu Aufgabe 1:

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3 Aufgabe 2: (3+2+1=6 Punkte) Kauft man heute eine Zitrone in einem bestimmten Supermarkt ein, so kauft man mit Wahrscheinlichkeit 1 2 eine Zitrone, die heute geliefert wurde und ansonsten eine Zitrone, die schon länger in der Auslage liegt. Ist die Zitrone heute geliefert worden, so ist sie mit Wahrscheinlichkeit 1 20 verschimmelt. Liegt die Zitrone länger dort, so ist sie mit Wahrscheinlichkeit 1 5 verschimmelt. Es wird nun zufällig eine Zitrone gekauft. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) die Zitrone verschimmelt ist. b) die Zitrone, falls sie verschimmelt ist, heute geliefert wurde. c) die Zitrone verschimmelt ist und nicht heute geliefert wurde. Lösung zu Aufgabe 2:

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5 Aufgabe 3: (4+1=5 Punkte) In einer kleinen Firma kocht ein Mitarbeiter jeden Tag Kaffee. Mit Wahrscheinlichkeit 1 2 kocht er 8 Tassen Kaffee, mit Wahrscheinlichkeit von jeweils 1 6 3, 4 bzw. 6 Tassen Kaffee. Sei X die Anzahl der heute gekochten Tassen. a) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz V ar(x) von X. b) Im Café gegenüber der Firma werden immer genau doppelt so viele Tassen Kaffee gekocht. Sei Y die Anzahl der heute im Café gekochten Tassen Kaffee, d.h. Y = 2 X. Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten ρ(x, Y ) von X und Y. Lösung zu Aufgabe 3:

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7 Aufgabe 4: (4 Punkte) Seien X 1,..., X 196 unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen, wobei X 1,..., X 196 jeweils Poisson-verteilt mit Parameter α = 4 sind. Sei S := 196 i=1 X i. Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P (750 S 800) mittels einer Normalapproximation mit Diskretheitskorrektur. Lösung zu Aufgabe 4:

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9 Aufgabe 5: (3+5=8 Punkte) Wir betrachten das statistische Modell P := {P θ θ (0, 1)} mit P θ definiert durch d.h. bei Vorliegen der Verteilung P θ ist P θ (0) = θ 2, P θ (1) = 2 θ (1 θ), P θ (2) = (1 θ) 2, P (X 1 = 0) = θ 2, P (X 1 = 1) = 2 θ (1 θ), P (X 1 = 2) = (1 θ) 2 für die Zufallsvariable X 1 aus der Stichprobe (X 1,..., X n ). a) Berechnen Sie den Schätzwert ˆθ für θ nach der Momentenmethode für die Stichprobe x = (2, 1, 1, 1, 0, 2, 2). b) Berechnen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzwert ˆθ für θ für die oben genannte Stichprobe x. Hinweis: Berechnen Sie die Extremstelle der Log-Likelihoodfunktion. Sie dürfen ohne Nachweis verwenden, dass dort auch ein globales Maximum vorliegt. Lösung zu Aufgabe 5:

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11 Aufgabe 6: (5 Punkte) In einer Studie soll der durchschnittliche Intelligenzquotient der Nutzer eines Internetportals ermittelt werden. Zu diesem Zweck wird der Durchschnitt der Intelligenzquotienten von jeweils 100 Nutzern bestimmt. Man bestimmt 6 solcher Durchschnitte (jeweils verschiedene 100 Personen) und erhält die Stichprobe x = (95, 120, 110, 115, 105, 121). Es ist anzunehmen, dass der Durchschnitt der Intelligenzquotienten von 100 zufällig ausgesuchten Personen normalverteilt ist, der Erwartungswert µ und die Varianz σ 2 dieser Normalverteilung allerdings unbekannt ist. Wir vermuten, dass der durchschnittliche Intelligenzquotient der Nutzer des Internetportals 100 beträgt. Testen Sie mit einem zweiseitigen 1-Stichproben T-Test das Testproblem H : µ = 100 gegen K : µ 100 auf dem Signifikanzniveau α = 0, 05. Kann die Hypothese abgelehnt werden? Lösung zu Aufgabe 6:

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13 Weitere Rechnungen (bitte mit Aufgabennummer):