Vektorrechnung. Mathematik-Repetitorium
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- Maike Rothbauer
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1 Vektorrechnung 2.1 Definition 2.2 Multiplikation Vektor und Skalar 2.3 Summe und Differenz 2.4 Komponentendarstellung 2.5 Lineare (Un-)Abhängigkeit 2.6 Skalares Produkt 2.7 Vektorielles Produkt 2.8 Mehrfachprodukte 2.9 Parameterdarstellung Vektorrechnung 2-1
2 2. Vektorrechnung 2.1 Definition physikalischtechnischer Vorgang theoretisches mathematisches Modell quantitative Erfassung: (reelle) Zahlen Masse ~ Temperatur elektr. Spannung Länge (nach Festlegung einer Maßeinheit) ein Zahlenwert SKALAR Vektorrechnung 2-2
3 2. Vektorrechnung Definition Kraft ~ Geschwindigkeit elektr. Feldstärke Ort mehr als ein Zahlenwert VEKTOR Anzahl der erforderlichen Zahlenangaben (Dimension, Freiheitsgrade, ) 3-dimensionaler, physikalischer, Anschauungs-Raum Richtung im physikalischen Raum Vektorrechnung 2-3
4 2. Vektorrechnung Definition Richtung im physikalischen Raum 2 Zahlenangaben Vektor Betrag + Richtung Darstellung als Pfeil im Anschauungsraum: Gleichheit: : Betrag und Richtung gleich freie Vektoren gebundene, ortsfeste Vektoren Betrag Einheitsvektor Nullvektor Vektorrechnung 2-4
5 2. Vektorrechnung 2.2 Multiplikation Vektor und Skalar es folgt:!!!!! Vektorrechnung 2-5
6 2. Vektorrechnung 2.3 Summe und Differenz Gesetze: kommutativ assoziativ distributiv Vektorrechnung 2-6
7 2. Vektorrechnung 2.4 Komponentendarstellung Koordinaten Basis: kartesisches Koordinatensystem Ortsvektor: Vektorrechnung 2-7
8 2. Vektorrechnung Komponentendarstellung es gilt: und mit folgt: Vektorrechnung 2-8
9 2. Vektorrechnung Komponentendarstellung Betrag z.b. Winkel periodisch in Vektorrechnung 2-9
10 2. Vektorrechnung Komponentendarstellung Sonderfall: Richtungskosinus: Vektorrechnung 2-10
11 2. Vektorrechnung Komponentendarstellung Projektion damit: Beispiel Vektorrechnung 2-11
12 2. Vektorrechnung 2.5 Lineare (Un-)Abhängigkeit Vektoren heißen linear abhängig, wenn es n Zahlen c 1, c 2, c 3,..., c n gibt, die nicht alle gleich Null sind, für die gilt: Gilt dies nicht, so sind die Vektoren linear unabhängig, d.h. die Gleichung gilt nur für: Vektorrechnung 2-12
13 2. Vektorrechnung 2.6 Skalares Produkt enge Verwandtschaft zur Projektion Berechnung des Winkels zwischen 2 Vektoren Definition: Ergebnis ist ein Skalar Folgerungen: kommutativ parallel orthogonal Betrag Vektorrechnung 2-13
14 2. Vektorrechnung Skalares Produkt Rechenregeln Basisvektoren: Vektorrechnung 2-14
15 2. Vektorrechnung Skalares Produkt Komponentendarstellung Folge: ohne Sinn! Vektorrechnung 2-15
16 2. Vektorrechnung Skalares Produkt Beispiele A) B) Projektion von auf C) Kosinussatz Vektorrechnung 2-16
17 2. Vektorrechnung 2.7 Vektorielles Produkt Berechnung Flächeninhalt zwischen 2 Vektoren Bildung eines Rechtssystems Ergebnis ist ein Vektor! Definition: Folgerungen: Flächeninhalt Rechtsschraube, Rechtssystem Rechte Hand Regel Vektorrechnung 2-17
18 2. Vektorrechnung Vektorielles Produkt Komponentendarstellung Vektorrechnung 2-18
19 2. Vektorrechnung 2.8 Mehrfachprodukte Spatprodukt V: Volumen ( Rechtssystem) A mit Spat: Prisma mit Parallelogramm als Grundfläche Vektorrechnung 2-19
20 2. Vektorrechnung Sonstige Dreifachprodukte 1) 2) 3) 4) Begründung: a) steht auf der Ebene durch und b) liegt in der Ebene durch und also gilt Ermittlung und langwierig. Vektorrechnung 2-20
21 2. Vektorrechnung Beispiele A) d.h. (Sinussatz) B) Volumen eines Tetraeders Vektorrechnung 2-21
22 2. Vektorrechnung 2.9 Einige Anwendungen: Parameterdarstellung Gerade im Raum Beispiel Gerade durch und Vektorrechnung 2-22
23 2. Vektorrechnung Ebene im Raum oder: Normalenform Beispiel Ebene durch, und Schnitt mit der Ebene Vektorrechnung 2-23
24 Aufgaben im Tutorium Buch: A 2.1 A 2.3 A 2.4 A 2.5 A 2.6 A 2.7 A 2.8 A 2.10 Vektorrechnung 2-24
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