Lösungen: (Die Aufgaben sind fett, die Lösungen normal geschrieben.)

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1 KANTONSSCHULE ROMANSHORN MATHEMATIK - Std. MATURITÄTSPRÜFUNGEN Klasse 4 MC - hcs TYPUS MAR Lösungen: (Die Aufgaben sind fett, die Lösungen normal geschrieben.) ) Gegeben sind die Punkte A( 4 ), B( 4 ) und C( 4 ) sowie die Gerade g: x 6 5 y = + t z 6 a) Die Punkte A, B und C bestimmen die Ebene E. Geben Sie die Gleichung der Ebene E in Koordinatenform an und zeigen Sie mit Hilfe dieser Gleichung, dass die Gerade g parallel zur Ebene E verläuft. 4 n E = AB AC = Setze z.b. A( x = y = 4 z = ) in den Ansatz welcher parallel zu ist. 4 E: x + y + z + D = ein. D = und E: x + y + z =. 5 g ist parallel zu E, da der Richtungsvektor von g senkrecht auf n E steht:. = 6 a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist und berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang. Da CA CB = ist γ = 9. Fläche A = AB AC oder da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt = AC BC = 8 Umfang = AC + AC + BC =.5 c) Berechnen Sie die Höhe h c des Dreiecks ABC 4 4 x h c = d(c,gerade (AB)) ; Gerade (AB): y h c = =.795 = 4 + t z d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes T auf der Geraden g, der von A den kürzesten Abstand hat. Abstand steht senkrecht Schneide g mit einer zu g senkrechten Ebene F, die durch A geht: Ansatz für F: 5x + y 6z + D = ; Einsetzen von A( x = y = 4 z = ) ergibt D = 6 F g: 5 (6 + 5t) + ( + t) 6 ( 6t) + 6 = t = T(6 9) Seite von 7

2 ) In einer Kiste befinden sich 5 rote, weisse und gelbe Kugeln. Gleichfarbige Kugeln sind nicht voneinander unterscheidbar. a) Ein Kind legt die Kugeln nacheinander auf einen Tisch. Wie viele verschiedene Anordnungsmöglichkeiten gibt es,... i) wenn keine weiteren Einschränkungen bestehen? 5 = 5 5 für rote für weisse für gelbe ii) wenn alle gleichfarbigen Kugeln jeweils nebeneinander liegen sollen? Die jeweils gleichfarbigen Kugeln werden als eine Einheit betrachtet. für rote für weisse für gelbe = 6 iii) wenn nie zwei rote Kugeln nebeneinander liegen dürfen? Die roten Kugeln zuerst verteilen (geht auf 6 Arten, nämlich,,5,7,9 oder,,5,7, oder,,5,8, 5 oder,,6,8, oder,4,6,8, oder,4,6,8,) 6 = 6 für rote für weisse für gelbe b) Die Kugeln werden in einem ersten Spiel mit Zurücklegen gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, i) bei 4 Ziehungen genau gelbe Kugeln zu ziehen? Bernoulli-Experimente B(4,; 5 ) = 4 4 = ii) bei Ziehungen keine gelbe Kugel zu ziehen? B(,; 5 ) = 4 = iii) bei 5 Ziehungen mindestens rote Kugeln zu ziehen? 5 B(5,k; ) = 5 5 k 5 k =.5 k= k = k iv) bei der. Ziehung die 7. rote Kugel zu ziehen? nur Bernoulli-Experiment bis zur 9. Ziehung. Die Ziehung ist gesondert zu betrachten: B(9,6; ) = =.8 6 rote Kugeln bis in der. Ziehung zur 9. Ziehung ziehen die 7.rote Kugel ziehen c) Im zweiten Spiel werden drei Kugeln mit einem Griff gezogen. Für jede weisse Kugel erhält der Spieler Fr, für jede andersfarbige muss er einen Franken bezahlen. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn kann der Spieler pro Spiel rechnen? X= weisse: 6 Fr. weisse: Fr. weisse: Fr. weisse: Fr. P(X=...) =.8 =.75 =.55 = E(X) =.8 6 Fr Fr Fr Fr. =. Fr. Seite von 7

3 ) Gegeben ist die Funktion f(x) = x x x a) Führen Sie eine Kurvendiskussion unter folgenden Gesichtspunkten durch: Definitionsmenge, Nullstellen, Extrema, Grenzverhalten bei ± und bei den Polstellen. Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten an und zeichnen Sie den Graphen mit seinen Asymptoten ( Einheit = Häuschen). D = IR \ {, } NS: x = x = Extrema: f (x) = 4x (x x ) x (x ) (x x ) = 4x(x + ) = x = oder x = E ( ), E (.5) lim f(x) = ; lim f(x) = Asymptotengleichung y = x + x lim f(x) = ; lim f(x) = ; lim f(x) = ; lim x x< Graph: siehe unten: x x> x x< x x> f(x) = Asymptotengleichungen x = ; x = b) Geben Sie ohne Rechnung an, ob die Funktion Wendepunkte besitzt. Wenn Ja, geben Sie für jeden Wendepunkt ohne zu Rechnen ein möglichst kleines Intervall auf der x-achse an, in dem dieser liegt! Ja, es gibt einen links vom Minimum bei x = c) Unter welchem Winkel γ schneidet der Graph von f(x) die Gerade g: x = 4? Steigung bei x = 4 ist f (4) = 4.48 (Ableitung siehe oben). Der gesuchte Winkel γ ist dann (siehe Bild rechts) γ = 9 α = 9 arctan(f (4)) = =.58 α γ Seite von 7

4 4) Im Bild rechts sehen Sie die Skizze eines künstlich angelegten Schwimmbeckens. Die Wasseroberfläche ist die Ebene z =, G bezeichnet den Grund des Beckens. Auf G liegt die y-achse und der Punkt P( 5). z y a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene G! x (Falls Sie keine Lösung finden, rechnen Sie weiter mit der falschen Lösung G: 6x + 5y 5z = ) P( 5) und der Nullpunkt O( ), sowie die y- P( 5) G Achse mit der Richtung liegen auf E 5 n G = OP =. Setze O( x = y = z = ) in den Ansatz 5x z + D = ein D =, also G: 5x z = b) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Ebene G und der Wasseroberfläche z =! n = Wasseroberfläche 5 cos(α) = = α =.6 5 = c) Ein Stein fällt beim Punkt S(6 ) ins Wasser und sinkt senkrecht nach unten. Bei welchen Koordinaten trifft der Stein auf dem Grund G auf? Der Stein fällt senkrecht nach unten, also ändert sich nur seine z-koordinate. Zudem liegt der gesuchte Punkt auf G. Setze also x = 6 und y = in G ein: z = z =.5 Bei (6.5) d) Ein Ball schwimmt auf der Wasseroberfläche beim Punkt B(6.5 4 ) i) Wie gross ist der kürzeste Abstand vom Ball B zum Grund G? HNF: d(b,g) =.5 Der Abstand beträgt.5 ( 5) +( ) ii) Das Sonnenlicht fällt in der Richtung ein. Wo befindet sich der Schatten S des Balles auf dem Beckengrund G? 5 x 6.5 Der Schatten des Balles B fällt in Richtung der Geraden g: y = 4 + t. Schneide g mit der z 5 Ebene G: 5 (6.5 t) ( 5t) = t =.5 S( ) Seite 4 von 7

5 5) Stellt man eine heisse Tasse Tee von 8 C zum Zeitpunkt t = in einen Raum mit einer Zimmertemperatur von C, so kühlt sich der Tee nach der Gleichung T(t) = + 6 e c t ab, wobei T die Temperatur in C, t die Zeit in Minuten und c > ein Parameter ist. a) Zeigen Sie, dass der Tee unabhängig vom Wert des Parameters c am Anfang (t = ) die Temperatur 8 C hat. T() = + 6 e c = 8 = b) Berechnen Sie lim t T(t) und erklären Sie in einem kurzen Satz, was dieser Term bedeutet. lim T(t) = lim +6 t t e c t = +6 lim e t t = =. Ist die End- oder Grenztemperatur des Tees c) Der Tee ist nach 5 Minuten immer noch 7 C heiss. Berechnen Sie den Parameter c! (Falls Sie in c) keine Lösung finden, rechnen Sie weiter mit c =.4985) T(5) = 7 = + 6 e c 5 5 = 6 e c = e c 5 ln 5 6 ( ) = c 5 c = ln =.6464 d) Wann sinkt die Temperatur des Tees unter 5 C? gesucht: t mit T(t) = 5 5 = + 6 e c t 5 6 = e c t t = ln 5 6 c = Minuten e) Die Fläche zwischen dem Graphen von T(t) und der Geraden T = (Umgebungstemperatur-Kurve) entspricht der von der Tasse an die Umgebung abgegebenen Wärmeenergie. Berechnen Sie diese Fläche für t (d.h. die Energie, die in den ersten Minuten abgegeben wird)! (TIPP: Die Stammfunktion steht im Formelbuch) E = + 6 e c t dt dt = 6 e c t dt = 6 ( c) e c t = Seite 5 von 7

6 6) Zum Schluss noch zwei (gleich stark bewertete) Kurzaufgaben a) Ein Glasdesigner möchte ein neues Cocktailglas entwerfen (Bild unten), dessen Randkurve durch die Funktion f(x) = x x dargestellt wird. Der Fuss des Glases soll die gleiche Breite wie der Kelch an seiner breitesten Stelle haben. i) Berechnen Sie die Höhe des Fusses h F! Bestimme das Extremum für x > : f (x) = x 6x = für {x = } oder x = E( 4), das heisst, die breiteste Stelle des Glases hat die Breite 4. Gesucht sit nun die x-stelle beim Fuss mit f(x) = 4 4 = x x für x =. Also beträgt die Höhe des Fusses. ii) Berechnen Sie das Füllmenge (Volumen) des Glases, wenn die Füllhöhe von x = aus.5 Einheiten beträgt!.5.5 V x = π [x x ] dx = π x 6 6x 5 + 9x 4 x 7.5 dx = π 7 6 x x5 = 8.84 π = h F Füllhöhe Seite 6 von 7

7 b) Ein Elektronikkonzern stellt Mikrochips in Massenproduktion her. Jeder hergestellte Chip ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% fehlerhaft. Nun wird zur Aussonderung der fehlerhaften Chips ein Prüfgerät eingesetzt, von dem man folgendes weiss: % aller geprüfter Chips werden obwohl sie einwandfrei sind. Total werden 8% aller Chips nicht. Zeichnen Sie einen Baum und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des schlimmstmöglichen Falls, dass ein Chip fehlerhaft ist, aber nicht wird! 5% 85% Chip fehlerhaft Chip ok x% x% % 97% Chip wird Chip wird nicht Chip wird Chip wird nicht Die Wahrscheinlichkeit x ist gesucht. Total werden 8% aller Chips nicht 8% = 5% x% fehlerhafte Chips, die werden + 85% 97% einwandfreie Chips, die werden x =.667%..667% aller fehlerhaften Chips werden nicht. Seite 7 von 7