Vorlesung 5a. Die Varianz

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1 Vorlesung 5a Die Varianz 1

2 1. Varianz und Standardabweichung: Elementare Eigenschaften (Buch S. 24) 2

3 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ. Die Varianz von X ist definiert als Var[X] := E[(X µ) 2 ], die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen X von ihrem Erwartungswert µ. 3

4 Statt Var[X] schreiben wir auch VarX oder σ 2 X oder (wenn klar ist, welche Zufallsvariable gemeint ist) σ 2. 4

5 Wie ändert sich die Varianz, wenn man X um eine Konstante verschiebt? Var[X +d] = E[((X +d) (µ+d)) 2 ] = VarX Und wenn man X mit einer Konstanten multipliziert ( skaliert )? Var[cX] = E[(cX cµ) 2 ] = c 2 VarX 5

6 Die Standardabweichung (Streuung) von X ist die Wurzel aus der Varianz: σ := σ X := VarX = E[(X µ) 2 ]. Sie gibt an, mit welcher typischen Abweichung der Zufallsvariablen X von ihrem Erwartungswert man rechnen sollte. 6

7 Es gilt: σ X+d = σ X, σ cx = cσ X. Man sagt: σ ist ein Skalenparameter. 7

8 Für Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert gilt: Var[X] = 0 P ( X = E[X] ) = 1. Man sagt dann: X ist fast sicher konstant. Die Äquivalenz sieht man aus der Gleichheit Var[X] = E[(X E[X]) 2 ] zusammen mit dem Satz über die Positivität des Erwartungswertes. 8

9 Wie der Erwartungswert ist auch die Varianz von X durch die Verteilung von X bestimmt: Hat X die Verteilungsgewichte ρ(a), a S R und Erwartungswert µ, so ist VarX = a S (a µ) 2 ρ(a). 9

10 2. Einfache Beispiele 10

11 Beispiel 1: Eine faire Münze wird dreimal geworfen. X = Z 1 +Z 2 +Z 3... Anzahl Köpfe Var [X] = 1 8 (0 3 2 ) (1 3 2 ) (2 3 2 ) (3 3 2 )2 = =

12 Beispiel 2: Eine p-münze wird einmal geworfen. P(Z = 1) = p, P(Z = 0) = q Var[Z] = q(0 p) 2 +p(1 p) 2 = qp 2 +p 2 = pq(p+q) = pq. 12

13 Beispiel 3: Anzahl der Erfolge beim zweimaligen p Münzwurf. Var[Z 1 +Z 2 ] =? Wir rechnen mit Zufallsvariablen: E[(Z 1 +Z 2 2p) 2 ] = E[(Z 1 p+z 2 p) 2 ] = E[(Z 1 p) 2 +(Z 2 p) 2 +2(Z 1 p)(z 2 p)] = E[(Z 1 p) 2 ]+E[(Z 2 p) 2 ]+2E[(Z 1 p)(z 2 p)] = Var[Z 1 ]+Var[Z 2 ]+2E[Z 1 p]e[z 2 p] 13

14 Beispiel 3: Anzahl der Erfolge beim zweimaligen p Münzwurf. Var[Z 1 +Z 2 ] =? Wir rechnen mit Zufallsvariablen: E[(Z 1 +Z 2 2p) 2 ] = E[(Z 1 p+z 2 p) 2 ] = E[(Z 1 p) 2 +(Z 2 p) 2 +2(Z 1 p)(z 2 p)] = E[(Z 1 p) 2 ]+E[(Z 2 p) 2 ]+2E[(Z 1 p)(z 2 p)] = Var[Z 1 ]+Var[Z 2 ]+2E[Z 1 p]e[z 2 p] wegen der Unabhängigkeit von Z 1 und Z 2 14

15 Beispiel 3: Anzahl der Erfolge beim zweimaligen p Münzwurf. Var[Z 1 +Z 2 ] = E[(Z 1 +Z 2 2p) 2 ] = E[(Z 1 p+z 2 p) 2 ] = E[(Z 1 p) 2 +(Z 2 p) 2 +2(Z 1 p)(z 2 p)] = E[(Z 1 p) 2 ]+E[(Z 2 p) 2 ]+2E[(Z 1 p)(z 2 p)] = Var[Z 1 ]+Var[Z 2 ] + 0 = 2pq 15

16 3. Die Varianz der Binomialverteilung (Buch S. 50 und S. 26) 16

17 (Z 1,...,Z n ) sei n-facher p-münzwurf. Var[Z 1 + +Z n ] =? Gehen wir genauso vor wie im vorigen Beispiel, so finden wir Var[Z 1 + +Z n ] = Var[Z 1 ]+ +Var[Z n ]+0. Fazit: Die Varianz der Bin(n,p)-Verteilung ist npq. 17

18 4. Zwei Formeln für Var[X] 18

19 Zwei (manchmal) hilfreiche Formeln: (1) Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 (2) Var[X] = E[X(X 1)] (E[X]) 2 +E[X] (2) folgt aus (1) durch Subtrahieren und Addieren von E[X] 19

20 Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 Denn: E[(X µ) 2 ] = E[X 2 2µX +µ 2 ] = E[X 2 ] 2µE[X]+µ 2 = E[X 2 ] µ 2 (wegen Linearität des Erwartungswertes) 20

21 5. Die Varianz der Poissonverteilung (Buch S. 29) 21

22 Zur Erinnerung: Die Poissonverteilung mit Parameter λ entsteht als Grenzwert von Binomialverteilungen mit n, p 0, np λ. Weil dann npq gegen λ konvergiert, steht zu vermuten: Die Varianz einer Pois(λ)-verteilten Zufallsvariablen X ist λ. 22

23 Beweis durch Rechnung: E[X(X 1)] = k=0 k(k 1) λk k! e λ = λ 2 k=2 λ k 2 (k 2)! e λ = λ 2. Nach der obigen Formel (2) gilt: Var[X] = E[X(X 1)] (E[X]) 2 +E[X] = λ 2 λ 2 +λ. 23

24 6. Die Varianz einer Summe von ZV en und die Kovarianz von zwei ZV en (Buch S. 60) 24

25 Beim zweifachen p-münzwurf Z 1,Z 2 ergab sich aus der Unabhängigkeit der Z i : Var[Z 1 +Z 2 ] = Var[Z 1 ]+Var[Z 2 ]. Wie streuen Summen von nicht unabhängigen Zufallsgrößen? Wie steht s mit der Varianz einer Summe von Zufallsvariablen? 25

26 Var[X +Y = E[((X µ X )+(Y µ Y )) 2 ] = E[(X µ X ) 2 +E[(Y µ Y ) 2 ]+2E[(X µ X )(Y µ Y )] Mit der Definition der Kovarianz Cov[X,Y] := E[(X µ X )(Y µ Y )] bekommen wir Var[X +Y] = Var X +Var Y +2Cov[X,Y]. 26

27 Die Kovarianz Cov[X,Y] = E[(X µ X )(Y µ Y )] ist positiv, wenn X und Y die Tendenz haben, gemeinsam über bzw. gemeinsam unter ihrem Erwartungswert auszufallen. (Größere Abweichungen fallen dabei mehr ins Gewicht.) 27

28 R (X,Y) µ Y µ X R 28

29 Ist Cov[X, Y] = 0, dann nennt man X, Y unkorreliert > 0,... AAAAAAAAAAAA positiv korreliert < 0,... AAAAAAAAAAAA negativ korreliert. Zum Spezialfall von Indikatorvatiablen I E1,I E2 siehe auch Abschnitt 6 in V4b. 29

30 Zwei weitere Spezialfälle: Y = X : Cov[X,Y] = E[(X µ X )(X µ X )] = Var[X] Y = X : Cov[X,Y] = E[(X µ X )( X +µ X )] = Var[X] 30

31 Var[X +Y] = VarX +VarY +2Cov[X,Y]. Ganz analog ergibt sich: Var[Z 1 + +Z n ] = VarZ 1 + +VarZ n +2 i<j Cov[Z i,z j ] 31

32 Eine nützliche Umformung von Cov[X,Y] = E[(X µ X )(Y µ Y )]: E[(X µ X )(Y µ Y )] = E[XY µ X Y Yµ Y +µ X µ Y ] = E[XY] µ X µ Y wegen der Linearität des Erwartungswertes. Also: Cov[X,Y] = E[XY] E[X]E[Y] 32

33 Cov[X,Y] = E[XY] E[X]E[Y] Aus der Multiplikationsformel für den Erwartungswert sehen wir (noch einmal): Unabhängige Zufallsvariable X und Y sind unkorreliert. 33

34 Wir halten fest: Sind X 1,...,X n reellwertige Zufallsvariable mit endlicher Varianz und Cov[X i,x j ] = 0 für i j (man sagt dafür auch: die X i sind paarweise unkorreliert) dann gilt: Var[X 1 + +X n ] = VarX 1 + +VarX n Und allgemein gilt: 34

35 Var[Z 1 + +Z n ] = VarZ 1 + +VarZ n +2 Cov[Z i,z j ] i<j Speziell ist für unabhängige Zufallsvariable mit endlichen Varianzen die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen. 35

36 7. Die Varianz der hypergeometrischen Verteilung (Buch S. 32 und S. 61) 36

37 Var[Z 1 + +Z n ] = VarZ 1 + +VarZ n +2 Cov[Z i,z j ] i<j Beispiel: Die Anzahl der Erfolge beim Ziehen ohne Zurücklegen. In einer Urne sind r rote und b blaue Kugeln. Es wird n-mal ohne Zurücklegen gezogen. X := Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Var[X] =? 37

38 Zur Erinnerung: Mit g := r +b ist P(X = k) = ( r k )( b n k ) ( g n), k = 0,...,r. X heißt hypergeometrisch verteilt mit Parametern n, g und r. Erwartungswert und Varianz kann man direkt über die Verteilungsgewichte ausrechnen (siehe Buch S. 32). Es geht auch eleganter (vgl Buch S. 50/51): 38

39 Wir betrachten dazu die Zufallsvariable Z i, die... den Wert 1 annimmt, falls die i-te gezogene Kugel rot ist,... und sonst den Wert 0. Man sagt dafür auch: Z i ist die Indikatorvariable (kurz: der Indikator) des Ereignisses {i-te gezogene Kugel rot}. 39

40 X := Z 1 + +Z n E[Z i ] = P(Z i = 1) = p, mit p := r g der Anteil der roten Kugeln in der Urne. Also: E[X] = np. Und wie stehts mit der Varianz von X? 40

41 X := Z 1 + +Z n VarX = VarZ 1 + +VarZ n +2 1 i<j n Cov[Z i,z j ] Sei g = r + b die Gesamtanzahl der Kugeln, p := r der Anteil der roten Kugeln in der Urne, g q := 1 p. VarZ i = pq. Cov[Z i,z j ] =? 41

42 Ein eleganter Weg zur Berechnung von Cov[Z i,z j ]: Wir ziehen in Gedanken, bis die Urne leer ist (d.h. wir setzen n = g.) 42

43 Wir ziehen in Gedanken, bis die Urne leer ist. Dann ist Z 1 + +Z g = r, also Var[Z 1 + +Z g ] = 0. 0 = VarZ 1 + +Var Z g +2 1 i<j g Cov[Z i,z j ], d.h. 0 = gpq +g(g 1)Cov[Z 1,Z 2 ], d.h. Cov[Z 1,Z 2 ] = 1 g 1 pq 43

44 X = Z 1 + +Z n VarX = VarZ 1 + +VarZ n +2 1 i<j n Cov[Z i,z j ] = nvarz 1 +n(n 1)Cov[Z 1,Z 2 ] = npq n(n 1) 1 g 1 pq = npq 1 n 1 = npq g n g 1 g 1. 44

45 Fazit: Die Varianz von Hyp(n,g,pg) ist npq g n g 1. 45

46 8. Die Ungleichung von Chebyshev (Buch S. 74) 46

47 Es geht um die anschauliche Botschaft Je weniger eine reellwertige Zufallsvariable streut, mit um so größerer Wahrscheinlichkeit fällt sie nahe zu ihrem Erwartungswert aus. Quantifiziert wird das durch die 47

48 Ungleichung von Chebyshev: Y sei eine reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ. Dann gilt für alle ε > 0: P( Y µ ε) 1 ε 2Var[Y] Beweis: Mit X := Y µ ist die Behauptung äquivalent zu P(X 2 ε 2 )) 1 ε 2E[X2 ] Das aber folgt aus der Ungleichung von Markov. 48

49 9. Das n-gesetz: folgt aus der Additivität der Varianz unabhängiger ZV er: Seien X 1,...,X n unabhängig und identisch verteilt mit Varianz σ 2. Dann gilt für die Varianz des Mittelwerts M n := 1 n (X 1 + +X n ): Var[M n ] = 1 n 2 nσ2 = 1 n σ2. Man hat somit das berühmte n-gesetz: σ Mn = 1 n σ. 49

50 10. Das Schwache Gesetz der Großen Zahlen ist eine unmittelbare Folgerung aus dem n-gesetz zusammen mit der Ungleichung von Chebyshev: Seien X 1,X 2,... unabhängig (oder zumindest paarweise unkolleliert) und identisch verteilt mit Erwartungswert µ und endlicher Varianz. Dann gilt für die Mittelwerte M n := n 1 (X 1 + +X n ): P( M n µ ε) 1 ε 2Var[M n] 0 für n. 50

51 11. Zusammenfassung 51

52 Var[X] := E[(X µ) 2 ] Var[X +Y] = Var[X]+Var[Y]+2Cov[X,Y] Die Varianz einer Summe von unkorrelierten ZV en ist gleich der Summe der Varianzen, die Varianz einer Summe von negativ korrelierten ZV en ist kleiner als die Summe der Varianzen. 52

53 Die Varianz von Bin(n,p) ist npq. Die Varianz von Hyp (n,g,pg) ist npq g n g 1. Die Varianz einer Poisson(λ)-verteilten Zufallsvariablen ist so groß wie ihr Erwartungswert, nämlich λ. Ungleichung von Chebyshev: P( Y µ εσ Y )) 1 ε 2 53

54 Cov[X,Y] := E[(X µ X )(Y µ Y )] = E[XY] E[X]E[Y] Speziell für Indikatorvariable: Cov[I E1,I E2 ] = P(E 1 E 2 ) P(E 1 )P(E 2 ). 54