6 Totale Differenzierbarkeit
|
|
- Joachim Jaeger
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 6 Totle Differenzierbrkeit Sei U R offen. Eine Funktion f : U R ist differenzierbr in einem Punkt x U (Stz 14.6 in [EAI] genu dnn, wenn sie liner pproximierbr ist in x in dem Sinne, dss eine Zhl c R und eine Funktion h : U \ {x } R existieren mit f(x = f(x + c(x x + h(x (x U \ {x } und x x x x h(x x x =. Dies ist offensichtlich äquivlent dzu, dss eine offene Umgebung V R von R, eine Zhl c R und eine Funktion ϕ : V R existieren mit ϕ(ξ f(x + ξ = f(x + cξ + ϕ(ξ (ξ V und =. ξ ξ Mn gewinnt ϕ us h, indem mn V = U x setzt und ϕ : V R definiert durch ϕ(ξ = h(ξ + x für ξ und ϕ( =. Die umgekehrte Impliktion folgt gnz ähnlich. D die Abbildungen der Form R R, ξ cξ (c R genu die R-lineren Abbildungen von R nch R sind, stellt die folgende Definition eine direkte Verllgemeinerung des 1-dimensionlen Differenzierbrkeitsbegriffes uf den mehrdimensionlen Fll dr. Definition 6.1. Sei U R n offen und sei x U ein Punkt in U. Eine Abbildung f : U R m heißt totl differenzierbr in x (oder differenzierbr in x, flls eine linere Abbildung A : R n R m, eine offene Umgebung V R n von R n und eine Funktion ϕ : V R m existieren mit (i f(x + ξ = f(x + Aξ + ϕ(ξ für ξ V und ϕ(ξ (ii ξ ξ =. Mn bechte, dss in der obigen Sitution die Menge V immer utomtisch in U x = {u x; u U} enthlten ist. Indem mn ϕ(ξ = f(x + ξ f(x Aξ für ξ (U x V c definiert, knn mn immer erreichen, dss ϕ uf gnz U x definiert ist. Bemerkung 6.2. Seien in der Sitution von Definition 6.1 die Funktionen f = (f 1,..., f m und ϕ = (ϕ 1,..., ϕ m gegeben durch ihre Koordintenfunktionen. Ist ( ij M(m n, R die drstellende Mtrix der lineren Abbildung A : R n R m bezüglich der knonischen Bsen von R n und R m, ds heißt, gilt m Ae j = ij e i (1 j n, so ist die Gleichung (i in Definition 6.1 äquivlent zur Gültigkeit der Gleichungen f i (x + ξ = f i (x + ij ξ j + ϕ i (ξ für ξ V j=1 (1 i m. 41
2 Insbesondere folgt, dss eine Abbildung f = (f 1,..., f m : U R m genu dnn totl differenzierbr in x U ist, wenn lle Koordintenfunktionen f i : U R (1 i m totl differenzierbr in x sind. Sei V R n eine offene Umgebung von R n und ϕ : V R m eine Funktion mit ϕ( =. Mn schreibt ϕ(ξ = o( ξ für ϕ(ξ ξ ξ = und schreibt bkürzend für die Gleichungen (i und (ii in Definition 6.1 Beispiel 6.3. Sei A : R n differenzierbr, denn wegen f(x + ξ = f(x + Aξ + o( ξ. R m eine linere Abbildung. Dnn ist A in jedem Punkt x R n totl A(x + ξ = Ax + Aξ (x, ξ R n gelten (i und (ii us Definition 6.1 mit V = R n und ϕ. Wir hben in Beispiel 5.4 (c gesehen, dss mn us der prtiellen Differenzierbrkeit einer Funktion nicht uf ihre Stetigkeit schließen knn. Als nächstes zeigen wir, dss totl differenzierbre Funktionen prtiell differenzierbr und stetig sind und dss die linere Abbildung A in Gleichung (i us Definition 6.1 eindeutig bestimmt ist. Stz 6.4. Sei U R n offen und x U ein Punkt in U. Es gelte f(x + ξ = f(x + Aξ + ϕ(ξ und ϕ(ξ ξ ξ = wie in Definition 6.1. Sei ( ij M(m n, R die drstellende Mtrix von A bezüglich der knonischen Bsen von R n und R m. Dnn gilt: (i f ist stetig in x, (ii lle Koordintenfunktionen f i (i = 1,..., m von f sind in x prtiell differenzierbr mit f i x j (x = ij (1 i m, 1 j n. Insbesondere ist die linere Abbildung A eindeutig bestimmt. Beweis. D die linere Abbildung A : R n R m nch Lemm 2.2 stetig ist, folgt ξ Aξ = A =. Aus der Gültigkeit von Bedingung (ii in Definition 6.1 folgt, dss ξ ϕ(ξ = erhält mn die Stetigkeit von f in x ξ ξ ϕ(ξ ξ =. Dmit ξ f(x + ξ = (f(x + Aξ + ϕ(ξ = f(x. ξ 42
3 Für i = 1,..., m und ξ V gilt f i (x + ξ = f i (x + ij ξ j + ϕ i (ξ. Insbesondere gilt für lle reellen Zhlen h mit genügend kleinem Absolutbetrg und für j = 1,..., n f i (x + he j f i (x h j=1 = ij + ϕ i(he j (h sgn(h ij. he j Also ist jede Koordintenfunktion f i von f in jeder Koordintenrichtung x j prtiell differenzierbr in x mit fi x j (x = ij. D die linere Abbildung A : R n R m in Definition 6.1 eindeutig bestimmt ist, mcht es Sinn, diese linere Abbildung ls Ableitung von f im Punkt x zu interpretieren. In der Sitution der Anlysis I (ds heißt n = m = 1 bedeutet dies, dss mn sttt der Zhl f (x die linere Abbildung R R, t f (xt ls Ableitung von f in x betrchtet. Definition 6.5. Seien U R n offen, x U ein Punkt und f : U R m eine differenzierbre Abbildung in x mit wie in Defintion 6.1. f(x + ξ = f(x + Aξ + ϕ(ξ und ϕ(ξ ξ ξ = ( Die eindeutig bestimmte linere Abbildung A : R n R m heißt ds Differentil (oder totle Differentil von f in x. Mn schreibt für ds Differentil von f in x. Df(x (oder f (x = A (b Die drstellende Mtrix von A (bezüglich der knonischen Bsen von R n und R m, ds heißt die Mtrix ( fi (x M(m n, R x j 1 i m 1 j n heißt die Jcobi-Mtrix oder Funktionlmtrix von f in x (geschrieben ls J f (x. Ist A : R n R m liner, so sind die Koeffizienten der drstellenden Mtrix ( ij M(m n, R von A die eindeutigen reellen Zhlen mit m Ae j = ij e i (1 j n. 43
4 In diesem Fll wirkt die linere Abbildung A uf einen Vektor x = (x i n Rn wie die Mtrixmultipliktion mit der drstellenden Mtrix Ax = ( n m ij x j. j=1 Oft identifiziert mn die linere Abbildung A mit ihrer drstellenden Mtrix. Nch Stz 6.4 impliziert die totle Differenzierbrkeit einer Funktion f : U R m ihre prtielle Differenzierbrkeit (ds heißt, die prtielle Differenzierbrkeit ller Koordintenfunktionen. Die Umkehrung ist flsch, d die totle Differenzierbrkeit nch Stz 6.4 die Stetigkeit impliziert, die prtielle Differenzierbrkeit ber nicht (Beispiel 5.4(c. Stz 6.6. Seien U R n offen, x U und f : U R eine prtiell differenzierbre Funktion. Sind lle prtiellen Ableitungen D i f (i = 1,..., n stetig in x, so ist f totl differenzierbr in x. Beweis. D U offen ist, gibt es ein δ > mit B δ (x U. Sei ξ B δ ( und sei i z (i = x + ξ ν e ν ν=1 (i =,..., n. Dnn ist z ( = x, z (n = x + ξ und z (i x ξ < δ für i =,..., n. Der erste Mittelwertstz der Differentilrechnung (Korollr 15.4 in [EAI] ngewendet uf die differenzierbren Funktionen liefert eine Zhl θ i = θ i (ξ (, 1 so, dss f g i : [, 1] R, g i (t = f (z (i 1 + tξ i e i (i = 1,..., n ( z (i ( f z (i 1 = g i (1 g i ( = g i(θ i = ξ i D i f (z (i 1 + θ i ξ i e i. Zur Berechnung der Ableitung benutze mn die 1-dimensionle Kettenregel mit innerer Funktion t tξ i. Definiert mn y (i = z (i 1 + θ i ξ i e i, so folgt f(x + ξ f(x = f ( z (n ( f z ( = ( ( f z (i f (z (i 1 = = D i f ( y (i ξ i D i f(xξ i + ϕ(ξ mit ϕ(ξ = n ( Di f ( y (i D i f(x ξ i. D die Funktionen D i f (1 i n nch Vorussetzung stetig sind in x und d y (i = (x 1 + ξ 1,..., x i 1 + ξ i 1, x i + θ i ξ i, x i+1,..., x n (ξ x 44
5 konvergiert, folgt Also ist f totl differenzierbr in x. n ϕ(ξ ξ D i f(y (i D i f(x ξ i x (ξ. Korollr 6.7. Sei U R n offen und sei f : U R m stetig prtiell differenzierbr (ds heißt lle Koordintenfunktionen f i : U R von f seien stetig prtiell differenzierbr. Dnn ist f totl differenzierbr und insbesondere uch stetig in jedem Punkt x U. Beweis. Stz 6.6 zeigt, dss lle Koordintenfunktionen von f totl differenzierbr in jedem x U sind. Nch Bemerkung 6.2 ist f in jedem x U totl differenzierbr und nch Stz 6.4 uch stetig. Forml gilt für die Differentile von totl differenzierbren Abbildungen dieselbe Kettenregel wie für die Ableitungen von Funktionen einer Veränderlichen (siehe Stz 14.1 in [EAI]. Stz 6.8. (Kettenregel Seien U R n, V R m offen, x U ein Punkt und f : U R m, g : V R k Abbildungen mit f(u V. Ist f differenzierbr in x und ist g differenzierbr in f(x, so ist g f differenzierbr in x, und es gilt (g f (x = g (f(x f (x, ds heißt ds totle Differentil von g f in x ist die Komposition der totlen Differentile von g in f(x und f in x. Beweis. Mit A = f (x : R n R m und B = g (f(x : R m R k gilt f(x + u = f(x + Au + ϕ(u für u U x, g(f(x + v = g(f(x + Bv + ψ(v für v V f(x mit Funktionen ϕ : U x R m, ψ : V f(x R k, für die gilt Für u U x folgt ϕ(u ψ(v =, u u v v =. g f(x + u = g(f(x + u = g(f(x + B(Au + ϕ(u + ψ(au + ϕ(u = (g f(x + B A(u + χ(u mit χ(u = Bϕ(u + ψ(au + ϕ(u. Also genügt es zu zeigen, dss χ(u u u =. D nch Lemm 2.21 χ(u u B ϕ(u u + ψ(au + ϕ(u u 45
6 gilt, genügt es zu zeigen, dss ( u ψ(au + ϕ(u u ist. Dzu definieren wir ψ (v = ψ(v v für v V f(x mit v und ψ ( =. Für u U x mit hinreichend kleiner Norm u, ist ϕ(u < 1 und dmit u = ψ(au + ϕ(u ( A + 1 u ψ (Au + ϕ(u. Indem mn durch u dividiert und benutzt, dss v ψ (v = ist, sieht mn, dss Bedingung ( erfüllt ist. Dies beendet den Beweis. D die drstellende Mtrix einer Komposition linerer Abbildungen ds Mtrixprodukt der drstellenden Mtrizen der lineren Abbildungen ist, gilt in der Sitution von Stz 6.8 J g f (x = J g (f(x J f (x (Mtrixprodukt. Korollr 6.9. Seien U R n, V R m offen, f = (f 1,..., f m : U R m, g : V R differenzierbre Abbildungen mit f(u V. Dnn ist g f : U R differenzierbr mit (g f x j (x = für x U und j = 1,..., n oder äquivlent m g x i (f(x f i x j (x grd (g f(x = (grd g(f(xj f (x für lle x U. Beweis. Nch der Bemerkung zu Stz 6.8 gilt ( (g f (g f (x,..., (x x 1 x n = grd (g f(x = J g f (x = J g (f(x J f (x = grd g(f(x J f (x ( ( g g fi = (f(x,..., (f(x (x x 1 x m x j ( m g = (f(x f m i g (x,..., (f(x f i (x. x i x 1 x i x n Korollr 6.1. Seien U R n, V R m offen und k N. Ist f C k (U mit f(u V und ist g C k (V, so ist g f C k (V. Beweis. Mit der Produktregel und Induktion nch k folgt, dss für zwei Funktionen u, v C k (U ds Produkt uv C k (U gehört und dss die prtiellen Ableitungen von uv der Ordnung k endliche Summen von Produkten us einer prtiellen Ableitung von u und einer prteillen Ableitung von v jeweils der 46
7 Ordnung k sind. Dmit folgt die Behuptung von Korollr 6.1 durch Induktion nch k. Der Induktionsnfng k = 1 folgt direkt us Korollr 6.9. Sei k 2 und die Behuptung gezeigt für k 1. Für f, g wie in Korollr 6.1 und i 1,..., i k {1,..., n} ist dnn nch Korollr 6.9, der Induktionsvorussetzung und der obigen Bemerkung über Produkte m D i1 (g f = ( i g f ( i1 f C k 1 (U. Also existiert D ik D i2 (D i1 (g f und ist stetig. Die prtiellen Ableitungen sind Ableitungen in Richtung der Koordintenchsen. Entsprechend knn mn Ableitungen in Richtung beliebiger Vektoren im R n bilden. Definition (Richtungsbleitungen Seien U R n offen, x U, v R n mit v = 1 und f : U R eine Funktion. Mn nennt (flls dieser Limes existiert D v f(x = d dt f(x + tv f(x + tv f(x t= = R t t die Richtungsbleitung von f im Punkt x in Richtung v. Für v = e i (1 i n ist offensichtlich D ei f(x = D i f(x. Stz Sei U R n offen und f : U R differenzierbr. Für x U und v R n mit v = 1 ist D v f(x = grd f(x, v = f (x(v. Beweis. Nch der Kettenregel (Stz 6.9 ist die Funktion W = {t R; x + tv U} R, t f(x + tv differenzierbr mit d n f(x + tv = dt für lle t W. f (x + tv d(x i + tv i = grd f(x + tv, v = x i dt Bemerkung Ist grd f(x in Stz 6.12, so gilt v i f (x(e i = f (x(v D v f(x = grd f(x, v = cos θ grd f(x, wobei θ [, π] der Schnittwinkel zwischen v und grd f(x ist. Die Richtungsbleitung in x wird mximl in Richtung v = grd f(x grd f(x. 47
8 Sei I R ein Intervll positiver Länge und f : I R stetig differenzierbr. Sind x, ξ R mit x, x+ξ I, so folgt us der Substitutionsregel mit der inneren Funktion ϕ(t = x + tξ (t [, 1] f(x + ξ f(x = x+ξ=ϕ(1 f (udu = 1 f (ϕ(tϕ (tdt = ξ 1 x=ϕ( f (x + tξdt. Diese Version des Mittelwertstzes der Differentilrechnung gilt uch mehrdimensionl. Dbei ersetzen wir die Ableitung von f unter dem letzten Integrl durch die Jcobi-Mtrix von f. Die dbei uftretenden Integrle mtrixwertiger stetiger Funktionen definiert mn koeffizientenweise. Definition Seien m, n N,, b R mit < b und sei A : [, b] M(m n, R, t A(t = ( ij (t stetig. Dnn definiert mn ( b A(tdt = ij (tdt M(m n, R. Mn bechte dbei, dss nch Bemerkung 2.22 lle Koeffizientenfunktionen [, b] R, t ij (t stetig sind. Stz (Mittelwertstz Seien U R n offen, f C 1 (U, R m, x U und ξ R n so, dss x + tξ U für lle t [, 1]. Dnn gilt ( 1 f(x + ξ f(x = J f (x + tξ ξ. Beweis. Sei f : U R m, f(x = (f 1 (x,..., f m (x stetig differenzierbr. Nch der Kettenregel (Korollr 6.9 sind die Funktionen g i : [, 1] R, t f i (x + tξ (1 i m stetig differenzierbr. Mit dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (Stz 17.7 in [EAI] und der Kettenregel folgt, dss f i (x + ξ f i (x = g i (1 g i ( = 1 g i(tdt = = 1 f i (x + tξ d x j=1 j dt (x j + tξ j dt ( 1 f i (x + tξ dt ξ j x j j=1 gleich der i-ten Zeile des Produktes ( 1 ( f 1 µ (x + tξdt (ξ ν n ν=1 = x ν 1 µ m 1 ν n ist. J f (x + tξdt ξ 48
9 Für Anwendungen des Mittelwertstzes ist es nützlich, eine Verllgemeinerung der Stndrdbschätzung für Riemnn-Integrle (Stz 16.13(b in [EAI] zur Verfügung zu hben. Lemm Für stetige Funktionen f : [, b] R n, A : [, b] M(m n, R gilt f(tdt f(t dt und A(tdt wobei uch ds erste Integrl komponentenweise definiert ist. A(t dt, Beweis. Für eine Teilung T = (t i r i= von [, b] und eine Zwischenfolge Z = (z i r von T definieren wir wie in der Anlysis I (Definition 16.1 in [EAI] die zugehörige Riemnn-Summe der stetigen Funktion f : [, b] R n durch S(f, T, Z = r (t 1 t i 1 f(z i R n. Dnn ist S(f, T, Z = (S(f j, T, Z n j=1. Sei (T k k 1 eine Folge von Teilungen des Intervlls [, b] mit k ω(t k = und (Z k k 1 eine Folge von Zwischenfolgen Z k von T k. Nch Stz in [EAI] und Lemm 2.2 gilt ( f dt = f j dt n j=1 = k (S(f j, T k, Z k n j=1 = k S(f, T k, Z k. D die Normfunktion stetig ist (Beispiel 2.13 (b, folgt f dt = S(f, T k, Z k S( f, T k, Z k = k k f dt, wobei wir die Dreiecksungleichung für die euklidische Norm und noch einml Stz us [EAI] (diesesml für die stetige Funktion f benutzt hben. D uch Konvergenz in M(m n, R äquivlent zur koeffizientenweisen Konvergenz ist (Bemerkung 2.22, knn mn die Integrlbschätzung im mtrixwertigen Fll gnz genuso beweisen. Kombiniert mn den Mittelwertstz mit der obigen Integrlbschätzung, so hält mn die Mittelwertbschätzung der mehrdimensionlen Differentilrechnung. Korollr (Mittelwertbschätzung Seien U R n offen, f C 1 (U, R m, x U, ξ R n mit x + tξ U für lle t [, 1]. Dnn gilt f(x + ξ f(x M ξ mit M = sup J f (x + tξ = sup f (x + tξ <. t [,1] t [,1] 49
10 Beweis. Mit dem Mittelwertstz (Stz 6.15 sowie Lemm 2.21 und Lemm 6.16 enthält mn ( 1 f(x + ξ f(x = 1 J f (x + tξdt J f (x + tξ dt ξ M ξ. 1 ξ J f (x + tξdt ξ D f C 1 (U, R m ist, ist die Funktion [, 1] M(m n, R, t J f (x+tξ nch Bemerkung 2.22 stetig. Die Stetigkeit bleibt erhlten, wenn mn die Mtrixnorm (Lemm 2.21 hinter diese Funktion schltet. Also ist M <. D die Norm einer Mtrix A M(m n, R definiert wurde ls die Opertornorm des zugehörgien Multipliktionsopertors R n R m, x Ax (Lemm 2.21, folgt die Gleichheit der beiden Suprem. Litertur [EAI] Eschmeier, J., Anlysis I, Vorlesungsskript, Universität des Srlndes,
38 Das Riemann-Integral vektorwertiger Funktionen über [a, b]
38 Ds Riemnn-Integrl vektorwertiger Funktionen über [, b] 38.2 Riemnn-Integrierbrkeit von Wegen 38.4 Ds Riemnn-Integrl ist eine linere Abbildung von R([, b], V ) in V 38.9 Integrlbschätzung 38.10 Huptstz
MehrSatz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
Mehr1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt
Metrische Räume Sei X eine nichtleere Menge. Definition.. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik uf X, flls für lle x, y, z X gilt (i) d(x, y) 0, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)
MehrZusatzunterlagen zur Vorlesung Analysis II Sommersemester 2014
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier M. Sc. Sebstin Lngendörfer e Integrlrechnung Zustzunterlgen zur Vorlesung Anlysis II Sommersemester 2014 Dieses Bltt enthält
MehrProf. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG
Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Teil : Fortsetzung des Studiums von Funktionen in einer reellen Vriblen (Integrtion und Tylorreihen). Huptstz der Integrl und Differentilrechnung
MehrStammfunktionen, Hauptsätze, unbestimmtes Integral
Stmmfunktionen, Huptsätze, unbestimmtes Integrl Sei I ein Intervll, f beschränkt uf I und R-integrierbr für jedes [, b] I, und I. Dnn heißt die Funktion F mit D(F ) = I und F () = f(t)dt Integrl von f
MehrLösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.
Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x
MehrKAPITEL 18 UND 19 H. KOCH. Kapitel 18. x>a. x<y
KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH 1. VORLESUNG VOM 08.01.2018 Kpitel 18 Definition 1 (Zerlegungen, Treppenfunktionen, Regelfunktionen) Sei < b. 1. Eine Zerlegung τ von [, b] besteht us einer Zhl N N und (N + 1)
MehrZum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2
Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes
Mehr11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
Mehrkann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k
Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1
MehrMusterlösung der 1. Klausur zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Röger Dipl.-Mth. C. Zwilling Fkultät für Mthemtik TU Dortmund Musterlösung der. Klusur zur Vorlesung Anlysis I (24.02.206) Wintersemester 205/6 Aufgbe. Sei R mit sin() 0. Der Beweis erfolgt
MehrKapitel 10. Differentialrechnung im R n Vektor und Matrixnormen
Kpitel 1 Differentilrechnung im R n 11.1 Vektor und Mtrixnormen 11.2 Prtielle Ableitungen 11.3 Fréchet Differenzierbrkeit 11.4 Mittelwertsätze 11.5 Der Stz von Tylor 11.6 Prmeterbhängige Integrle 1.1 Vektor
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Krlsruher Institut für Technologie Institut für Anlysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Mth. Sebstin Schwrz Höhere Mthemtik für die Fchrichtung Physik Lösungsvorschläge zum. Übungsbltt Aufgbe 6 (Übung) )
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 9
D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 26 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie 9. MC-Aufgben (Online-Abgbe). Es sei f die Funktion f() = e + 7. Welche der folgenden Funktionen sind Stmmfunktionen von f? () g() = 2 2
MehrParameterintegrale. Integrale können auch von Parametern abhängen, denken wir nur an die Gamma-Funktion, die definiert ist für x > 0 durch
Prmeterintegrle Integrle können uc von Prmetern bängen, denken wir nur n die Gmm-Funktion, die definiert ist für x > durc Γ(x) = t x e t dt Hier ist x der Prmeter, von dem der Integrnd und dmit uc ds Integrl
Mehrnennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei
Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0
MehrResultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:
Mehr2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt
2 Linere Opertoren Im Folgenden seien X,Y, Z stets normierte Räumen über dem selben Körper K = C oder K = R. 2.1. Definition. () Eine Abbildung T : X Y heißt liner, flls T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α,
Mehr9.6 Parameterabhängige Integrale
Kpitel 9: Integrtion 9.6 Prmeterbhängige Integrle Beispiel: Die Gmm-Funktion Γ(x) := f(x, t)dt = e t t x 1 dt. Zunächst: Prmeterbhängige eigentliche Integrle. Sei f : I [, b] R, I R, so dss f für festes
Mehr9.3 Der Hauptsatz und Anwendungen
9.3 Der Huptstz und Anwendungen Definition: Seien Funktionen F, f : [, b] R Funktionen mit F (x) = f(x), x b. Dnn heißt F(x) Stmmfunktion von f(x). Bemerkung: Ist F(x) eine Stmmfunktion von f(x), so sind
MehrRiemann-integrierbare Funktionen
Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen 26 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen 27 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung nebst Folgerungen 28 Äquivlente Definitionen des Riemnn-
Mehr(1 ξ) f (k) (ξ) + k! z x n+1. (n + 1)! 2 f (n + 1)!
0.. Lösung der Aufgbe. Wir schreiben f = sup{ f : [0, ]}. Für ξ ]0, [ und n N gibt es nch dem Stz von Tlor ein c ]ξ, [ so, dss: f = fξ + n ξ k f k ξ + k! k= Aus der Ttsche, dss f k 0 für lle k N ist, folgt
MehrUneigentliche Integrale & mehrdim. Differenzialrechnung
Mthemtik I für Biologen, Geowissenschftler und Geoökologen Uneigentliche Integrle & mehrdimensionle Differenzilrechnung 25. Jnur 2010 Uneigentliche Integrle Unendlich Integrnd divergiert Grenze Prtielle
Mehr2.6 Unendliche Reihen
2.6 Unendliche Reihen In normierten Räumen steht ds wichtige Werkzeug der Bildung von unendlichen Reihen zur Verfügung. Mn denke in diesem Zusmmenhng drn, dss mn in der Anlysis Potenz- und Fourierreihen
MehrAnalysis II. Georg Tamme 18. Juli 2017
Anlysis II Georg Tmme 18. Juli 2017 Inhltsverzeichnis 1 Topologie in metrischen Räumen 1 Normierte und metrische Räume......................... 1 Folgen und Konvergenz............................... 5
MehrIntegration. Kapitel 8: Integration Informationen zur Vorlesung: wengenroth/ J. Wengenroth () 17.
Integrtion Kpitel 8: Integrtion Informtionen zur Vorlesung: http://www.mthemtik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juli 2009 1 / 22 8.1 Motivtion Kpitel 8: Integrtion 8.1 Motivtion Ist die
Mehrkomplizierteren Funktionen versucht man, die Fläche durch mehrere Rechtecke anzunähern.
Mthemtik für Nturwissenschftler I 4. 4 Integrlrechnung 4. Integrierbrkeit Die Grundidee der Integrlrechnung ist die Berechnung der Fläche zwischen dem Grphen einer Funktion und der x-achse. Recht einfch
Mehr1 Folgen von Funktionen
Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen
Mehr5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter
Kpitel 5 Kompkte Mengen 5.1 Chrkterisierung reltiv kompkter und kompkter Mengen X sei im weiteren ein Bnchrum. Definition 5.1. Eine Menge K X heißt kompkt, wenn us jeder offenen Überdeckung von K eine
MehrVII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen)
VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertuschung von Grenzprozessen) Definition. Sei {f n } eine Folge von Funktionen, die uf einer Menge E definiert sind. Die Folgen der Funktionswerte {f n (x)} seien
Mehr10 Das Riemannsche Integral
10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t
MehrUnbestimmtes Integral, Mittelwertsätze
Unbestimmtes Integrl, Mittelwertsätze Ist f R-integrierbr, dnn knn f(x)dx einfch bestimmt werden, wenn eine Stmmfunktion F (x) von f existiert und beknnt ist. Wir wissen, dss dnn uch F (x) = F (x) + C
MehrCrashkurs - Integration
Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).
MehrInfinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen
Vorlesung 16 Infinitesimlrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen 16.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 16.1.1. Eine
Mehr6.6 Integrationsregeln
50 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Beispiel 6.5.4 (Differenzierbreit und gleichmäßige Konvergenz) Die Funtionenfolge {f n (x)} n N definiert durch f n (x) = n sin(nx) onvergiert uf jedem Intervll gleichmäßig
MehrBuch Kap Stetigkeit und Integrierbarkeit
12/94 Buch Kp. 2.13 Stetigkeit und Integrierbrkeit Stz 2.34: (Stetigkeit = Integrierbrkeit) Eine uf [, b] stetige Funktion ist integrierbr. Ds gilt uch für stückweise stetige Funktionen, die uf [, b] mit
Mehrb f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) =
Es seien U R n offen und ψ : U R n stetig differenzierbr. Weiter sei f : U R zweiml stetig differenzierbr. Kennzeichnen Sie whre Aussgen mit W und flsche Aussgen mit F. F Flls dψ(x) ein Isomorphismus für
MehrMünchner Volkshochschule. Themen
Themen Logik und Mengenlehre Zhlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen
Mehr$Id: integral.tex,v /05/15 15:03:49 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/16 13:37:14 hk Exp $
$Id: integrl.te,v.3 24/5/5 5:3:49 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v. 24/5/6 3:37:4 hk Ep $ 2 Integrlrechnung 2.5 Ergänzungen Wir sind jetzt m Ende des Kpitels über ds Riemn-Integrl im eigentlichen Sinne ngelngt,
MehrLösungen zu den Übungsaufgaben
Lösungen zu den Übungsufgben Aufgbe A.2. Ist k L () mit k(x)dx = und ist f : beschränkt, Lebesgue-messbr und stetig in x, dnn gilt lim r r k(x y r )f(y)dy = f(x). Lösung A.2. Zunächst ist mit der Substitutionsregel
Mehr6.1 Zerlegungen Ober- und Unterintegrale Existenz des Integrals
Kpitel 6 Ds Riemnn-Integrl In diesem Abschnitt wollen wir einen Integrlbegriff einführen. Dieser Integrlbegriff geht uf Riemnn 1 zurück und beruht uf einer nheliegenden Anschuung. Es wird sich zeigen,
Mehrπ 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x
Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei
Mehr24 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 146. F (x) F (x ) f(x, t) dt. 3(b a) (b a) + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ.
24 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 146 für lle t [, b] und lle x D mit x x < δ. Für lle x D mit x x < δ gilt lso = F (x) F (x ) b f(x, t) dt b b f(x, t) dt + f(x, t) f(x, t) dt + ɛ 3(b ) (b ) + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ.
Mehr1 Differentialrechnung
1 Differentilrechnung 1.1 Ableitungen und Ableitungsregeln Nützliche Ableitungen 1. ( ) 1 = 1 x x 2 = x 2 2. Trigonometrische Funktionen: ( x) = 1 2 x [sin(x)] = cos(x) [cos(x)] = sin(x) 3. f(x) = e x
Mehrf(ξ k )(x k x k 1 ) k=1
Integrlrechnung Definition des bestimmten Integrls Die Integrtion ist die Umkehropertion zur Differentition. Grundufgbe der Integrlrechnung ist die Bestimmung von Flächen. Will mn beispielsweise den Inhlt
MehrAnalysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Prähofer Aufgben TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik Mthemtik für Physiker 3 Anlysis ) Sommersemester Probeklusur Lösung) http://www-m5.m.tum.de/allgemeines/ma93 S
MehrSerie 13 Lösungsvorschläge
D-Mth Mss und Integrl FS 204 Prof. Dr. D. A. Slmon Serie 3 Lösungsvorschläge. Sei I := [, b] R ein kompktes Intervll und sei B 2 I die Borel-σ-Algebr. Def. Eine Funktion f : I R heisst von beschränkter
Mehr1 Differenzen- und Differentialquotient 2. 2 Differentiationsregeln 5. 3 Ableitung spezieller Funktionen 6. 4 Unbestimmtes und bestimmtes Integral 7
Universität Bsel Wirtschftswissenschftliches Zentrum Abteilung Quntittive Methoden Mthemtischer Vorkurs Dr. Thoms Zehrt Differentil- und Integrlrechnung Inhltsverzeichnis 1 Differenzen- und Differentilquotient
Mehr1.2 Kurven. Definition Äquivalente Formulierungen der Differenzierbarkeit
1 1. Kurven Wir betrchten jetzt vektorwertige Funktionen von einer Veränderlichen. Eine Abbildung f = (f 1,..., f m ) : I R m heißt differenzierbr in t I, flls lle Komponentenfunktionen f 1,..., f m in
Mehr9 Das Riemannsche Integral
1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit
MehrUniversität Ulm Abgabe: Freitag,
Universität Ulm Abgbe: Freitg, 19.06.2009 Prof. Dr. W. Arendt Robin Nittk Sommersemester 2009 Punktzhl: 38+7 13. Zeige: Lösungen Prtielle Differentilgleichungen: Bltt 5 Sei (, b) ein reelles Intervll.
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)
1 Vorlesung Mthemtik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kpitel 6: Integrlrechnung R R Volker Kibel Otto-von-Guericke Universität Mgdeburg (Version vom 21. Dezember 2007) Stetige oder monotone Funktionen
MehrKlausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014
Institut für Mthemtik Freie Universität Berlin C. Hrtmnn, A. Ppke Wer spricht von Siegen, Überleben ist lles. Riner Mri Rilke Lösung zu Klusurvorbereitungsusfgben für die Feiertge Anlysis II im WS 23/24
MehrKapitel 7. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
Kpitel 7. Integrlrechnung für Funktionen einer Vriblen In diesem Kpitel sei stets D R, und I R ein Intervll. 7. Ds unbestimmte Integrl (Stmmfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbre
Mehr4. Der Cauchysche Integralsatz
22 Andres Gthmnn 4. Der Cuchysche Integrlstz Es seien D C offen und f : D C eine stetige Funktion. Ht f in D eine Stmmfunktion, so hben wir im letzten Kpitel gesehen, dss Kurvenintegrle über f in D nur
MehrÜbungsaufgaben. Achtung(!):
Übungsufgben 8. Übung: Woche vom 5.12.-9.12.16 (Int.-R. I): Heft Ü1: 11.1 (,b,g,j); 11.2 (e,g,l,m,p); 11.3 (,c-e,q,r) Achtung(!): 2. Test (relle Fkt., Diff.-rechng.) wird m 2.12. freigeschlten (Duer: bis
MehrReelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013
Reelle Anlysis Vorlesungssript Enno Lenzmnn, Universität Bsel 7. November 213 5 Konvergenz- und Approximtionssätze 5.1 Monotone und Dominierte Konvergenz Wir strten mit einem grundlegenden Stz der Integrtionstheorie,
MehrAnalysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen
Anlysis II (lehrmtsbezogen): Rechnen mit Integrlen A. Ppke. November Substitution Wir wiederholen kurz die grundlegende Methode der Substitution und wenden sie im Beispiel n. Stz. (Integrtion durch Substitution).
MehrLösungsskizzen zur Präsenzübung 06
Lösungsskizzen zur Präsenzübung 06 Mirko Getzin Universität Bielefeld Fkultät für Mthemtik 23. Mi 2014 Keine Gewähr uf vollständige Richtigkeit und Präzision ller (mthemtischen) Aussgen. Ds Dokument ht
Mehr(x t) n f (n+1) (t) dt. f(x) =f(a)+ f (t) dt
6 Der Stz von Tylor Gleichmäßige Konvergenz Potenzreihen Der Stz von Tylor Es sei D ein Intervll, X ein Bnchrum und f : D X eine Funtion Stz Tylorsche Formel Ist f (n +)-ml stetig differenzierbr, so gilt
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Krlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Anlysis 943 Prof Dr Tobis Lmm Dr Ptrick Breuning Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Physik 3 Übungsbltt Aufgbe Sei K ein Kreis im R vom Rdius
Mehr, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung
. INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich
MehrNumerische Mathematik Sommersemester 2013
TU Chemnitz 5. Februr 2014 Professur Numerische Mthemtik Prof. Dr. Oliver Ernst Dipl.-Mth. Ingolf Busch Dipl.-Mth. techn. Tommy Etling Numerische Mthemtik Sommersemester 2013 Musterlösungen zu nicht behndelten
MehrMathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 33 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
MehrGeodäten. Mathias Michaelis. 28. Januar 2004
Geodäten Mthis Michelis 28. Jnur 2004 1 Vektorfelder Definition 1.1 Sei S 3 eine reguläre Fläche. Ein Vektorfeld uf S ist eine Abbildung v : S 3 so, dss v(p) T n S für lle p S. Ein Vektorfeld ordnet lso
Mehr4. Integration. Wozu Integralrechnung?
MA 4- Wozu? Flächeninhlt eines von einer Kurve egrenzten Bereiches Volumen elieiger Körper Oerflächeninhlt elieiger Körper Wozu Integrlrechnung? MA 4- Mit vriler Geschwindigkeit zurückgelegter Weg Geometrischer
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 10. dt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? t3 + 2
D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 7 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie.. Sei f(x) : () f() . x (c) f( ) . Die Funktion g : t t + ist, dss ds Integrl b dt. Welche der folgenden Aussgen
MehrSBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c.
SBP Mthe Grundkurs 2 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert
MehrNotizen zur Vorlesung Analysis 3
Notizen zur Vorlesung Anlysis 3 Henrik chumcher TUHH, 26. Jnur 207 2 Integrtion über Oberflächen 2. Oberflächenintegrl einer Funktion Definition 2.37 (Metrische Fundmentlform) ei R 2 ein reguläres Gebiet
MehrKapitel 9 Integralrechnung
Kpitel 9 Integrlrechnung Kpitel 9 Integrlrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 18 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.1 (Stmmfunktion) Es seien f, F : I R Funktionen. F heißt Stmmfunktion
Mehr41 Normierte Räume über dem Körper der komplexen Zahlen
41 Normierte Räume über dem Körper der komplexen Zhlen 411 Rechenregeln für komplexe pseudonormierte Räume 412 Stetigkeits-, Differenzierbrkeits- und Integrierbrkeitskriterien für Abbildungen in einen
MehrLineare Probleme und schwache
Vritionsrechnung Kpitel 7 Linere Probleme und schwche Lösungen 7.1 Qudrtische Funktionle Der einfchste Typ von Funktionlen, die ein Minimum hben können, sind die qudrtischen Funktionle. Sei ein Gebiet
MehrUneigentliche Riemann-Integrale
Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016)
1 Vorlesung Mthemtik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016) Kpitel 10: Integrlrechnung einer Veränderlichen Prof. Miles Simon Nch Folienvorlge von Prof. Dr. Volker Kibel Otto-von-Guericke Universität Mgdeburg.
MehrAnalysis I. Vorlesung 24. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung. b a
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 203/204 Anlysis I Vorlesung 24 Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Zu einer Riemnn-integrierbren Funktion f: [, b] R knn mn f(t)dt b ls die Durchschnittshöhe der Funktion
MehrAnalysis 3 Zweite Scheinklausur Ws 2018/
Anlysis 3 weite Scheinklusur Ws 8/9..9 Es gibt 8 Aufgben. Die jeweilige Punktzhl steht m linken Rnd. Die Mximlpunktzhl ist 7. um Bestehen der Klusur sind Punkte hinreichend. Die Berbeitungszeit beträgt
Mehra) x 0, (Nichtnegativität) b) x = 0 x = 0, (Eindeutigkeit) c) αx = α x, (Skalierung)
Definition 1.20 Ein metrischer Rum besteht us einer Menge X und einer Abbildung d : X X R, die jedem geordneten Pr von Elementen us X eine reelle Zhl zuordnet, d.h. (x,y) X X d(x,y) R. Diese Abbildung
MehrInfinitesimalrechnung
Vorlesung 17 Infinitesimlrechnung 17.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 17.1.1. Eine differenzierbre Funktion F : I R heißt Stmmfunktion
MehrLösung 4: Reelle innere Produkte, Normen und Gram-Schmidt Orthogonalisierung
D-MATH Linere Algebr II FS 217 Dr. Meike Akveld Lösung 4: Reelle innere Produkte, Normen und Grm-Schmidt Orthogonlisierung 1. Seien v (i) 1, v (i) 2, v (i) 3 R 3, sodss B i = (v (i) 1, v (i) 2, v (i) 3
MehrMusterlösungen zum 6. Übungsblatt
Musterlösungen zum 6 Üungsltt Anlysis ei Dr Rolf Busm WS 6/7 Aufge 6 (Tois Hessenuer) ) 3 ep()d, setze u = ep(), v = 3 dnn gilt: 3 ep()d = ep() 3 = e (3 ep() ) 3 ep() d = e 3e + 6 ep() = 6e 3e + 6e 6e
MehrLösung 18: Reelle innere Produkte, Normen und Gram-Schmidt Orthogonalisierung
D-MATH Linere Algebr I/II HS 217/FS 218 Dr. Meike Akveld Lösung 18: Reelle innere Produkte, Normen und Grm-Schmidt Orthogonlisierung 1. Seien v (i) 1, v (i) 2, v (i) 3 R 3, sodss B i (v (i) 1, v (i) 2,
MehrAnalysis I. Jörg Eschmeier. Universität des Saarlandes. Wintersemester 2018/19
Anlysis I Jörg Eschmeier Universität des Srlndes Wintersemester 208/9 Inhltsverzeichnis Induktion 3 2 Körperxiome 8 3 Anordnungsxiome 3 4 Konvergenz von Folgen 9 5 Vollständigkeit 27 6 Unendliche Reihen
Mehr13.1 Definition: Es sei I = [a, b] abgeschlossenes Intervall. Die Menge
V. Integrlrechnung 13. Ds Riemnn-Integrl 13.1 Definition: Es sei I = [, b] bgeschlossenes Intervll. Die Menge B([, b]) := {f f : [, b] R, f beschränkt} heißt Menge der beschränkten Funktionen (uf dem Intervll
MehrVI. Das Riemann-Stieltjes Integral.
VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition
MehrMathematik für Physiker II. Carsten Schütt SS 2010
Crsten Schütt SS. Es sei f : [, ]! R durch f(x) = x definiert. Zeige nur unter der Benutzung der Definition des Riemnn-Integrls, dss diese Funktion Riemnn-integirerbr ist und berechne ds Integrl.. Es seien
MehrMathematik-Tutorium: Handwerkszeug und Kochrezepte für Maschinenbauer
Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Mthemtik-Tutorium: Hndwerkszeug und Kochrezepte für Mschinenbuer Johnnes Wiedersich 7. Dezember 007 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/ Vektorrechnung
MehrAnalysis für Informatiker Panikzettel
pnikzettel.philworld.de Anlysis für Informtiker Pnikzettel Philipp Schröer Version 5 7.04.08 Inhltsverzeichnis Einleitung Grundlgen. Formeln und Ungleichungen.................................. Unendlichkeit..........................................
Mehr6.4 Die Cauchysche Integralformel
Die Cuchysche Integrlformel 6.4 39 Abb 6 Integrtionswege im Fresnelintegrl r ir 2 r 6.4 Die Cuchysche Integrlformel Aus dem Cuchyschen Integrlst folgt eine fundmentle Formel für die Drstellung einer holomorphen
MehrAnalysis I (HS 2016): DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL
Anlysis I (HS 216): DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL Dietmr A. Slmon ETH-Zürich 12. Dezember 216 Zusmmenfssung Dieses Mnuskript dient der Einführung in ds Riemnnsche Integrl für Funktionen einer reellen Vriblen.
Mehr1.2. Orthogonale Basen und Schmistsche Orthogonalisierungsverfahren.
.. Orthogonle Bsen und Schmistsche Orthogonlisierungsverfhren. Definition.. Eine Bsis B = { b, b,..., b n } heit orthogonl, wenn die Vektoren b i, i =,,..., n, prweise orthogonl sind, d.h. bi b j = fur
Mehr21. Das bestimmte Integral
1. Ds bestimmte Integrl Wir betrchten eine Kurve y = f(x) mit f(x) 0 uf dem Intervll [, b]. Obwohl der Flächeninhlt eines Rechteces (und in weiterer Folge eines Dreieces und nderer elementrer geometrischer
Mehr9 Der Residuensatz mit Anwendungen
36 9 Der Residuenstz mit Anwendungen 9. Definition: f : O C besitze für ε > in U ε ) O die Lurentreihe fz) = c n z ) n. Dnn heißt n= Res f := c S.?? = z = ε 2 ) fz)dz ds Residuum von f in. Andere Schreibweisen:
Mehr4 Funktionenfolgen und normierte Räume
$Id: norm.tex,v 1.7 2011/05/27 11:41:25 hk Exp hk $ 4 Funktionenfolgen und normierte Räume 4.3 Gleichmäßige Konvergenz und Differenzierbrkeit Wir sind weiter mit der Untersuchung der gleichmäßigen Konvergenz
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING1
Mthemtischer Vorkurs NAT-ING1 (02.09. 20.09.2013) Dr. Robert Strehl WS 2013-2014 Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 20 Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 2 / 20 Definition 9.1 (Stmmfunktion)
MehrZwei-Punkt Randwertprobleme. Fahed Bakar
Zwei-Punkt Rndwertprobleme Fhed Bkr Contents Inhltsverzeichnis II 1 Zwei-Punkt Rndwertprobleme (RWP) 1 1.1 Zwei-Punkt Rndwertprobleme.................... 1 1.2 Vritionle Formulierung des RWP..................
MehrBericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2011
Bericht zur Mthemtischen Zulssungsprüfung im Mi Heinz-Willi Goelden, Wolfgng Luf, Mrtin Pohl Am 4. Mi fnd die Mthemtische Zulssungsprüfung sttt. Die Prüfung bestnd us einer 9-minütigen Klusur, in der 5
Mehr