Originalklausur mit Musterlösung Abitur Mathematik (TR)

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1 Originalklausur mit Musterlösung Abitur Mathematik (TR) Niedersachsen 8 In den Teilaufgaben der Klausuren werden unterschiedliche Operatoren (Arbeitsanweisungen) verwendet; sie weisen auf unterschiedliche Anforderungsbereiche (Schwierigkeitsgrade) hin und bedeuten, dass unterschiedlich viele Punkte erzielt werden können. Die Musterlösungen zeigen exemplarisch, welche Antworten die verschiedenen Operatoren erfordern. Ausführliche Informationen zu allem Wissenswerten rund um die Abiprüfungen und Klausuren können Sie im Buch im Kapitel Prüfungswissen und Prüfungsaufgaben nachschlagen. Originalklausuren mit Musterlösungen zu weiteren SMS-Titeln finden Sie auf in der Rubrik SMS Abi. Das Passwort zum kostenlosen Download für das jeweilige Fach befindet sich in dem entsprechenden Buchtitel auf Seite 3. Die Veröffentlichung der Abitur-Prüfungsaufgaben erfolgt mit Genehmigung des zuständigen Kultusministeriums. Das SMS-Schnell-Merk-System fürs Abi aufschlagen, nachschlagen, merken Buch das zentrale Fachwissen für Oberstufe und Abitur systematisch aufbereitet nach dem SMS-Prinzip Extrakapitel mit Prüfungsaufgaben und Prüfungswissen zu Operatoren und Anforderungsbereichen und Download ausgewählte Originalklausuren mit Musterlösungen als Beispiele für den Umgang mit Operatoren kostenlos auf Für die Fächer Deutsch, Englisch, Mathematik, Geschichte, Biologie, Chemie, Physik sowie Politik und Wirtschaft

2 Originalklausur mit Musterlösung Abitur Mathematik Aufgabe : Analysis Aufgabe A: Stochastik Aufgabe B: Geometrie In den Aufgabenstellungen werden unterschiedliche Operatoren (Arbeitsanweisungen) verwendet; sie weisen auf unterschiedliche Anforderungsbereiche (Schwierigkeitsgrade) hin und bedeuten, dass unterschiedlich viele Punkte erzielt werden können. Die Lösungen zeigen beispielhaft, welche Antworten die verschiedenen Operatoren erfordern. Alles Wissenswerte rund um die Abiprüfung finden Sie im Buch im Kapitel Prüfungsratgeber und Prüfungsaufgaben. Originalklausuren mit Musterlösungen zu weiteren Fächern finden Sie auf in der Rubrik SMS Abi. Das Passwort zum Download befindet sich auf der vorderen Umschlagklappe. Die Veröffentlichung der Abitur-Prüfungsaufgaben erfolgt mit Genehmigung des zuständigen Kultusministeriums. Das Schnell-Merk-System fürs Abi aufschlagen, nachschlagen, merken Buch Prüfungswissen für Oberstufe und Abitur systematisch aufbereitet nach dem SMS-Prinzip Extrakapitel mit Prüfungsaufgaben zu allen Unterrichtseinheiten, zu Operatoren und Anforderungsbereichen und Download Originalklausuren mit Musterlösungen als Beispiele für den Umgang mit Operatoren kostenlos auf Für die Fächer Deutsch, Englisch, Mathematik, Geschichte, Biologie, Chemie, Physik sowie Politik und Wirtschaft

3 Zentralabitur 8 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: TR ea Gymnasium Gesamtschule Hinweise für den Prüfling Auswahl der Aufgaben. Wählen Sie eine der Analysis-Aufgaben A oder B aus.. Wählen Sie einen der Aufgabenblöcke A oder B aus. Beide Blöcke bestehen aus je einer Aufgabe zur Analytischen Geometrie und einer zur Stochastik. a. Block A hat den Schwerpunkt Stochastik b. Block B hat den Schwerpunkt Geometrie Sie müssen insgesamt eine Analysis-Aufgabe und einen Aufgabenblock bearbeiten. Andere Kombinationen sind nicht zulässig. Hilfsmittel. Zeichenmittel. Eingeführter Taschenrechner vom Typ wie im Kopf der Aufgabe angegeben (mit Handbuch) 3. Von der Schule eingeführte gedruckte Formelsammlung 4. Ggf. Ergänzung zur Formelsammlung Binomialtabellen (Erlass vom 7.9.7) Niedersächsisches Kultusministerium von 8

4 Zentralabitur 8 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: TR ea Aufgabe A Gymnasium Gesamtschule Aufgabe A Gegeben ist die Funktionenschar f k mit f k(x) = x + k x + 4 ; k >. a) In der Anlage sind in Abbildung drei Graphen der Schar gezeichnet. Bestimmen Sie mit Begründungen die Parameterwerte für k zu (I) und (II). Der Graph zu (III) gehört zur Funktion f 3, also gilt k = 3. Berechnen Sie den exakten Wert für den Abstand der beiden Nullstellen von f 3. x k Zeigen Sie, dass für die erste Ableitung gilt: f k + (x) =. x + k x + 4 Ohne Nachweis können Sie verwenden: f (x) = 4 k ( x + k x + 4 ) k 3 b) Bestimmen Sie für die Funktion f,5 die maximale Definitionsmenge. Untersuchen Sie das Verhalten von f,5 für x 4 und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. Untersuchen Sie die Graphen von f k für < k < auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte.. c) Gegeben ist weiterhin die Funktion g mit g(x) = x + 3x + 4 ; x 4. Zeigen Sie, dass alle Punkte des Graphen von g vom Punkt P(,5 ) den gleichen Abstand haben. Interpretieren Sie diesen Sachverhalt hinsichtlich der Kurvenform und skizzieren Sie den Graphen von g. d) Es soll eine Schale aus Birnbaumholz hergestellt werden. Dazu werden geeignete Funktionen ausgewählt. Es wird die Schale betrachtet, die durch Rotation der zugehörigen Graphen um die x-achse entsteht. Für die Außen- bzw. Innenwand werden die beiden folgenden Funktionen p und f,5 verwendet mit (alle Maße in cm, also LE cm): p(x) = (x + 3) + 3; 3 x 6 Außenwand 5 f (x) = x + 5x + 4; x 6 Innenwand,5 In der Anlage sind in Abbildung die beiden zugehörigen Graphen sowie zwei Modelle der Schale gezeichnet. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Standfläche sowie den maximalen Innendurchmesser der Schale. Bei einer Schale wird im ersten Arbeitsschritt nur die Außenwand geformt. Dieses Werkstück besteht somit vollständig aus Birnbaumholz und hat eine Masse von 6,85 g. Im zweiten Arbeitsschritt wird die Innenwand geformt und es entsteht die fertige Schale. Ermitteln Sie die Masse dieser Schale, wenn ein Kubikzentimeter des verwendeten Birnbaumholzes eine Masse von,7 g besitzt. Niedersächsisches Kultusministerium von 8

5 Zentralabitur 8 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: TR ea Aufgabe A Gymnasium Gesamtschule Fortsetzung Aufgabe A Material Anlage Abbildung : Drei Graphen aus der Kurvenschar Abbildung : Die Graphen zu p und f,5 (LE cm ) sowie zwei Modelle der Schale x-achse Modell einer Schale im Entstehungsprozess Modell einer stehenden Schale Niedersächsisches Kultusministerium 3 von 8

6 Zentralabitur 8 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: TR ea Aufgabe B Gymnasium Gesamtschule Aufgabe B Gegeben ist die Funktionenschar f k mit f k(x) = x k x ; k >. a) Weisen Sie die Punktsymmetrie aller Graphen der Schar zum Ursprung nach. Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktionenschar. k x Weisen Sie nach, dass gilt: f k (x) =, und bestimmen Sie die Extrempunkte der k x k k Kurvenschar (zur Kontrolle: HP ). 3 x 3k x Ohne Nachweis können Sie verwenden: f k (x) =. 3 ( k x ) Skizzieren Sie den Graphen von f. b) Bestimmen Sie die Volumen der Rotationskörper, die durch Drehung der Graphen von f k für 5 x um die x-achse entstehen (zur Kontrolle: Vk = π k ). 5 Für technische Anwendungen soll der Rotationskörper optimiert werden. Untersuchen Sie, für welchen Wert von k der Rotationskörper über gleiche Längen- und Breitenausdehnung verfügt. Berechnen Sie die Steigung der Graphen von f k im Ursprung. Bestimmen Sie einen Wert für k so, dass in der im Koordinatenursprung liegenden Spitze des Rotationskörpers ein Winkel von 6 vorliegt. 4 x eine Stammfunktion von f ist, und 3 berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der positiven x-achse einschließt. Berechnen Sie die Stelle x H so, dass eine senkrecht zur x-achse durch x H verlaufende c) Weisen Sie nach, dass F mit F (x) = ( ) 3 Gerade die Fläche in zwei gleichgroße Teilflächen zerlegt (zur Kontrolle: xh, ). Untersuchen Sie, ob ein zur x-achse senkrechter Schnitt an dieser Stelle x H durch den Rotationskörper zu f auch zu einer Halbierung des Volumens führt. d) Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion u mit u(x) = x x + 3 und der Graph der Funktion v mit v(x) = x x + 3 an derselben Stelle waagerechte Tangenten besitzen. Gegeben sind allgemein zwei differenzierbare Funktionen u und v mit v(x) = u(x) ; u(x) > für alle x IR. Nehmen Sie begründet Stellung zu folgender Aussage: Besitzt der Graph von u an einer Stelle eine waagerechte Tangente, so besitzt auch der Graph von v an dieser Stelle eine waagerechte Tangente. Niedersächsisches Kultusministerium 4 von 8

7 Zentralabitur 8 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: TR ea Block A Gymnasium Gesamtschule Block A - Aufgabe a) Der Betreiber eines öffentlichen Verkehrsnetzes in einer Großstadt geht davon aus, dass 4% der Fahrgäste so genannte Zeitkarteninhaber sind. Um den Anteil an Fahrgästen mit Zeitkarten zu überprüfen, werden in regelmäßigen Abständen Stichproben durchgeführt. Mit der binomialverteilten Zufallsgröße X wird die Anzahl der Fahrgäste mit Zeitkarten beschrieben. Erläutern Sie, welche Bedeutung in diesem Zusammenhang der folgende Term sowie die einzelnen Faktoren haben: 3,4,6. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von Fahrgästen höchstens 45 und mindestens 35 Fahrgäste Zeitkarteninhaber sind. b) Es wird eine große Fahrgastbefragung unter 96 Fahrgästen durchgeführt. Dabei kann weiterhin davon ausgegangen werden, dass 4% der Fahrgäste so genannte Zeitkarteninhaber sind und die Zufallsgröße X wie in Aufgabenteil a) definiert ist. Berechnen Sie den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ von X. Zeigen Sie, dass in diesem Fall die Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung angewandt werden kann. Bestimmen Sie mithilfe dieser Näherung die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Fahrgastbefragung die Anzahl der Fahrgäste mit Zeitkarten mindestens 379 beträgt. Ermitteln Sie mithilfe der Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung mit den berechneten Werten für µ und σ die Zahl r, so dass die folgende Beziehung gilt: P( µ r σ X µ + r σ ) =,5. Erläutern Sie die inhaltliche Bedeutung des Ergebnisses im Kontext der Aufgabenstellung. c) Der Betreiber vermutet nach einiger Zeit, dass sich der Anteil an Fahrgästen mit Zeitkarten von 4% deutlich erhöht hat. Es wird diskutiert, einen Hypothesentest für eine Stichprobe vom Umfang 5 durchzuführen. Erläutern Sie, wie dieser Test konzipiert werden kann, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit (Fehler. Art) höchstens 5% betragen soll. Bestimmen Sie einen möglichst großen Ablehnungsbereich. Für zwei Stichproben vom Umfang 5 beziehungsweise mit der Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% erhält man die folgenden Werte für den Fehler. Art (auf drei Nachkommastellen gerundet): n = 5 n = wahrer Anteil Fehler. Art wahrer Anteil Fehler. Art 4%,89 4%,8 5%,3 5%, 6%, 6%, Begründen Sie, welche der beiden Stichprobengrößen der Betreiber nehmen sollte, wenn er an der Frage interessiert ist, ob sich der Anteil an Fahrgästen mit Zeitkarten deutlich erhöht hat und er nicht nur die Größe des Fehlers betrachtet. Niedersächsisches Kultusministerium 5 von 8

8 Zentralabitur 8 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: TR ea Block A Gymnasium Gesamtschule Block A - Aufgabe In der Anlage ist die Planskizze eines Werkstücks zu sehen. Dabei sind die Eckpunkte des Werkstücks gegeben durch A(3 ), B( 6 ), C( ), D(3 7), F( 6 8) und G( 9). Eine Längeneinheit entspricht cm. a) Die Ebene E enthält das Dreieck DFG. Geben Sie eine Gleichung der Ebene E sowohl in Parameterform als auch in Normalenform an. Beurteilen Sie, welche dieser beiden Formen der Ebenengleichung besonders geeignet ist, um die Größe des Schnittwinkels zwischen der Ebene E und der z-achse zu bestimmen. Bestimmen Sie die Größe dieses Winkels. b) Das obere Teil des Werkstücks soll so abgeschliffen werden, dass das verbleibende Werkstück ein dreiseitiges Prisma mit der Grundfläche ABC und der Höhe h = 7 cm ist. Zeichnen Sie das Teilstück, das abgeschliffen werden soll, in die Planskizze der Anlage. Berechnen Sie die durch das Abschleifen entstehende Volumenabnahme. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes L auf der Kante AB, dessen Entfernung vom Punkt G minimal ist. Material Anlage z G F D C B y A x Niedersächsisches Kultusministerium 6 von 8

9 Zentralabitur 8 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: TR ea Block B Gymnasium Gesamtschule Block B - Aufgabe Gegeben sind die Punkte O( ), A(4 4) und B(4 6 4) sowie die Ebenen E, E und F a durch E : x =, E : x = 6 und F a : 4 a x = 6 ; a IR. a) Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes C, so dass das Viereck OACB ein Parallelogramm ist. Bestimmen Sie das Vektorprodukt der Vektoren OA und OB sowie den Flächeninhalt des Parallelogramms OACB. Die Punkte O, A und B liegen in der Ebene E. Erläutern Sie den Bezug zwischen dem Vektorprodukt OA OB und der oben angegebenen Normalenform der Ebenengleichung von E. b) Untersuchen Sie, ob es eine Ebene der Schar F a gibt, die mit der Ebene E identisch ist. Zeigen Sie, dass der Punkt P( 4 3 ) ein gemeinsamer Punkt der Ebenen E und E ist. Für das Vektorprodukt u der Normalenvektoren n = und n =, die zu den Ebenen E und E gehören, gilt: u = 3. Begründen Sie, dass diesem Ergebnis zu entnehmen ist, dass sich die Ebenen E und E schneiden. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und E. 4 c) Ein Normalenvektor der Ebene F a in Abhängigkeit von a ist a. Bestimmen Sie das Vektorprodukt, das dieser Vektor mit dem Normalenvektor n bildet. Dieses Vektorprodukt sei der Vektor v 4 a 4. (Zur Kontrolle: v = a n = 6 ) 8 a Bestimmen Sie den Parameter a so, dass die Vektoren u und v linear abhängig (kollinear) sind. Erläutern Sie für diesen Fall die besondere Lagebeziehung der drei Ebenen E, E und F a zueinander. Niedersächsisches Kultusministerium 7 von 8

10 Zentralabitur 8 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: TR ea Block B Gymnasium Gesamtschule Block B - Aufgabe a) Eine Maschine produziert Kolben für Motoren. Die normalverteilte Zufallsgröße X beschreibt den Kolbendurchmesser (in mm). Die Vorgabe (Sollwert) für den Durchmesser eines Kolbens beträgt 5 mm. Aufgrund von Messungen weiß man, dass der Erwartungswert genau dem Sollwert entspricht und die Standardabweichung von mm vorliegt. Für die Qualitätseinstufung gilt: Abweichung des Kolbendurchmessers vom Erwartungswert nach oben oder nach unten höchstens,5 mm mehr als,5 mm und höchstens 3 mm mehr als 3 mm Qualitätseinstufung des Kolbens. Wahl. Wahl Ausschuss Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus der Produktion entnommener Kolben ein Ausschussteil ist. Es werden täglich 5 Kolben produziert. Geben Sie eine begründete Prognose für die mittlere Anzahl der Kolben mit der Qualität.Wahl an, die pro Tag hergestellt werden. b) Eine neue Maschine wird für die Produktion von Kolben eingesetzt. Die stetige Zufallsgröße Y beschreibt die Abweichungen des Kolbendurchmessers (in mm) vom Sollwert. Dabei wird durch die Art der Herstellung garantiert, dass Abweichungen vom Sollwert nach oben oder nach unten höchstens mm betragen. Für diese Maschine kann die Dichtefunktion f zugrunde gelegt werden mit 3 ( x ) ; x f(x) = 4. ; sonst Zeigen Sie, dass diese Funktion die Kriterien einer Dichtefunktion erfüllt. Erläutern Sie die Bedeutung des Terms ( ) Aufgabenstellung.,5 3 x dx im Kontext der,5 4 Niedersächsisches Kultusministerium 8 von 8

11 Musterlösungen für die Prüfungsaufgaben Abitur Block : Analysis Aufgabe A a) Der Graph (I) verläuft durch den Punkt ( ). Es folgt f k ( ) = 4 4k + 4 = 4k + 8 = k =. Der Graph (I) gehört also zur Funktion f. Der Graph (II) verläuft durch den Punkt (3 4). Für die zugehörige Funktion f k gilt daher f k (3) = k + 4 = 4 6k + 3 = 6 k =, 5 Damit gehört der Graph (II) zur Funktion f,5. Ich berechne die Nullstellen von f 3 : f 3 (x) = x + 6x + 4 = x = 6 ± (6 ) 4 x = 3 ± 5. Die Nullstellen von f 3 liegen also an den Stellen x = 3 5 und x = Ihr Abstand beträgt folglich 5. Die erste Ableitung berechnet sich mithilfe der Kettenregel. Man erhält f k(x) = (x + k) x + kx + 4 = x + k x + kx + 4. b) Der Wert f,5 (x) ist definiert genau dann, wenn x + 5x + 4 gilt. Die Nullstellen x und x der quadratischen Funktion auf der linken Seite dieser Ungleichung lauten x = 5 (5 ) 4 = 4 und x = 5 + (5 ) 4 =. Da die Parabel x + 5x + 4 nach oben oben geöffnet ist, folgt D f,5 = {x R x oder x 4}. Ù ÒÚ ÖÐ Ð Ó Ö Ô ÁÒ Ø ØÙز º º ÖÓ Ù Å ÒÒ Ñ ¾¼¼ Für den Grenzwert am linken Rand des Definitionsbereichs gilt wegen lim x 4 x ½ + 5x + 4 = + lim f,5(x) x +, 5 = lim x 4 x 4 x + 5x + 4 = lim x 4 (x +, 5) lim x 4 x + 5x + 4 = 4 +, 5 lim x 4 x + 5x + 4 =

12 Das bedeutet geometrisch, dass der Graph von f,5 im Punkt ( 4 f( 4) ) = ( 4 ) eine senkrechte Tangente besitzt. Extremwerte können höchstens an den Nullstellen der ersten Ableitung vorliegen. Wegen f k (x) = x + k = x = k. ist die Stelle x 3 = k also der einzige Kandidat für einen Extremstelle. Um dies weiter zu prüfen, muss zunächst gezeigt werden, dass f k dort überhaupt definiert ist. Nach Voraussetzung ist k, für den Radikanden x + kx + 4 gilt für x = k folglich k k + 4 = k + 4 (wegen k ), also liegt k für k [, ] im Definitionsbereich von f k. Weiter ist f ( k) = 4 k ( k + 4 ) 3 > für < k <. Daraus folgt, dass für jedes k < an der Stelle x 3 = k ein Tiefpunkt vorliegt. Die Koordinaten lauten TP k ( k f( k) ), also TPk ( k k + 4). Das ist der einzige Extremwert. An den Wendestellen muss f k (x) = gelten. Wegen 4 k > für alle k mit < k < gilt aber (x), folglich liegen für < k < keine Wendestellen vor. f k c) Für den Abstand d(x) eines Punktes ( x g(x) ) auf dem Graphen von g zum Punkt P gilt d(x) = (x, 5) + (g(x) ) = x 3x +, 5 x + 3x + 4 = 6, 5 =, 5. Alle Punkte auf dem Graphen von g haben daher denselben Abstand, 5 zu P. Der Graph von g liegt folglich auf dem Kreis K mit Mittelpunkt P und Radius R =, 5. Da g aber nur nicht-negative Werte annimmt, liegen die Punkte des Graphen höchstens auf dem oberen Halbkreis. Andererseits ist g definiert, sofern g(x) einen nicht negativen Wert hat. Daraus folgt, dass der Graph von g identisch mit dem oberen Halbreis von K ist. y P 3 4 x d) Die Standfläche ist eine Kreisfläche mit Radius p( 3) = 3. Für den Inhalt gilt daher A Standfläche = π 3 cm 8, 7 cm. Für den Innendurchmesser d(x) an der Stelle x gilt allgemein d(x) = f,5 (x). Wegen x 6 und dem Monotonieverhalten von f,5 folgt für den maximalen Durchmesser d max = f,5 (6) = 7 6, 73 cm. Das Innenvolumen der Schale berechnet sich allgemein nach der Formel Ù ÒÚ ÖÐ Ð Ó Ö Ô ÁÒ Ø ØÙز º º ÖÓ Ù Å ÒÒ Ñ ¾¼¼ 6 ( V (x) = π f,5 (x) ) x dx = π (x + 5x + 4)dx ( x 3 = π ) 6 x + 4x 589, 8. ¾

13 Ein Stück Birnbaumholz dieses Volumens besitzt eine Masse von m = 589, 8 cm 3, 7 g = 4, 86g. cm3 Die Masse der Schale beträgt demnach 6, 85 g 4, 86 g = 87, 99 g. Aufgabe B a) Es gilt f k ( x) = ( x) k ( x) = x k x = f k (x). Daher liegen alle Graphen der Schar punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Funktion ist nur in den Bereichen definiert, in denen der Radikand k x nicht negativ ist. Wegen k x x k gilt also D fk = {x R k x k}. Schreibt man f k (x) = x (k x) (k + x), so sieht man sofort, dass f an den Stellen x =, x = k und x = k Nullstellen besitzt. Die erste Ableitung bestimmt man mithilfe der Kettenregel und Produktregel. Man erhält f k(x) = k x + x x k x = k x k x. Kandidaten für Extremwerte liegen an den Nullstellen der ersten Ableitung, wegen f k (x) = k x = x = ± k also an den Stellen x 3 = k und x 4 = k, die auch beide im Definitionsbereich von f k liegen. Um das Verhalten von f k an diesen Stellen genauer zu bestimmen, muss das Vorzeichen der zweiten Ableitung dort bestimmt werden. Da der Nenner der zweiten Ableitung immer positiv ist, gilt f k (x) > x 3 3k x > und f k (x) < x 3 3k x < Wegen x 3 3 3k x 3 = k3 + 3k3 > und entsprechend x 3 4 3k x 4 < liegt bei x 3 ein Tiefpunkt ( vor, bei x) 3 ein Hochpunkt. ( ) Einsetzen von x 3 und x 4 in die Gleichung von f k liefert die Punkte TP k k und HP k k. Die Abbildung zeigt den Graphen von f Ù ÒÚ ÖÐ Ð Ó Ö Ô ÁÒ Ø ØÙز º º ÖÓ Ù Å ÒÒ Ñ ¾¼¼

14 y x b) Für das Volumen V k der Rotationskörper gilt V k = π k ( fk (x) ) k dx = π (k x x 4 )dx ( k = π 3 x3 ) k ( k 5 x5 = π 3 k3 ) 5 k5 = 5 π k5. Die Längenausdehnung des Rotationskörpers beträgt k, die Breitenausdehnung f(x max ) = k. Längen- und Breitenausdehnung stimmen also genau für k = k, also genau im Fall k = überein. Die Steigung des Graphen von f k im Ursprung beträgt f k k () = k = k. Damit gilt für den Winkel α, den der Graph von f k im Ursprung mit der x-achse einschließt tanα = k. In der Spitze des Rotationskörpers liegt also ein Winkel von 6 vor, wenn k = tan 3 gilt, also im Fall k = 3, 58. c) Mit einer zweifachen Anwendung der Kettenregel ermittelt man die erste Ableitung von F : ( [ ( ) ] [ F (x) = 4 x ) 4 x = (4 x ) (4 x ) = x (4 x ) 4 x = x 4 x = f (x). 4 x ] Wegen F (x) = f (x) ist F eine Stammfunktion zu f. Für den Inhalt der Fläche, den der Graph von f mit der positiven x-achse einschließt, gilt demnach A = f (x)dx = F (x) = [ 3 ( 4 ) 3 ( 4) 3] = 8 3. Die Stelle x H ermittelt man mit dem Ansatz x H f (x)dx = A. Daraus folgt F (x) x H = 3 [ ( ] 3 4 xh) 8 = 8 6 ( 3 4 xh) = 4 4 x H = 3 4 Ù ÒÚ ÖÐ Ð Ó Ö Ô ÁÒ Ø ØÙز º º ÖÓ Ù Å ÒÒ Ñ ¾¼¼ 4 x H = 3 6 x H = 4 3 6,.

15 Für das Volumen des Rotationskörpers zu f gilt nach Aufgabenteil b) V = 5 π 5 3, 4 und für das Volumen des an der Stelle x H abgeschnittenen Körpers V H = π, ( f (x) ) dx = π, [ 3 x (4 x )dx = π 4 x3 ], 5 x5 5, 9. Damit gilt V H V. Der Schnitt an der Stelle x H zerlegt den Rotationskörper also nicht in zwei volumenmäßig gleich große Anteile. d) Waagerechte Tangenten einer Funktion liegen genau an den Stellen vor, an denen die erste Ableitung verschwindet. Für die erste Ableitung von u bzw. v gilt u (x) = x v (x) = (x ) Es folgt x x + 3 = x x x + 3 u (x) = x = und v (x) = x =. (Da der Radikand x x + 3 für x = positiv ist, ist v (x) an dieser Stelle definiert). Für zwei Funktionen u und v mit u(x) > für alle x R und v(x) = u(x) gilt mit der Kettenregel allgemein v (x) = u (x) u(x) = u (x) =. Besitzt also der Graph von u an einer Stelle eine waagerechte Tangente, so auch der Graph von v und umgekehrt. Block A Aufgabe a) Der Term B n;,4 () = ( ) 3, 4, 6 beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass in einer zufälligen Auswahl von n = 3 Fahrgästen genau k = Zeitkarteninhaber dabei sind. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Karteninhaber mit Zeitkarten. Gesucht ist der Wert P(35 X 45), der sich mithilfe der Tabelle zur summierten Binomialverteilung für n = und p =, 4 ermitteln lässt. Man erhält. P(35 X 45) = P(X 45) P(X 34) =, 8689, 33 =, Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von Fahrgästen mindestens 35 Ù ÒÚ ÖÐ Ð Ó Ö Ô ÁÒ Ø ØÙز º º ÖÓ Ù Å ÒÒ Ñ ¾¼¼ und höchstens 45 Zeitkarteninhaber dabei sind, ungefähr 74 %. b) Da die Zufallsgröße X binomialverteilt ist, gilt für den Erwartungswert µ µ =, 4 96 = 384.

16 und für die Standardabweichung σ σ = n p ( p) = 384, 6 = 48. Da wegen σ > 3 die Laplace-Bedingung (σ = np( p) > 9) erfüllt ist, kann die Binomialverteilung in diesem Fall durch die Normalverteilung (mit Stetigkeitskorrektur) angenähert werden. Damit ist die Wahrscheinlichkeit P(X 379), dass bei der Befragung die Anzahl der Fahrgäste mit Zeitkarten mindestens 379 beträgt, annähernd gegeben durch P(X 379) = P(X 3789) ( ) 3789 µ +, 5 Φ σ ( ) , 5 = Φ 48 ( = Φ 5.5 ) ( ) 5.5 = Φ, % Der Wert, 5 dient hier der Stetigkeitskorrektur, die aber wegen des relativ hohen Stichprobenumfangs nicht zwingend erforderlich ist. Mithilfe der Annäherung durch die Normalverteilung formt man den Term P(µ r σ X µ + r σ) um. Dabei kann auf die Stetigkeitskorrektur verzichtet werden. Man erhält P(µ r σ X µ + r σ) = P(X (µ + r σ)) P(X (µ r σ)) ( ) ( ) (µ + r σ) µ (µ r σ) µ Φ Φ σ σ ( r σ ) ( = Φ Φ r σ ) = Φ(r) ( Φ(r)) = Φ(r) σ σ Aus der Bedingung P(µ r σ X µ + r σ) =, 5 folgt damit Φ(r) =, 5 Φ(r) =, 75 r, 67. Inhaltliche Deutung dieses Ergebnisses: Es geht darum, eine Umgebung des Erwartungswerts, das heißt ein Intervall [µ R, µ+r], so zu bestimmen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der ermittelten Zeitkarteninhaber in dieser Umgebung liegt, genau 5 % beträgt. Man erhält in diesem Fall R =, 67 σ = 3, 6. Mit etwa 5 % Wahrscheinlichkeit ermittelt man bei der Stichprobe zwischen = 388 und = 387 Zeitkarteninhaber. c) Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Zeitkarteninhaber unter den 5 befragten Fargästen. Die Hypothese p >, 4 soll überprüft werden. Daher muss das Gegenteil als Nullhypothese formuliert werden: H : p, 4. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest. Ab einer bestimmten Anzahl k von Zeitkarteninhabern unter den Befragten wird die Nullhypothese verworfen. Für den Ablehnungsbereich A gilt also Ù ÒÚ ÖÐ Ð Ó Ö Ô ÁÒ Ø ØÙز º º ÖÓ Ù Å ÒÒ Ñ ¾¼¼ A = {k, k +,...,5} mit einer natürlichen Zahl k 5. Gesucht ist die kleinste Zahl k, für die P(X k), 5 gilt.

17 Diese Ungleichung lässt sich umformen: P(X k), 5 P(X k ), 5 P(X k ), 95. Mit der Binomialverteilung für n = 5, p =, 4 ermittelt man P(X ), 946 <, 95 und P(X 3), 9587 >, 95. Es folgt k = 3. Damit ist k = 4 die kleinste natürliche Zahl, für die P(X k), 5 gilt. Das bedeutet, dass bei einem Signifikanzniveau von 5 % die Nullhypothese genau dann verworfen (und damit die Ausgangshypothese angenommen) wird, wenn unter den 5 Befragten mehr als 3 eine Zeitkarte besitzen. Zur Auswertung der Tabelle: Beträgt der wirkliche Anteil der Zeitkarteninhaber 4 %, so wird bei einem Stichprobenumfang von n = 5 und einem Signifkanzniveau von 5 % die wahre Hypothese mit einer Wahrscheinlickeit von mehr als 89 % verworfen. Bei einem Umfang von n = wird sie dagegen mit einer Wahrscheinlichkeit von, 8 =, 99 = 99, % bestätigt. Der kleinere Stichprobenumfang liefert im Unterschied zum größeren Stichprobenumfang also keine tragfähigen Ergebnisse, sofern der Anteil der Zeitkarteninhaber nur minimal größer geworden ist. Für n = 5 ergibt sich nur dann ein sehr kleiner Fehler zweiter Art, wenn sich der Anteil der Zeitkarteninhaber deutlich erhöht hat. Der kleinere Stichprobenumfang wäre also dann durchaus angemessen, wenn man nur an der Frage interessiert ist, ob sich der Anteil deutlich, etwa um mindestens %, vergrößert hat. In diesem Fall ist der Unterschied zwischen dem größeren und kleineren Stichprobenumfang minimal. Der Betreiber könnte sich unter Berücksichtigung des Aufwands und der Kosten in diesem Fall durchaus für einen Test mit dem kleineren Stichprobenumfang entscheiden. Aufgabe a) In Parameterform lautet eine Gleichung der Ebene E E : OD + λ DF + µ DG = Ein Normalenvektor n E = n n n λ 6 + µ 7 der Ebene E muss n E DF = und n E DG = erfüllen. Setzt man etwa n = 4, dann erhält man daraus das Gleichungssystem + 6n + n 3 =, + n 3 =. 4 Aus der zweiten Gleichung folgt n 3 = 6. Damit liefert die erste n =. Also gilt n E =, und 6 eine Normalengleichung lautet Ù ÒÚ ÖÐ Ð Ó Ö Ô ÁÒ Ø ØÙز º º ÖÓ Ù Å ÒÒ Ñ ¾¼¼ 3 4 E : x =. 7 6

18 Die Normalengleichung ist besonders geeignet, um den Schnittwinkel zu bestimmen. Für den Schnittwinkel α zwischen der Ebene und der z-achse gilt n E sin(α) = n E = Daraus folgt α 55, 5. b) Das abgeschliffene Stück ist eine Pyramide, deren Grundfläche das Trapez GG F F mit G ( 7) und F ( 6 7) ist. Für dessen Grundfläche A gilt z G A = G F ( FF + ) GG = 6 ( + ) = 9. Die Höhe h der Pyramide ist die Länge des Vektors 3 DG =. Also erhält man für das Volumen des abgeschliffenen Stücks D G C F F V = 3 A h = 9. x A B y Der Punkt L(l l l 3 ) ist der Fußpunkt des Lotes vom Punkt G auf die Gerade AB, erfüllt demnach OL = OA + λ AB sowie GL AB =, also die beiden Gleichungen l l l = + λ 6 und 3 l + 6 l =. Aus der letzten Zeile der ersten Gleichung folgt zunächst l 3 =. Aus der zweiten Gleichung erhält man l = l. Setzt man das in die erste Gleichung ein, dann ergibt sich l = 3 3λ = λ, woraus λ = 5 L(, 4, ). folgt. Einsetzen dieses Ergebnisses in die Geradengleichung von AB liefert Block B Aufgabe Ù ÒÚ ÖÐ Ð Ó Ö Ô ÁÒ Ø ØÙز º º ÖÓ Ù Å ÒÒ Ñ ¾¼¼ a) Für den Richtungsvektor des gesuchten Punktes C gilt OC = OA OB = + 6 = 8 4 4

19 Man erhält also C(8 8 ). Für das Vektorprodukt von OA und OB ergibt sich OA OB = = = Der Betrag des Vektorprodukts OA OB entspricht dem Flächeninhalt des von den erzeugenden Vektoren OA und OB aufgespannten Parallelogramms OACB. Man erhält also A OACB = OA OB = = 48. Das Vektorprodukt OA OB steht senkrecht auf den beiden Vektoren OA und OB und folglich auch zur Ebene E. Daher ist OA OB ein weiterer Normalenvektor für E und muss damit ein Vielfaches des angegebenen Normalenvektors sein. In der Tat gilt OA OB = 3 3 = b) Für a = 4 sind die Normalenvektoren der beiden Ebenen linear abhängig. Die Ebenen E und F 4 sind also parallel. Sie können aber nicht identisch sein, da E den Ursprung enthält F 4 aber nicht. Dies erkennt man unmittelbar, wenn man den Punkt ( ) in die beiden Ebenengleichungen einsetzt. Es ist folglich keine Ebene der Schar F a mit der Ebene E identisch. Der Punkt P( 4 3 ) liegt wegen 4 3 = = und 4 3 = = 6 in der Ebene E und in der Ebene E. Die Normalenvektoren zweier identischer oder paralleler Ebenen sind linear abhängig. Deren Vektorprodukt ist folglich der Nullvektor. Da dieses Vektorprodukt bei den Ebenen E und E nicht verschwindet, können sie daher nicht parallel oder identisch sein, müssen sich also schneiden. Das Vektorprodukt u der beiden Normalenvektoren ist kollinear zur Schittgeraden g, also ist u ein geeigneter Richtungsvektor. Da P, wie oben gezeigt wurde, auf g liegt, gilt g : x = 4 OP + λ u = 3 + λ 3. c) Es gilt Ù ÒÚ ÖÐ Ð Ó Ö Ô ÁÒ Ø ØÙز º º ÖÓ Ù Å ÒÒ Ñ ¾¼¼ 4 a a 4 v = a = 4 = 6. 4 a 8 a

20 Damit u und v linear abhängig sind, muss a 4 6 = λ 3 8 a für ein λ R gelten. Aus der zweiten Zeile folgt sofort λ =. Damit liefert die erste a 4 = 4, also a = 4. Mit diesen Werten ist dann auch die Gleichung der dritten Zeile erfüllt. Für a = 4 sind also die Vektoren u und v kollinear. Die entsprechenden Ebenen E und F 4 sind damit nach b) parallel. Da E und E nach b) nicht parallel sind, sind auch die Ebenen F 4 und E nicht parallel und besitzen eine gemeinsame Schnittgerade. Aufgabe a) Ein Kolben ist genau dann ein Ausschussteil, wenn der Durchmesser x größer als 53 mm oder kleiner als 47 mm ist. Daher gilt P( Ausschuss ) = P(x < 47) + P(x > 53) = P(x 47) + ( P(x 53) ) ( ) ( ) = + Φ Φ = Φ(, 5) Φ(, 5), 336 = 3, 36 %. Weiter gilt ( ) ( ) 5, , 5 5 P(. Wahl ) = P(48, 5 X 5, 5) = Φ Φ = Φ(, 75) Φ(, 75), 5467 = 54, 67 %. Bei einer Tagesproduktion von insgesamt 5 Kolben sind daher 5, 5467 = 73, 35, also 73 Kolben mit der Qualität. Wahl pro Tag zu erwarten. b) Die Funktion f erfüllt die Kriterien einer Dichtefunktion, wenn gilt: (i) f(x) für alle x R. (ii) f(x)dx =. Die Funktion p(x) = 3 4 ( x ) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den beiden Nullstellen x = und x =. Daraus folgt p(x) für x und damit insgesamt f(x) für alle x R. Die Funktion f besitzt also die Eigenschaft (i). Weiter gilt f(x)dx = f(x)dx = 3 4 ( x )dx = 3 4 ) (x x3 = 3 ( ) =. 3 Also erfüllt f auch die Eigenschaft (ii) und ist damit in der Tat eine Dichtefunktion. Das Integral,5 3,5 4 ( x )dx gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Kolbendurchmesser höchstens,5 mm vom Sollwert abweicht. Somit beschreibt (,5 ) Ù ÒÚ ÖÐ Ð Ó Ö Ô ÁÒ Ø ØÙز º º ÖÓ Ù Å ÒÒ Ñ ¾¼¼ 3,5 4 ( x )dx ½¼ die Wahrscheinlichkeit, dass zehn zufällig aus der Produktion entnommene Kolben alle diesen Qualitätsstandard besitzen.

21 Die hier abgedruckten Lösungsvorschläge sind nicht die amtlichen Lösungen des zuständigen Kultusministeriums. Impressum: Alle Rechte vorbehalten. Nachdruck, auch auszugsweise, vorbehaltlich der Rechte die sich aus den Schranken des UrhG ergeben, nicht gestattet. c Dudenverlag, Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim 8 Redaktionelle Leitung: Simone Senk Redaktion: Christa Becker, Tamara Jordan Autor: Thomas Epp Ù ÒÚ ÖÐ Ð Ó Ö Ô ÁÒ Ø ØÙز º º ÖÓ Ù Å ÒÒ Ñ ¾¼¼ ½½