7-1 Elementare Zahlentheorie. 1 a ist quadratischer Rest modulo p, 1 falls gilt a ist quadratischer Nichtrest modulo p, 0 p a. mod p, so ist.

Transkript

1 7-1 Elementre Zhlentheorie 7 Ds udrtische Rezirozitätsgesetz 70 Erinnerung Sei eine ungerde Primzhl, sei Z In 114 wurde ds Legendre-Symbol eingeführt: 1 ist udrtischer Rest modulo, 1 flls gilt ist udrtischer Nichtrest modulo, 0 Dbei nennt mn Z einen udrtischen Rest modulo, flls nicht durch teilbr ist und es ein b Z gibt mit b mod ntürlich ist dnn uch b nicht durch teilbr, flls lso die Restklsse in F Z/ ein Qudrt ist Mn nennt Z einen udrtischen Nichtrest, flls wieder Nicht durch teilbr ist, und es kein b Z gibt mit b mod gibt Offensichtlich gilt: K Kongruenz-Eigenschft Gilt In 114 wurde bewiesen: mod, so ist Ds Euler-Kriterium Sei ungerde Primzhl, sei Z Es ist: 1 mod Beweis: Ist kein Teiler von, so steht dies in 114 Ist ber ein Teiler von, so sind beide Seiten gleich Null Als Folgerungen hben wir dort bewiesen: M Strke Multiliktivität: Es ist b b für lle, b Z Wichtig ist insbesondere der Sezilfll 1, hier erhält mn nicht nur eine Kongruenz, sondern wirklich Gleichheit: -1 Der Wert für 1 Es ist Es wird ein Verfhren vorgestellt, wie mn den Wert von lgorithmisch berechnen knn sofern mn die Primfktorzerlegung der uftretenden Zhlen kennt Dmit wird lso die Frge bentwortet, ob es zu einer vorgegebenen Zhl ein x mit x mod gibt oder nicht offen bleibt dbei ber, wie mn ein derrtiges x wirklich findet!

2 Leitfden Bielefeld WS 009/10 7- Mn brucht die folgenden Eigenschften des Lengendre-Symbols hier ist eine ungerde Primzhl, und,, b sind Zhlen, die nicht durch teilbr sind K Kongruenz-Eigenschft Gilt mod, so ist M Strke Multiliktivität: Es ist für lle, b Z Z Der Wert für : Es ist b b 1 1/ R Ds Rezirozitätsgesetz: Sind, verschiedene ungerde Primzhlen, so gilt Mn knn diese Gleichung uch folgendermßen umschreiben: Beisiel Hier ein tyisches Beisiel, wie mn vorgeht: wir berechnen M R 3 1 Z R , lso brucht mn K 1 3 K 5 7 M 1 R 7 5 K 5 1 Z dbei muss mn usrechnen: , und 370/ 465, und ntürlich uch und 4/ 3 Insgesmt erhlten wir , demnch ist 4 udrtischer Rest modulo 61 Wir notieren hier noch einige Sezilfälle, ber uch eine zusätzliche Regel, die ds Verfhren bkürzen knn: 1 1 Es ist 1 Dies folgt us M, ist ber trivil Q Qudrte Es ist 1 Dies folgt ebenflls us M, ist ber uch trivil -1 Der Wert für 1 Es ist R ist ds berühmte Guß sche Rezirozitäts-Gesetz Von Guß selbst gibt es dfür sieben oder cht Beweise, insgesmt gibt es mehr ls hundert Beweise und Beweis- Vrinten Wir werden ds Rezirozitätsgesetz im Abschnitt 74 beweisen Die Regel Z wird in 73 bewiesen

3 7-3 Elementre Zhlentheorie Bechte: 1 ist genu dnn ungerde, wenn 3 mod 4 gilt Wir können dher die Aussge R umformulieren: flls 3 mod 4, und 3 mod 4, flls 1 mod 4, oder 1 mod 4 Entsrechend lässt sich die Aussge -1 folgendermßen formulieren: { 1 1 flls 1 mod 4, 1 flls 3 mod 4 Hier ist die Liste der ungerden Primzhlen < 100, mrkiert sind jeweils die Primzhlen mit 3 mod Schließlich lässt sich uch die Regel Z umschreiben: { 1 flls 1 mod, oder 7 mod, 1 flls 3 mod, oder 5 mod, Beweis: Mn rechnet modulo 16: Ist 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 mod 16, so ist 1 1, 9, 9, 1, 1, 9, 9, 1 mod 16 Es ist 1 16t + 1 für ein t Z, genu dnn, wenn 1, 7, 9, 15 mod 16 ist 7 Ds Guß sche Lemm Erinnert sei n den folgenden Beweis des kleinen Fermt: sei beliebige Primzhl,, 1 Dnn liefern die Mengen {,, 3,, 1} und {1,,, 1} jeweils genu die Restklssen modulo nur eben vielleicht umgeordnet: Die Multiliktion mit in Z/ ermutiert die Elemente von Z/ Dies liefert ds linke Kongruenzzeichen: 1 j 1 j 1 j1 j1 1 j1 j mod Ds Element 1 j1 j in Z/ ist invertierbr, lso ist 1 1 mod Bezeichnen wir mit r x den Rest beim Teilen von x durch, lso die gnze Zhl r x mit 0 r x < und x r x mod, so sieht mn, dss die folgenden beiden Mengen wirklich gleich sind: {r, r, r 3,, r 1} und {1,,, 1}

4 Leitfden Bielefeld WS 009/ und demnch erhält mn die Gleichheit 1 j1 j 1 j1 r j Ds Guß sche Lemm rbeitet mit dem gleichen Trick, betrchtet ber nur ds Produkt 1/ j1 j dbei ist eine ungerde Primzhl Wir setzen lso vorus, dss eine ungerde Primzhl ist Die Zhlen 1,,, 1 teilen wir in zwei Hälften: P N Die unktierte Linien ist die Siegelchse für die Multiliktion mit 1 wir können die Zhlen in N in der Form 1+, +,, 1 + schreiben dbei durchlufen wir sie von rechts nch links Alterntiv können wir uch die Menge N um nch links verschieben, lso die Menge N { 1,,, 1} betrchten; dnn sieht mn noch eindringlicher, dss sich die Mengen P und N oder N unter der Multiliktion mit 1 entsrechen N P Bechte: die Zhlen j mit 1 j 1 sind die betrgsmäßig kleinsten Reste mod Für ds Guß sche Lemm emfiehlt es sich, die folgende Bezeichnung einzuführen: Für x Z sei rx der betrgsmäßig kleinste Rest von x modulo : es ist lso x rx mod und 1 rx 1 Guß sches Lemm Sei ungerde Primzhl Sei, 1 Sei µ die Anzhl der Zhlen j P, sodss die Restklsse der Zhl j modulo zu N gehört Dnn ist 1 µ Andere Formulierung: µ ist die Anzhl der Zhlen 1 j 1 mit rj < 0 Beweis: Wir zeigen ls erstes: Die durch j rj definierte Abbildung P P ist injektiv lso bijektiv Seien 1 i, j 1 Sei ri rj Es ist dnn entweder ri rj oder ri rj Ds letztere ist ber nicht möglich, denn dies würde bedeuten i ri rj j mod, lso i + j 0 mod ber, 1 und 1 i + j 1 Aus ri rj und 1 i, j < folgt ber i ri rj j, lso teilt i j und demnch i j Für 1 i, j < folgt drus i j

5 7-5 Elementre Zhlentheorie Trivile Bemerkung: Ist rj < 0, so ist rj rj, ist rj > 0, so ist rj rj Es ist demnch 1/ j1 rj 1 µ 1/ rj 1 µ 1/ j; j1 die letzten beiden Produkte unterschieden sich nur in der Reihenfolge der Fktoren, denn es ist { r, r, r3,, r 1 1 } {1,,, } Andererseits ist Wir sehen lso: 1/ j1 rj 1/ 1 µ 1/ j1 j1 j 1 j 1 1/ j1 Ds Element 1/ j1 j in Z/ ist invertierbr, lso ist 1 µ 1 mod j1 j mod j1 j mod Als letztes verwenden wir nun ds Euler-Kriterium: 1 mod und erhlten 1 µ mod D die beiden Zhlen links und rechts den Betrg 1 hben, folgt us der Kongruenz die Gleichheit Bemerkung Ws ist die Bedeutung der Menge P {1,,, 1 }? Sie liefert lle Qudrte modulo : Die Elemente 1,,, 1 in Z/ sind rweise verschieden und sind gerde die Qudrtzhlen in Z/ Beweis: D Z/ ein Körer ist, ht ein udrtisches Polynom wie etw f X mit Z/ höchstens Nullstellen in Z/ Ht f eine Nullstelle α in Z/, so zerfällt f in Linerfktoren: f besitzt lso zwei Nullstellen, und diese können für und 0 nicht zusmmenfllen Wir sehen: f ht die Fktorisierung f X α X αx + α und α α Ist ber α P, so ist α N, ist α N, so ist α P Wir sehen lso: die Qudrte der Zhlen in P sind rweise verschieden 73 Eine Folgerung us dem Guß schen Lemm 731 Sei ungerde Primzhl, sei, 1 Sei µ wie im Guß schen Lemm definiert Dnn gilt 1 1 µ + 1 j j1 mod

6 Leitfden Bielefeld WS 009/ Beweis: Teilen wir eine beliebige gnze Zhl b durch mit Rest, so erhlten wir die Gleichung b b + r b, mit 0 r b < Dbei gilt: Ist rb 0, so ist rb r b Ist dgegen rb < 0, so ist rb r b denn in diesem Fll ist 1 r b < 0 und ntürlich r b r b b mod, lso r b rb + Wir betrchten nun b j mit 1 j 1 Nch Definition von µ gibt es genu µ Zhlen j mit 1 j 1 und rj < 0 Für diese Zhlen j gilt lso r j rj+, für die restlichen Zhlen j gilt r j rj Wir summieren nun über lle j mit 1 j 1, dbei schreiben wir einfch ds Summenzeichen sttt 1 j1 Als erste Gleichung ergibt sich: j j j + r j j + r j j + rj + µ j + rj + µ mod, dbei gilt die letzte Kongruenz wegen 1 mod Wie wir im Beweis des Guß-Lemms gesehen hben, ist die Folge r, r, r3,, r 1 eine Permuttion der Folge 1,,, 1 Dies liefert ds linke Gleichheitszeichen in j rj rj mod, ds Kongruenzzeichen folgt ntürlich us der Ttsche, ds für beliebige gnze Zhlen b gilt: es ist b b mod Subtrhieren wir die Gleichung von der Gleichung, so erhlten wir 1 j j + µ mod Es bleibt noch zu bemerken, dss beknntlich n i1 i n+1 1 nn + 1 ist Für n 1 ist n+1 nn Wir können lso j durch 1 ersetzen 73 Erster Sezilfll: Wir erhlten die Regel Z 1 1/ Für erhält mn in 731 links 1, und rechts erhält mn µ, denn lle nderen Summnden sind j j 1 0 wegen j 1 Ds Guß- Lemm liefert die Behutung