( n ) 1 6 ( 6 ) 5 = ( 5 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) n 5. ( 6 ) 5n

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1 Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Frühjahrssemester 204 Übung März 204 Aufgabe 4. Würfelwürfe a) Xanthippe wirft 6 Würfel gleichzeitig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie genau eine Augenzahl 6? b) Yvette wirft 2 Würfel gleichzeitig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie genau zweimal die Augenzahl 6? c) Zora wirft 8 Würfel gleichzeitig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie genau dreimal die Augenzahl 6? d) Allgemein Bearbeitung 6 a) P = ( )( 6 ) 5 ( 6 ) 5 = ( 5 6 ) b) P = ( 2 )( 6 ) 2 5 ( 6 ) c) P = ( 3 )( 6 ) 3 5 ( 6 ) d) Wir werfen 6n Würfel gleichzeitig und fragen nach der Wahrscheinlichkeit, genau n mal die Augenzahl 6 zu erhalten. P = 6n ( n ) 6 ( ) n 5 ( 6 ) 5n

2 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 2 Tabelle: n 6n P n 6n P Aufgabe 4.2 Gebrauch der Tabelle Eine Laplace-Münze wird 7 mal geworfen. a) P(genau 3 mal Kopf ) =? b) P(höchstens 3 mal Kopf ) =? c) P(mindestens 3 mal Kopf ) =? d) P(Anzahl der Köpfe zwischen 4 und 6) =? Ergebnis a) b) 0.5 c) d) Aufgabe 4.3 Münzenwurf a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten wir beim Wurf von 0 Laplace-Münzen aa) genau 5 Mal Kopf? ab) zwischen 4 und 6 Mal Kopf? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten wir beim Wurf von 00 Laplace-Münzen ba) genau 50 Mal Kopf? bb) zwischen 40 und 60 Mal Kopf? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten wir beim Wurf von 000 Laplace-Münzen ca) genau 500 Mal Kopf?

3 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 3 cb) zwischen 400 und 600 Mal Kopf? d) Kommentieren Sie die Resultate Bearbeitung a) Binomialverteilung (Werte aus der Tabelle) aa) ab) P 0 5 ( ) = 5 0 ( ) 2 ( ) 5 ( ) ( ) = k P 0 4 k 6 6 ( 0 ) 2 k=4 ( ) k ( ) 0 k = = k Histogramm b) Binomialverteilung muss durch Normalverteilung approximiert werden. Es ist: ba) Direkte Berechnung: µ = np = 50 σ = npq = 5 P 00 ( 50) 5 2π e 2 ( ) 2 = π e0 = 5 2π Berechnung mit Normalverteilungstabelle: u b = b+ 2 µ = = 0. Φ( 0.) = u a = a 2 µ = = 0. Φ( 0.) = = P 00 ( 50) Φ( 0.) Φ( 0.) = =

4 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 4 bb) Berechung mit Normalverteilungstabelle: u b = b+ 2 µ = = 2. Φ( 2.) = u a = a 2 µ = = 2. Φ( 2.) = = P 00 ( 40 k 60) Φ( 2.) Φ( 2.) = = k Glockenkurve mit Integral c) Binomialverteilung muss durch Normalverteilung approximiert werden. Es ist: ca) Direkte Berechnung: µ = np = 500 σ = P 000 ( 500) π e ( 250 ) 2 = π e0 = π Berechnung mit Normalverteilungstabelle: u b = b+ 2 µ = = Φ( ) = u a = a 2 µ = = Φ( ) = = P 000 ( 500) Φ( ) Φ( ) = = cb) Berechung mit Normalverteilungstabelle:

5 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 5 u b = b+ 2 µ = = Φ( ) u a = a 2 µ = = Φ( ) = 0 P 000 ( 400 k 600) Φ( ) Φ( ) = 0 = d) Übersicht: n = 0 P 0 5 n = 00 P n = 000 P ( ) P 0 ( 4 k 6) ( ) P 00 ( 40 k 60) ( ) P 000 ( 400 k 600) Die Wahrscheinlichkeit, genau in die Mitte zu kommen, nimmt mit wachsendem n ab. Die Wahrscheinlichkeit, in eine 0%-Umgebung der Mitte zu kommen, nimmt mit wachsendem n zu. Aufgabe 4.4 Tabletten Tabletten werden automatisch gepresst. Untersuchungen während einer längeren Zeit haben ergeben, dass das Gewicht der so hergestellten Tabletten normalverteilt ist mit µ = 25 mg und σ = 0.7 mg. a) Welches ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht einer Tablette zwischen 23.8 mg und 26.2 mg liegt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Packung von 28 Tabletten das Gewicht aller Tabletten zwischen 23.8 mg und 26.2 mg liegt? Bearbeitung a) Die Grenzen a und b liegen symmetrisch bezüglich µ. Aus der Tabelle ergibt sich Φ u b u b = = ( ) = Φ( ) = Erinnerung an die gute alte Zeit: Unsere Tabelle gibt Φ.7 ( ) = und als nächs- ( ) = Für Φ( ) muss daher linear interpoliert ten Wert Φ.72 werden: Damit wird: ( ) Φ( ) = Φ(.7) Φ(.72) Φ(.7) = =

6 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 6 P = 2( Φ( u b ) 2 ) = 2Φ u b ( ) = % ( ) = arbei- Wenn wir ohne lineare Interpolation mit dem Tabellenwert Φ.7 ten, erhalten wir ein Schlussresultat 9.3%, also kein gigantischer Unterschied. Die Grafiken zeigen die Normalverteilung in echter und in standardisierter Form a = 23.8 b = 26.2 Normalverteilung ua =.74 ub =.74 Standardisierte Normalverteilung b) P = = %. Das Resultat zeigt, dass zwischen Produktion und Verpackung noch eine Zwischenkontrolle angebracht ist.