K2 KLAUSUR 2. Aufgabe Punkte (max) Punkte. (1) Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = 2 x

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Hertha Jaeger
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1 K2 KLAUSUR 2 PFLICHTTEIL 202 Aufgabe Punkte (max) Punkte () Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = 2 x (2) Berechnen Sie das Integral 4 ( ) x 2 dx. (3) Lösen Sie die Gleichung 2e x 5 + 3e x = 0. (4) Bestimmen Sie die von den Schaubildern der Funktionen f(x) = 2 x 2 und g(x) = x eingeschlossene Fläche.

2 2 6. Oktober 206 (5) Gegeben ist das Schaubild einer Funktion f(x). Begründen Sie, welche der folgenden Aussagen über deren Ableitung f (x) bzw. Stammfunktion F (x) wahr, falsch oder unentscheidbar sind. (a) Das Schaubild von f (x) liegt oberhalb der x-achse. (b) Das Schaubild von F (x) hat Tiefpunkte in P ( 0) und Q( 0). (c) Das Schaubild von F (x) ist streng monoton steigend. (d) Das Schaubild von F (x) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. (e) Es ist Bestimmen Sie a. f(x) = x2 + a. x (6) Gegeben ist die Gerade 3 2 g : x = + t. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, welche g enthält und parallel zur x -Achse ist. (7) Gegeben sind die Ebene E : 4x + 2x 2 + 5x 3 = 20 und die Punkte P (2 6 0) und Q(0 5 2). Geben Sie eine Gleichung der Geraden g durch P und Q an und zeigen Sie, dass g in E liegt. Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide, die vom Ursprung und den Spurpunkten von E gebildet wird. (8) Gegeben sind zwei parallele Geraden g und h. Beschreiben Sie, wie man die Gleichung einer Ebene E bestimmen kann, für welche die Gerade g beim Spiegeln an E in die Gerade h übergeht.

3 6. Oktober Lösungen () Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = 2 x Es ist f(x) = 2(x 2 + 4) /2, also f (x) = 2 2 (x2 + 4) /2 2x 2x = x (2) Berechnen Sie das Integral 4 ( ) x 2 dx. Es ist 4 ( ) x 2 dx = (3) Lösen Sie die Gleichung [ x + ] 4 = 4 + x 4 ( + ) = e x 5 + 3e x = 0. Substitution e x = z, also e x = z. Damit wird die Gleichung z 5 + z = 0. Multiplikation mit z ergibt die quadratische Gleichung 2z 2 5z + 3 = 0. Dies liefert z = und z 2 = 3 2. Resubstitution ergibt x = ln() = 0 und x 2 = 2 ln( 3 2 ). Die einzigen Umformungen von Logarithmenausdrücken, die man von euch erwartet, sind ln(a k ) = k ln a, ln(e) = und ln() = 0. Alles andere im Zweifelsfall stehen lassen. (4) Bestimmen Sie die von den Schaubildern der Funktionen eingeschlossene Fläche. f(x) = 2 x 2 und g(x) = x Schnittpunkte bestimmen: f(x) = g(x) ergibt x 2 + x 2 = 0, also x = 2 und x 2 =. Wegen f(0) = 2 und g(0) = g ist f(x) > g(x) im Intervall [ 2, ], und wir finden 2 (f(x) g(x)) dx = 2 (2 x x 2 ) dx = 2x 2 x2 3 x3 = 2 2 ( ) 3 = 9 2. (5) Gegeben ist das Schaubild einer Funktion f(x). Begründen Sie, welche der folgenden Aussagen über deren Ableitung f (x) bzw. Stammfunktion F (x) wahr, falsch oder unentscheidbar sind. 2

4 4 6. Oktober 206 (a) Das Schaubild von f (x) liegt oberhalb der x-achse. (b) Das Schaubild von F (x) hat Tiefpunkte in P ( 0) und Q( 0). (c) Das Schaubild von F (x) ist streng monoton steigend. (d) Das Schaubild von F (x) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. (e) Es ist Bestimmen Sie a. f(x) = x2 + a. x (a) ist wahr, da f streng monoton steigend ist. (b) ist unentscheidbar: zwar hat F Tiefpunkte in x = und x 2 = +, da f dort Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von nach + besitzt, aber es ist nicht klar, dass F ( ) = 0 und F (+) = 0 ist, da F durch die Ableitung nur bis auf Verschiebung in Richtung y-achse festgelegt ist. (c) ist falsch, da nicht überall f (x) > 0 ist (z.b. gilt f( 2) < 0). (d) Da F Tiefpunkte in x = und x 2 = + hat, kann F nicht punktsymmetrisch, sondern höchstens achsensymmetrisch sein. (e) Wenn man sich aussuchen kann, ob man ( 0) oder (+ 0) einsetzen kann, nimmt man den mit weniger Vorzeichen: 0 = f() = +a = a + liefert a =. (6) Gegeben ist die Gerade 3 2 g : x = + t. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, welche g enthält und parallel zur x -Achse ist. Es ist 3 2 E : x = + t + u 0, 0

5 6. Oktober wegen 2 0 = 0 0 also E : x 2 x 3 = 2, wo wir, um die rechte Seite zu erhalten, P (3 ) eingesetzt haben. (7) Gegeben sind die Ebene E : 4x + 2x 2 + 5x 3 = 20 und die Punkte P (2 6 0) und Q(0 5 2). Geben Sie eine Gleichung der Geraden g durch P und Q an und zeigen Sie, dass g in E liegt. Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide, die vom Ursprung und den Spurpunkten von E gebildet wird. Es ist 2 2 g : x = 6 + t. 0 2 Um zu zeigen, dass g in E liegt, kann man a) g und E Schneiden: 4(2 2t) + 2(6 t) + 5(2t) = t + 2 2t + 0t = = 20 b) zeigen, dass P und Q in E liegen, was man einfach durch Einsetzen kontrolliert. Die Spurpunkte von E sind S (5 0 0), S 2 (0 0 0) und S 3 (0 0 4). Das Dreieck OS S 2 ist rechtwinklig und hat Flächeninhalt G = = 25, die Pyramide hat Höhe OS 3 = 4, somit ist V = Natürlich kann man auch das Dreieck S S 2 S 3 als Grundfläche nehmen. Mit a = S S 2 und b = S S 3 folgt a b = = 40 20, und der Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Dreiecks ist gleich A = 2 a b = = = Die Höhe der Pyramide ist der Abstand des Ursprungs von der Ebene E, also mittels HNF E : 4x + 2x 2 + 5x 3 20, 45

6 6 6. Oktober 206 d.h. d = Also ist V = 3 Gh = = Wie immer ist es einfacher, rechte Winkel auszunutzen. (8) Gegeben sind zwei parallele Geraden g und h. Beschreiben Sie, wie man die Gleichung einer Ebene E bestimmen kann, für welche die Gerade g beim Spiegeln an E in die Gerade h übergeht. Skizze machen! (a) Wähle einen beliebigen Punkt P auf g. (b) Bilde die Hilfsebene F durch P, die senkrecht auf g steht (also mit Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor) (c) Der Schnittpunkt von F mit h sei Q. (d) Der Mittelpunkt M von P Q liegt auf E, und der Vektor n = P Q steht senkrecht auf E. Also ist E : (x OM) n = 0 die gesuchte Ebenengleichung.

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