Numerische Mathematik Sommersemester 2013

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1 TU Chemnitz 5. Februr 2014 Professur Numerische Mthemtik Prof. Dr. Oliver Ernst Dipl.-Mth. Ingolf Busch Dipl.-Mth. techn. Tommy Etling Numerische Mthemtik Sommersemester 2013 Musterlösungen zu nicht behndelten Aufgben Aufgbe 45: Es seien T = { = x 0, x 1,..., x n = b} n+1 prweise verschiedene Knoten x i R, x i < x i+1. ST k bezeichnet den Rum der Splines der Ordnung k bzgl. T, d.h. s(t) S k T = s(t) C k 1 [, b] s(t) [xi 1,x i ] = s i (t) P k Die Funktion (x x i ) k + S k T wird durch (x x i ) k + = { (x x i ) k x x i 0 x < x i definiert. Zeigen Sie, dß gilt S k T = spn{1, x,..., xk, (x x 1 ) k +,..., (x x n 1 ) k +} dim S k T = n + k. (i) {1, x,..., x k, (x x 1 ) k +,..., (x x n 1 ) k +} ist ein Erzeugendensystem von ST k. Mit Hilfe der ertsen Funktionen 1, x,..., x k knn mn jedes Polynom k-ten Grdes uf dem ersten Intervll beschreiben, lso uch ein Polynom, welches die ersten beiden Interpoltionsbedingungen erfüllt. D diese Funktionen globl definiert sind sind sie uch beliebig oft stetig diffbr. Die nächste Funktion (x x 1 ) k + ist in x 1 Null und (k 1) ml stetig differenzierbr und stückweise ein Polynom vom Grd k. Sie ist lso eine Splinefunktion. Mit Ihrer Hilfe knn mn die dritte Interpoltionsbedingung erfüllen, ohne die beiden vorherigen zu verändern. Nch diesem Schem knn mn die weiteren Funktionen nutzen um die weiteren Interpoltionsbedingungen zu erfüllen. Ds heißt lso, dss mn mit dieser Menge von Funktionen jede Splinefunktione durch eine Linerkombintion bilden knn. Dmit ist dies Menge ein Erzeugendensystem des Rumes ller Splinefunktionen der Ordnung k bzgl. einer Zerlegung T. Dmit ist lso die Dimension des Spline-Rumes durch n + k nch oben begrenzt.

2 (ii) Linere Unbhängigkeit der Funktionen 1, t,..., t k, (t t 1 ) k +,..., (t t n 1 ) k + s(t) = k n 1 j t j + c j (t t j ) k + = 0 t [, b] j=1 Wir betrchten die lineren Funktionle G i (s) := 1 ( s (k) (t + i (k)! ) s(k) (t i )), i = 1,..., l (Bem.: rechts- bzw. linksseitige k te Ableitung in t i ) k 1 0 = G i (s) = j G i (t j ) + l j=1 d G i (t j ) = 0 und G i ([t t j ] k +) = c i = 0 i = 1,..., l c j G i ([t t j ] k 1 + ) = c i { 0 i j 1 i = j. k 1 0 = s(t) = j t j j = 0 j = 0,..., k 1. Behuptung. Dmit ist ds Erzeugendensystem liner unbhängig, lso eine Bsis und dmit ist die Dimension von ST k mit n + k festgelegt. Aufgbe 47: () Sei V ein normierter Vektorrum sowie U ein endlichdimensionler Unterrum von V. Mn zeige: Zu jedem v V existiert eine Bestpproximtion us U, d.h. ein u U mit der Eigenschft v u v u u U. (b) Mn zeige: Die Abbildung I n : C[, b] P n, welche einer stetigen Funktion f ihr Interpoltionspolynom I n f vom Grd n bezüglich einer gegebenen Knotenmenge (prweise verschiedener Knoten) zuordnet, ist eine Projektion. Die Norm Λ n := I n f f dieser Abbildung wird Lebesgue-Konstnte gennnt. Mn zeige: Λ n = n l j. (c) Mit E n (f) sei der Fehler Bestpproximtion n die Funktion f C[, b] us dem Rum P n der Polynome vom Grd höchstens n (bezüglich der Mximumnorm) bezeichnet. Zeigen Sie: für den Interpoltionsfehler gilt E n (f) f I n f (1 + Λ n ) E n (f). 2

3 () Wir definieren uns die Funktion g : U R mit g(u) = v u. Dnn gilt, mit Hilfe der Dreiecksungleichung g(u) g(w) = v u v w (v u) (v w) u w Dmit ist g lso eine stetige Funktion uf U und dmit uch jedem Unterrum von U. Betrchten wir den Unterrum B = {u U : u 2 v } U. Dnn gilt für jedes Element f / B, lso f > 2 v : g(f) = v f v f = f v > 2 v v = v = g(0) D offensichtlich 0 B gilt. Ist lso ds gesuchte Element u in der Menge B zu suchen. Dmit suchen wir lso ein minimles Element u in der Menge B. D ber B nch Definition bgeschlossen und beschränkt ist, und d B ls Unterrum eines endlichdimensionlen Rumes wieder endlichdimensionl ist, ist B kompkt. D g(u) 0 ist gilt uch inf g(u) = inf 0 u U u B Wegen der Kompktheit von B wird dieses Infimum uch in einem Element u ngenommen und dmit gilt für dieses Element g(u ) g(u) u U (b) Es gilt Λ n = I n f f = = = mx Es gilt lso für lle Funktionen f: mx n f(x i)l i (x) mx n f(x i) l i (x) mx n l i(x) mx n l i (x) n l i (x) n = l i I n f Λ n f 3

4 (c) Sei f P n die Bestpproximtion n f us dem Rum der Polynome vom Grd n, lso E n (f) = f f und E n (f) f p für lle Polynome p P n, lso uch für ds Interpoltionspolynom I n f. Dmit ist lso der erste Teil der Ungleichung gezeigt. Für den zweiten Teil der Ungleichung benötigt mn nur die Eigenschft, dss I n eine Projektion ist, dss lso I n p = p für lle Polynome p P n. f I n f = f (f f }{{} =I nf ) I n f = (f f ) + I n (f f ) f f }{{ + I } n (f f ) (1 + Λ }{{} n )E n =E n(f) Λ n f f Aufgbe 48: () Es sei f(x) C 4 (, b), und s(x) sei eine kubische Spline Funktion bezüglich der Zerlegung = x 0 < x 1 <... < x n = b mit s(x i ) = f(x i ), i = 0,..., n. Beweisen Sie, dss f(x) s(x) 2 [ ] 2 = f(x) s(x) f (iv) (x) dx gilt, flls zusätzlich eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (i) f (x) = s (x) für x =, b, (ii) f (x) = s (x) für x =, b, (iii) s(x) und f(x) sind periodisch. (b) Zeigen Sie: Ist T eine Verfeinerung der Zerlegung T des Intervlls [, b], d.h. T T, und bezeichnen s bzw. s die zu diesen Zerlegungen gehörenden kubischen Splinefunktionen, welche die Funktion f interpolieren, so gilt f 2 s 2 s 2. Bemerkung: Mit f(x) 2 wird die Hlbnorm f(x) 2 2 = f (x) 2 0 = f(x)2 dx bezeichnet. () Zweimlige prtielle Integrtion liefert f s 2 2 = (f s ) s dx = (f s )(f s )dx [ = (f s )(f s ) (f s)(f s )] b b + (f s)(f (iv) s (iv) ) dx Die Rndterme verschwinden, flls eine der drei Zustzbedingungen erfüllt ist und weil f() = s() und f(b) = s(b). Ferner ist s (iv) (x) 0 ls stückweises Polynom dritten Grdes. (b) Dies folgt us der Extremleigenschft (Minimierungseigenschft) kubischer Splines (siehe Vorlesung) und us f(x i ) = s(x i ) = s(x i ) für lle Knoten x i T, d.h. es gilt D s bezüglich s 2 s 2. T ein kubischer Interpoltionsspline für f ist, folgt f 2 s 2. 4

5 Aufgbe 49: Es sei A R n n. Bestimmen Sie lle Toeplitz-Mtrizen T R n n mit A T F = min{ A T F : T R n n ist Toeplitz-Mtrix}. Toeplitzmtrix A T 2 F = n i,j=1 t 0 t 1 t n 1 t 1 t 0 t 1 t n 2 T = t1 t 1 n t 1 t 0 ij t ij 2 Approximtionsproblem für jede Digonle, d.h. ij t k 2 min ( (ij) t 2 2 min für t spn{(1,..., 1)} ) Für festes k: Problem der Bestpproximtion eines Vektors { ij } uf spn{(1,..., 1)} = {v = (t k,..., t k )} d.h. 0 = d d.h. d.h. { ij t k } (d,..., d) T bzgl. (.,.) ( ij t k )d = 0 d (Vektorlänge: n k ) { ( ij t k ) = d ij {... } = 0 t k = ij n k } { t k = d ij (n k )t k } Die Bestpproximtion us dem Rum der Toeplitz-Mtrizen erhält mn lso, wenn mn jede Digonle durch Ihren Mittelwert ersetzt. 5