Aufgaben zu Ableitung und Integral der ln-funktion

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1 Aufgaben zu Ableitung und Integral der ln-funktion. Bilden Sie von folgenden Funktionen jeweils die. Ableitung. a) f(x) = x+lnx b) f(x) = (lnx) c) f(x) = x(lnx) xlnx+x d) f(x) = e) f) x (lnx ) f(x) = x ln( ex ) f(x) = ln e x + e x g) f(x) = ln x. Geben Sie zu folgenden Funktionen jeweils eine Stammfunktion an. a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) = x+3 3x x d) f(x) = x + e) f(x) = x +x 3 f) f(x) = x 3x+ 4 x x x+ g) f(x) = x + 3x h) f(x) = x i) f(x) = x + x x 3. Berechnen Sie das bestimmte Integral. 3 3 a) b) c) d) dx 5x x x dx x+ x +x+ dx e x dx + ex 4. Die Funktionen f(x) = x x+ und g(x) = x+ schließen mit der Geraden x = k x für < k < ein endliches Flächenstück A k ein (Schnittstelle bei x = ). Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt A(k) der Fläche A k in Abhängigkeit von k gilt: A(k) = k +k ln(k)+ k + 3 k 4. Beweisen Sie zunächst, dass gilt: limk ln(k) = gilt. Untersuchen Sie dann, ob der k k> Grenzwert lima(k) existiert und erklären Sie, was Ihr Ergebnis geometrisch bedeutet. k k>

2 5. Der Graph G f ( f(x) = (x ) ) schließt mit der x-achse, seiner schiefen Asymptote und der Geraden x = ein Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie das Flächenstück in folgender Zeichnung und berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts. (Abitur AI). Die Funktion F(x) = x+ln() + 3 ist eine Stammfunktion von mit D =! \ F f ( f(x) = x 4 ) (Nachweis nicht erforderlich). G f und die Koordinatenachsen schließen () im III. Quadranten ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie die exakte Maßzahl seines Flächeninhalts. (Abitur AII) { }

3 7. Gegeben ist die reelle Funktion f :x! x 5, die sich auch in der Form 4 (x 3) f(x) = darstellen lässt. G f schließt mit der x-achse ein Flächenstück ein. 4 x x 3 Kennzeichnen Sie das Flächenstück in untenstehendem Schaubild und berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts auf zwei Nachkommastellen gerundet. (Abitur 3 AI) 8. Zeigen Sie, dass gilt: g(x)dx = 4 ln ( ) und berechnen + C mit C! Sie die Maßzahl des Inhalts der Fläche, die G g mit den Achsen einschließt. (Abitur 3 AII)

4 9. Der Graph G f der Funktion f mit f(x) =,5x + 3x, die schiefe Asymptote und die x+ beiden Koordinatenachsen schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in untenstehender Zeichnung und ermitteln Sie seine Flächenmaßzahl auf zwei Nachkommastellen gerundet. (Abitur 5 AI). Der Graph der Funktion f mit f(x) = x + und eine Parallele zur x-achse im x Abstand von LE schließen ein endliches Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in untenstehender Zeichnung und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts auf zwei Nachkommastellen gerundet. (Abittur 5 AII)

5 . Der Graph der Funktion f mit f(x) = schließt mit der x-achse ein x 3+ 7 x+ 4 endliches Flächenstück ein. Schraffieren Sie dieses in der untenstehenden Zeichnung und zeigen Sie, dass die exakte Maßzahl seines Flächeninhalts -3,5ln(7) beträgt. (Abitur AI). Gegeben ist die Funktion f :x! 4+ 8 mit der maximalen Definitionsmenge (x ) D f!. Ihr Graph heißt G f. Zeigen Sie, dass die Funktion F mit F(x) = 4x+8 ln( x) 4 x ind = F ; eine Stammfunktion von f ist. Der Graph G f schließt mit seiner waagrechten Asymptote und der y-achse im. Quadranten eine endliche Fläche ein. Schraffieren Sie diese Fläche in untenstehender Zeichnung und berechnen Sie die Maßzahl ihres Flächeninhalts. (Abitur AII)

6 Lösungen a) f (x) = + b) f (x) = lnx c) x x f (x) = (lnx) d) f (x) = xlnx e) f (x)= + 4ex e x = 4 e x = e x f) f (x) = g) f (x) = () x = + e x x () x () = x(x ) a) F(x) = ln x+3 + C b) F(x) = ln 3x + C c) F(x) = ln x ( )+ C 3 d) e) f(x) = x+ x F(x) = x + x ln x + C f(x) = + x 3 x F(x) = x+ln x + 3 x + C f) g) f(x) = x 5+ 4 x+ F(x) = x 5x+4 ln x+ + C f(x) =,5x+,5+,75 F(x) =,5x +,5x 3 ln + C 8 h) F(x) = ln + x + C i) F(x) = ln x + C 3a) 3b) 3 ln 3 = 3ln 3ln = 3ln,8 5x x x dx = (5x+9+ 8 x )dx =,5x + 9x+8 ln x = (8 ln) (, ln) = 8ln,5,98 3c) ln x +x+ = ln4 ln = ln4,9 3d) ln + e x + = ( ln) ( ln(+ e )) = ln+ln(+ e e ) = ln,38 4. A(k) = (f(x) g(x))dx = k = x + x + x dx = k = x ln x x + x k x x+ ( x+) x dx = k k x + x + x dx = =,5+k +lnk + k k = k +k lnk + k + 3 k

7 4. limk lnk > = (Potenzfunktion dominiert über ln-funktion) k lim > k k +k lnk + k > A(k) + für k k + 3 existiert nicht Die Fläche zwischen dem Graph G f und dem Graph G g, die sich für Unendliche erstreckt, ist unendlich. > k nach oben ins 5. (x 4x+ 4):() = x 3+ A = f(x) (x 3) dx = dx = ln = ln5 ln = ln5 A = = (Dreieck unterhalb der x-achse, das die schiefe Asymptote mit der x-achse einschließt) A = ln5,5,

8 . A = f(x)dx = x+ln() + 3 = (( 3) ( +ln(9) )) = ln(9) = 7. 5 A = (,5x+,75+ x 3 )dx =,5x +,75x+ln x 3 5 ( ) =,5 5+,75 5 +ln 5 3 =,5 5 +ln 5 3 ln 5 3, ( ) =,5 5+,75 ( 5)+ln 5 3 =

9 8. G (x) = 4 ()+ () () = 8() () + () = 8x+8 () = g(x) G ist Stammfunktion von g; A = g(x)dx = 4 ln ( x ) = 4ln4 8 = 8 4ln4,45 = ( 4ln() +) ( 4ln(4) + 8) =

10 9. A = 7 x+3,5 f(x) dx+ x+3,5 dx = = x+3,5 7 3,5 x+3,5 x+ dx+ x+3,5 dx = 7 3,5 = x+ dx+ x+3,5 dx = 7 = 3,5ln x+ + 4 x + 3,5x = (3,5ln7 3,5ln)+(,5 ) = = 3,5ln7+,5 7, Alternativen: ) A = x+3,5 f(x) dx+ A klein ) A = A groß f(x) dx

11 . x + x = x + = 4 x x +x 3= (x+3)() = x = 3 x = A = ( f(x) )dx = x 5 x dx = x+ 4 5 x dx = 3 3 = x + 4x+5ln x 3 3 = 4,5+ln ( 7,5+ 5ln5) = 5ln5 3,95

12 . 5 A = x 3+ 7 x+ 4 dx = 4 x 3x+3,5 ln x+ 4 = = ( 8,75+ 3,5 ln(4) ) ( 3,5+ 3,5 ln() ) = 8,75 3,5 ln(4)+ 3,5+ 3,5 ln() = = 3,5 ln(4) ln() ( ) = 3,5 ln(7) 5

13 . (x ) 4 F (x) = 4+ 8 ( ) = 4+ 8 x (x ) x + 4 (x ) = = 4+ 8(x )+ 4 = 4+ 8 (x ) (x ) = f(x) F ist Stammfunktion von f A =,5 ( 4 f(x) )dx = 4x 4x+8 ln( x) 4 x = 8 ln( x)+ 4 x,5 = ( 8ln(,5) 8) ( 8ln() ) 5,9,5 =