Physik 2 Hydrologen et al., SoSe 2013 Lösungen 3. Übung (KW 19/20) Carnot-Wärmekraftmaschine )

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1 3. Übung KW 19/20) Aufgabe 1 T 4.5 Carnot-Wärmekraftmaschine ) Eine Carnot-Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen den Temperaturen und. Während der isothermen Expansion vergrößert sich das Volumen von auf V B. Der Arbeitsstoff ist Luft der Masse m. a) Welche Arbeit W gibt die Maschine in einer Periode ab? b) Welches maximale Volumen nimmt das Gas während des Prozesses an? c) Berechnen Sie das Verhältnis aus größtem und kleinstem Druck pmax /p min )! 580 K, 290 K, 1.13 l, V B 11.3 l, m 0.1 kg, M r 29, κ 1.40 Aufgabe 2 T 4.4 Nutzeffekt ) Einer Maschine, die nach dem Carnot-Prozess arbeitet, wird bei tiefer Temperatur ϑ 2 eine Wärme Q 2 zugeführt. Bei hoher Temperatur ϑ 1 wird Q 1 abgeführt. a) Zu welchem Zweck kann die Maschine eingesetzt werden? b) Man berechne die Arbeit W für eine Periode! Wie wird sie im pv )-Diagramm veranschaulicht? c) Durch welche Beziehungen wird der Nutzeffekt der Maschine beschrieben, und wie groß ist er? d) Wie errechnet sich ϑ 1, wenn ϑ 2, Q 1 und Q 2 gegeben sind? e) Wie groß ist die Masse des Gases, mit dem die Maschine arbeitet? Es ist bekannt, dass sich das Gas Wasserstoff) bei der tiefen Temperatur von V a auf V b ausdehnt. ϑ 2 20 C, Q kj, Q kj, V a 100 l, V b 200 l, M r H 2 ) 2 Aufgabe 3 T 4.7 Kältemaschine ) Eine Kältemschine wird von einem Motor der Leistung P angetrieben. Das Kältegefäß besitzt die Temperatur ϑ 2, das Kühlgefäß die Temperatur ϑ 1. Wie groß ist die Masse m des Eises der Temperatur ϑ 2, das die Maschine stündlich aus Wasser der Temperatur ϑ 3 liefert, wenn man voraussetzt, dass sie nach einem Carnot-Prozess arbeitet? Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 1 von 7

2 P 10 kw, ϑ 1 30 C, ϑ 2 18 C, ϑ 3 20 C, q f 332 kj kg 1 Schmelzwärme des Eises) c E 2.09 kj kg 1 K 1 spezifische Wärmekapazität des Eises) c W 4.19 kj kg 1 K 1 spezifische Wärmekapazität des Wassers) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 2 von 7

3 Lösung zu Aufgabe 1 a) Die pro Zyklus von der Maschine verrichtete Arbeit W ließe sich anhand des Wirkungsgrades η berechnen, falls die vom oberen Wärmereservoir aufgenommene Wärmemenge Q h bekannt wäre: η W Q h W ηq h. 1.1) Da unsere Maschine nach dem Carnot-Prozess arbeitet, beträgt ihr Wirkungsgrad was in 1.1) eingesetzt wird: η, W Q h. 1.2) Um die noch fehlende Wärmemenge Q h zu ermitteln, betrachten wir die Einzelprozesse des Carnot-Prozesses, der aus einer isothermen Expansion, einer adiabatischen Expansion, einer isothermen Kompression und einer adiabatischen Kompression besteht. Während der beiden adiabatischen Zustandsänderungen wird per Definition) gar keine Wärme transportiert, d. h. nur während der bei der hohen Temperatur durchgeführten isothermen Expansion wird dem oberen Temperaturbad Wärme entnommen. Da hierbei die Temperatur und damit die Innere Energie konstant bleiben, gilt 0 U Q h W h, d. h. Q h W h. 1.3) Die Volumenarbeit, die das Gas dabei verrichtet errechnen wir mit dem entsprechenden Integral zu W h dv pv ) dv νr V νr ln V B. 1.4) Jetzt müssen wir noch die Stoffmenge ν durch die Masse m ausdrücken. Dies geschieht über die molare Masse M m : M m m ν ν m M m m M r g mol 1 m M r mol g 1 1.5) Die Gleichungen 1.2) 1.5) setzen wir ineinander ein und erhalten das gewünschte Ergebnis ) VB m W R ) ln mol g 1 M r ) 11.3 l J mol 1 K kg 580 K 290 K) ln mol g l kj. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 3 von 7

4 b) Das Gas erreicht sein maximales Volumen V C am Ende der adiabatischen Ausdehnung, bevor es isotherm komprimiert wird. Der Zustand B am Anfang der adiabatischen Ausdehnung ist vollständig bekannt: Temperatur und Volumen V B sind gegeben und Druck p B lässt sich über die Zustandsgleichung des idealen Gases bestimmen. Vom Zustand C hingegen ist vorläufig nur dessen Temperatur bekannt. Um das gesuchte V C zu ermitteln, wenden wir die Zustandsgleichung des idealen Gases auf die beiden Zustände B und C an und verknüpfen diese beiden Zustände mit Hilfe der Adiabatengleichung: p B V B νr 1.6) p C V C νr 1.7) p B V κ B p C V κ C. 1.8) Die Gleichungen 1.6) 1.8) bilden zusammen ein Gleichungssystem für die drei Unbekannten p B, p C und V C. Wir lösen es, indem wir 1.6) und 1.7) jeweils nach p auflösen und in 1.8) einsetzen: νr VB κ νr V B V C V κ C V κ 1 B V κ 1 C ) 1 Th κ 1 V C VB. 1.9) Das größte vom Gas beanspruchte Volumen beträgt somit V C ) K l 63.9 l. 290 K c) Das Druckmaximum des Gases wird im Zustand A und das Druckminimum im Zustand C angenommen. Wir beginnen mit der Idealgasgleichung, angewendet auf die beiden Zustände A und C: p A νr 1.10) p C νr V C 1.11) Das Volumen V C wurde in b) berechnet, wir können also 1.9) in 1.11) einsetzen: p C νr V B Tt ) 1 κ ) und 1.10) durch 1.12) dividieren: p max p min p A p C V B Th ) 1 κ 1 V B Th ) 1+ 1 κ 1) V B Th ) κ κ Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 4 von 7

5 Lösung zu Aufgabe 2 a) Die Maschine transportiert einen Nettowärmestrom vom kalten Reservoir ins warme Reservoir, kann also als Wärmepumpe oder als Kältemaschine eingesetzt werden. Im Falle einer Wärmepumpe interessiert man sich für das Erwärmen des oberen und im Falle einer Kältemaschine für das Kühlen des unteren Wärmereservoirs. b) Nach einer vollständigen Periode hat man denselben Zustand wie vor dem Zyklus erreicht, die Innere Energie hat sich also nicht geändert und somit gilt U 0. Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik folgt somit W Q Q }{{} 2 + Q 1 Q }{{} 2 Q kj 921 kj 84 kj. >0 <0 Hierbei habe ich das Vorzeichen so gewählt, dass Wärme positiv gezählt wird, wenn sie von der Maschine aufgenommen und negativ, wenn Wärme von der Maschine abgegeben wird. Die Maschine verrichtet pro Periode die negative Arbeit W 84 kj, d. h. die Umwelt verrichtet an der Maschine die positive Arbeit W +84 kj. Im pv )-Diagramm entspricht die Arbeit dem von der Kurve eingeschlossenen Flächeninhalt, denn es gilt W 2 dv pv ). 1 c) Je nachdem, ob man die Maschine als Wärmepumpe oder als Kältemaschine betreibt, wird der Nutzeffekt durch die Leistungszahlen ε W bzw. ε K mit ε W Q 1 W Q 1 Q 2 + Q ε K Q 2 W Q 2 Q 2 + Q beschrieben. Je höher der Nutzeffekt ist, desto mehr Wärme wird pro aufgebrachter Arbeit in das obere Reservoir transportiert Wärmemaschine) bzw. aus dem unteren Reservoir abgeführt Kältemaschine). Im vorliegenden Beispielt bedeutet dies, dass man für jedes Joule Arbeit, das man in die Maschine hineinsteckt z. B. in Form von elektrischem Strom), 10 Joule Wärme aus dem unteren Temperaturreservoir abführt und 11 Joule Wärme in das obere Reservoir hineintransportiert; die hineingesteckte Arbeit von einem Joule wird in Wärme umgewandelt und zusammen mit den 10 Joule aus dem unteren Reservoir in das obere Reservoir gebracht. d) Da wir es mit einem Carnot-Prozess zu tun haben, lauten die Nutzwerte wie folgt: ε W T 1 T 1 T 2 2.1) ε K T 2 T 1 T ) Beide Gleichungen können nun benutzt werden, um die gesuchte Temperatur T 1 zu berechnen. Ich wähle die zweite Gleichung, da dort das T 1 nur einmal vorkommt Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 5 von 7

6 und diese deshalb einfacher nach T 1 aufzulösen ist: 2.1) T 1 T 2 + T 2 ε K T 0 + ϑ 1 T 0 + ϑ 2 ) ϑ K + 20 C) 49.3 C ) ε K ) K 11.0 e) Wie erlangen wir Kenntnis über die Masse des verwendeten Wasserstoffs? Indem wir ausnutzen, dass die von der Maschine d. h. vom Gas) verrichtete Arbeit von der Stoffmenge und somit von der Masse des Gases abhängt. Betrachten wir die Arbeit, die das Gas während der isothermen Expansion bei der tiefen Temperatur) verrichtet: W 2 dv pv ) dv νrt 2 V νrt 2 ln V B 2.3) Andererseits wissen wir, dass bei einem isotherm geführten Prozess die Innere Energie unverändert bleibt, U 2 0, demzufolge die vom Gas verrichtete Arbeit zu hundert Prozent aus der vom unteren Temperaturbad entnommenen Wärmemenge stammt: 0 U 2 Q 2 W 2, d. h. W 2 Q ) Die Stoffmenge des Wasserstoffs ergibt sich aus 2.3) und 2.4) zu ν Q 2 RT 2 ln V B VA, so dass sich die gesuchte Wasserstoffmasse zu berechnet. Q 2 m M m H 2 )ν M m H 2 ) Q 2M r H 2 ) g mol 1 RT 2 ln V B VA RT 2 ln V B VA 837 kj 2 g mol kg J mol 1 K K ln 200 l 100 l Lösung zu Aufgabe 3 Unsere Eismaschine arbeitet nach dem Carnot-Prinzip zwischen den beiden Temperaturen T 1 und T 2, d. h. sie entnimmt dem unteren Wärmebad bei T 2 ) die Wärmemenge Q 2 und gibt die Wärmemenge Q 1 an das obere Wärmebad bei T 1 ) ab, wobei von außen die Arbeit W zugeführt wird. Die dem unteren Wärmereservoir entnommene Wärmemenge Q 2 ist genau diejenige Wärmemenge, die bei der Eisproduktion abfällt. Die Eisproduktion umfasst dabei die folgenden drei Teilschritte: Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 6 von 7

7 1. Abkühlen des für die Eisproduktion benötigten Wasser von der Ausgangstemperatur T 3 auf die Gefriertemperatur bzw. Schmelztemperatur) T Gefrieren des Wassers, d. h. Übergang vom flüssigen Wasser zum festen Eis. 3. Abkühlen des Eises von der Gefriertemperatur T 0 auf die Endtemperatur T 2. Für die bei der Eisherstellung von dem Eis der Masse m an die Maschine abgegebene Wärmemenge gilt somit Q 2 mc W T 3 T 0 ) + mq f + mc E T 0 T 2 ). 3.1) Die Leistungszahl ε K der Eismaschine verknüpft diese Wärmemenge Q 2 mit der von außen an der Maschine verrichteten Arbeit W, und zwar gilt Q 2 ε K W. 3.2) Uns interessiert die während der Zeit t erzeugte Eismenge. Um diese zu bestimmen, benötigen wir die in der Zeit t an die Maschine abgegebene Arbeit, die wir über die bekannte Leistung P des Motors herausbekommen: W P t. 3.3) Wir setzen 3.1) und 3.3) in 3.2) ein und lösen nach der Masse auf: mc W T 3 T 0 ) + mq f + mc E T 0 T 2 ) ε K P t m ε K P t c W T 3 T 0 ) + q f + c E T 0 T 2 ) Die Kühlleistungszahl einer Carnot-Maschine lautet ε K T 2 auf das Ergebnis T 1 T 2, was schließlich T 2 T m 1 T 2 P t c W T 3 T 0 ) + q f + c E T 0 T 2 ) kw 3600 s ) ) 4.19 kj kg 1 K ) K kj kg kj kg 1 K )) K 422 kg führt. Die Maschine erzeugt stündlich etwa 422 kg Eis. Quellen Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: Die Übungs- und Lösungsblätter gibt es unter Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> 7