Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah

Transkript

1 Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah Sie erhalten hier einen Einblick in die Dokumente Aufgaben und Lösungen sowie Erläuterungen Beim Kauf erhalten Sie zudem zusätzlich die Dokumente Übersichtsdiagrammamm sowie Altklausuranalyse dieses Themengebiets. Weitere Erläuterungen zu den einzelnen Dokumenten finden Sie auf der Startseite des Webauftritts ( Bei den folgenden Einblicken können Sie - den modularen Aufbau (durch Aufgabenvarianten) - und die Zuordnungssystematik des Komfortsystems erkennen: Die Symbole rechts oben verbinden die Abschnitte, für eine schnelle Zuordnung: Erläuterungen Aufgaben und Lösungen Diese Symbole werden auch beim Übersichtsdiagramm und bei der Altklausurenanalyse aufgegriffen und verwendet.

2 Algorithmische Mathematik Simplex-Algorithmus Erläuterungen Lernmaterial zum Modul der Fernuniversität Hagen

3 Inhaltsverzeichnis 1 Problem formulieren Problem aus Textaufgabe herleiten Erklärung Beispielaufgabe Probem in Normalform bringen Erklärung Beispielaufgabe Positivität aus gegebenen Ungleichungen ableiten Erklärung Beispielaufgabe Der Simplex-Algorithmus Hilfsproblem aufstellen (Phase 1) Erklärung Beispielaufgabe Phase 2 durchführen Erklärung Beispielaufgabe Mit Hilfsproblem starten Phase Erklärung Beispielaufgabe Ergebnistableau interpretieren Erklärung Beispielaufgabe Lineares/Duales Programm Duales Problem formulieren Erklärung Beispielaufgabe Der schwache Dualitätssatz Erklärung Beispielaufgabe Theoretisch-abstrakte Aufgaben Geometrischer Ansatz Erklärung Beispielaufgabe Lineare Optimierung ohne Simplex-Algorithmus Grafisches Lösungsverfahren Erklärung Beispielaufgabe Lösen mit einem ad-hoc-argument Erklärung

4 Beispielaufgabe

5 Algorithmische Mathematik Simplex-Algorithmus Erläuterungen S. 5 1 Problem formulieren 1.1 Problem aus Textaufgabe herleiten Erklärung In diesem Abschnitt sollen mathematische Formulierungen für in Textform gegebene Optimierungsprobleme gefunden werden. Dies ist in den Anwendungen stets der erste Schritt; und möglicherweise der wichtigste. Denn die korrekte Formulierung des Problems ist Grundvoraussetzung dafür, dass man überhaupt eine Lösung bekommt, die man in seiner Aufgabenstellung sinnvoll interpretieren kann. Wie die Formulierungen konkret aussehen hängt natürlich immer vom gegebenen Problem ab. Hilfreich zur Formulierung ist die folgende Vorgehensweise 1. Schritt: Variablenbenennung. Am besten gibt man dort möglichst vielen in der Aufgabenstellung beteiligten Größen eigene Namen. 2. Schritt: Formulierung der Zielfunktion. Dabei muss man darauf achten, ob maximiert oder minimiert werden soll. 3. Schritt: Formulierung der Nebenbedingungen. Das Wort mindestens in der Aufgabenstellung ergibt dabei immer eine Ungleichung mit, das Wort höchstens entsprechend. Beispielaufgabe Wir wollen eine formelmäßige Beschreibung folgender Aufgabenstellung erarbeiten: Eine Fabrik stellt ein einziges Produkt her. Dafür setzt sie drei unterschiedliche Maschinen ein. Maschinen 1 und 2 können pro Tag 6 Stunden laufen, Maschine 3 nur 5. Um ein Stück des Produkts zu fertigen benötigt Maschine 1 20 Sekunden, Maschine 2 25 sec und Maschine 3 15 sec. Wie müssen die einzelnen Maschinen eingesetzt werden, wenn eine möglichst große Stückzahl des Produkts hergestellt werden soll? Wir folgen dem oben beschriebenen Schema:

6 Algorithmische Mathematik Simplex-Algorithmus Erläuterungen S Schritt: Variablenbenennung. x 1 = an Maschine 1 produzierte Stückzahl des Produkst x 2 = an Maschine 2 produzierte Stückzahl des Produkst x 3 = an Maschine 3 produzierte Stückzahl des Produkst z = Gesamtstückzahl t 1 = an Maschine 1 benötigte Zeit für ein Stück in sec. t 2 = an Maschine 2 benötigte Zeit... t 3 = an Maschine 3 benötigte Zeit... T 1 = Gesamtzeit für Maschine 1 in Stunden T 2 = Gesamtzeit für Maschine 2 in Stunden T 3 = Gesamtzeit für Maschine 3 in Stunden Das ist jetzt etwas auf die Spitze getrieben, zugegeben. Aber besser wir starten mit vielen Variablen und reduzieren dann. Hier kann man sofort einsetzen: z = x 1 +x 2 +x 3 t 1 = 20 t 2 = 25 t 3 = 15 T 1 == t x 1 = x 1 T 2 = x 2 T 3 = x 3 2. Schritt: Formulierung der Zielfunktion. Es soll möglichst viel produziert werden, also wird gesucht max z = max x 1 +x 2 +x 3 3. Schritt: Formulierung der Nebenbedingungen. T 1 6 = x 1 6 = x = T 2 6 = x T 3 5 = x 3 = = 864 = 1200

7 Algorithmische Mathematik Simplex-Algorithmus Aufgaben und Lösungen Lernmaterial zum Modul der Fernuniversität Hagen

8 Inhaltsverzeichnis 1 Problem formulieren Problem aus Textaufgabe herleiten Aufgabe Aufgabe Aufgabe Problem in Normalform bringen Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Positivität aus gegebenen Ungleichungen ableiten Aufgabe Aufgabe Der Simplex-Algorithmus Hilfsproblem aufstellen (Phase 1) Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Phase 2 durchführen Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Mit Hilfsproblem starten Phase Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Ergebnistableau interpretieren Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Lineares/Duales Programm Duales Problem formulieren Aufgabe Aufgabe Aufgabe

9 3.2 Der schwache Dualitätssatz Aufgabe Aufgabe Aufgabe Theoretisch-abstrakte Aufgaben Geometrischer Ansatz Aufgabe Aufgabe Lineare Optimierung ohne Simplex-Algorithmus Grafisches Lösungsverfahren Aufgabe Lösen mit einem ad-hoc-argument Aufgabe Vollständige Aufgaben 63 Aufgabe Aufgabe Aufgabe

10 Algorithmische Mathematik Simplex-Algorithmus Aufgaben und Lösungen S. 5 1 Problem formulieren 1.1 Problem aus Textaufgabe herleiten Aufgabe Aufgabenstellung Formulieren Sie das lineare Programm (die lineare Optimierungsaufgabe) zu folgender Fragestellung. (Hier muss nur formuliert, noch nicht gelöst werden!) Ein Kunde möchte an der Feinkosttheke 800 g eingelegte Oliven kaufen. Es gibt die Sorten Chili zu 2,30 EUR/100 g und Knoblauch/Mandel zu 2,50/100 g. Der Kunde möchte mindestens 100 g Chili und mindestens 200 g Knoblauch/Mandel. Wie muss er wählen, damit seine Mischung möglichst günstig wird? Lösung 1. Schritt: Benennung der Variablen. c ˆ= Menge an Chili -Oliven k ˆ= Menge an Knoblauch/Mandel -Oliven 2. Schritt: Formulierung der Zielfunktion. Preis für die Oliven = 2,30 EUR EUR cg +2,50 100g 100g kg = 0,023 c+0,025 k EUR Optimierung min 0.023c+0.025k 3. Schritt: Formulierung der Nebenbedingungen (Restriktionen). Hinweis: Zunächst so viele Restriktionen formulieren, wie möglich und dann diejenigen wieder entfernen, die redundant sind, falls solche vorkommen. Gesamtmenge = c+k = 800 Mindestmenge Chili = c 100 Mindestmenge Knoblauch/Mandel = k 200 Positivität = c, k 0