Zahl ist der nachfolgende Eintrag in der gleichen Zeile, es sei denn, die

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1 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 Hier sind einige Zählsysteme. Der Nachfolger einer Zahl ist der nachfolgende Eintrag in der gleichen Zeile, es sei denn, die Zahl ist der letzte Eintrag in einer Zeile und in diesem Fall ist der Nachfolger der erste Eintrag in der nachfolgenden Zeile. System U: Eine wahrscheinliche Form der Ur-Zahlschrift System R: Die römische Zahlschrift. I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX XXI XXII XXIII XXIV XXV XXVI XXVII XXVIII XXIX XXX. (Siehe zum Beispiel: Zahlen) System 1: Das übliche dezimale Stellenwertsystem System 2: Das binäre Stellenwertsystem mit den Ziffern 0 und

2 Zählen und Zahlbereiche: Blatt 1 2 System 3: Das binäre Stellenwertsystem mit anderen Ziffern UG UGG UUG UGGG. U UU UGU UUU UGGU System 4: Ein Stellenwertsystem zur Basis 3 mit den Ziffern 0, 1 und System 5: Ein Stellenwertsystem zur Basis 3 mit den Ziffern, und, aber von rechts nach links geschrieben...

3 Zählen und Zahlbereiche: Blatt 1 3 System 6: Ein gemischtes Stellenwertsystem zur Basis 3 in den ungeraden Stellen mit den Ziffern, und und zur Basis 2 in den geraden Stellen mit den Ziffern und..

4 Zählen und Zahlbereiche: Blatt 1 4 Aufgaben: 1. Für jede der folgenden Zahlen gebe man deren Nachfolger an: UGGUUUU (im System 3) (im System 5) (im System 6) 2. Für jede der folgenden Zahlen gebe man deren Vorgänger an: UUGGGG (im System 3) (im System 5) (im System 6) 3. Die folgenden Zahlen sind im dezimalen Stellenwertsystem geschrieben. Welche Darstellungen haben sie in den Systemen 3, 5 und 6? Welche Darstellung hat die im System 6 geschriebene Zahl im System 3? Welche Darstellung hat die im System 5 geschriebene Zahl im System 6?

5 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 2 5. (1) Seien A = {a, b, c, d}, B = {b, d, e}, C = {b, c, e, f, g} und D = {b, e, g, h}. Man zeige, dass (A B) (C D) = (A C) (B D). (2) Man finde Mengen A, B, C, D, so dass (A B) (C D) (A C) (B D). Hinweis: Es gibt zum Beispiel Mengen A, B, C, D mit A = D und B = C, so dass (A B) (C D) = aber (A C) (B D). 6. Man zeige: Für alle Mengen A, B, C, D gilt (A B) (C D) (A C) (B D). Hinweis (dem man nicht unbedingt zu folgen braucht): Man zeige zunächst, dass A B (A C) (B D) und C D (A C) (B D). 7. Seien X = {a, b, c}, Y = {b, c, d, e} und Z = {1, 2, 3} und seien f : X Y, Y Z die Abbildungen, die durch die folgenden Tabellen gegeben sind: x f(x) a e b c c d y g(y) b 2 c 1 d 2 e 3 Sei h = g f die Zusammensetzung von f und g; also ist h : X Z die Abbildung mit h(x) = g(f(x)) für alle x X. (1) Man gebe eine Tabelle an, die die Abbildung h beschreibt. (2) Man stelle fest, dass h bijektiv ist und gebe eine Tabelle an, die die Umkehrabbildung h 1 : Z X beschreibt. 8. Seien X, Y, Z Mengen und f : X Y, g : Y Z Abbildungen. Sei h = g f die Zusammensetzung von f und g. Man zeige: (1) Ist h surjektiv, so ist g surjektiv. (2) Ist h injektiv, so ist f injektiv.

6 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 3 9. Sei Z eine Menge und seien z 0, z 1 Z. Man zeige: Es gibt eine bijektive Abbildung h : Z Z mit h(z 0 ) = z 1 und h(z 1 ) = z 0. In den Aufgaben 10 und 11 seien X, Y Mengen und seien x 0, y 0 Elemente mit x 0 X und y 0 Y. 10. Man zeige: Gilt X Y, dann gibt es eine bijektive Abbildung f : X Y mit f(x 0 ) = y 0. Hinweis: Man wende Aufgabe 9 an. (Sind g : X Y und h : Y Y bijektive Abbildungen und f = h g, so ist f : X Y ebenfalls eine bijektive Abbildung.) 11. Setze X = X \ {x 0 } und Y = Y \ {y 0 }. Man zeige: Gilt X Y, so gilt ebenfalls X Y. Hinweis: Man wende Aufgabe 10 an. 12. Man betrachte die folgende Aussage: (P 42 ) Für n N gilt [42] [n] genau dann, wenn n = 42. Man zeige: Wenn (P 42 ) gilt, so gilt ebenfalls die folgende Aussage: (P 43 ) Für n N gilt [43] [n] genau dann, wenn n = 43. Hier darf man lediglich folgende Fakten über N und die Nachfolge-Operation s verwenden: (a) Für alle n N ist s(n) 1. (b) Für jedes n N mit n 1 gibt es ein m N mit n = s(m). (c) Für jedes n N ist s(n) [s(n)] und [n] = [s(n)] \ {s(n)}. (d) Es gilt [1] [n] genau dann, wenn n = 1. (e) Es ist 43 = s(42). Hinweis: Sei n N mit [43] [n]. Man stelle zunächst mit Hilfe von (a), (b), (d) und (e) fest, dass es ein m N mit n = s(m) gibt. Man zeige dann mit Hilfe von (c) und Aufgabe 11 (und unter der Annahme von (P 42 )), dass m = 42.

7 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 4 In diesen Aufgaben darf man lediglich die folgenden Fakten über N und die Nachfolge-Operation s verwenden: (a) Für jedes n N ist s(n) [s(n)] und [n] = [s(n)] \ {s(n)}. (b) Es ist 43 = s(42). In den Aufgaben 13 und 14 sei n N. 13. Sei X eine endliche Menge mit #(X ) = n, sei x 0 ein Element mit x 0 / X und setze X = X {x 0 }. Man zeige: X ist eine endliche Menge mit #(X) = s(n). 14. Sei X eine endliche Menge mit #(X) = s(n), sei x 0 ein Element mit x 0 X und setze X = X \ {x 0 } Man zeige: X ist eine endliche Menge mit #(X ) = n. Hinweis: Man wende Aufgabe 11 an. 15. Man betrachte die folgende Aussage: (P 42 ) Jede Teilmenge einer endlichen Mengen X mit #(X) = 42 ist endlich. Man zeige: Wenn (P 42 ) gilt, so gilt ebenfalls die folgende Aussage: (P 43 ) Jede Teilmenge einer endlichen Mengen X mit #(X) = 43 ist endlich. 16. Sei Y eine endliche Menge. Man betrachte die folgende Aussage: (P 42 ) Für jede endliche Menge X mit #(X) = 42 ist die Menge X Y endlich. Man zeige: Wenn (P 42 ) gilt, so gilt ebenfalls die folgende Aussage: (P 43 ) Für jede endliche Menge X mit #(X) = 43 ist die Menge X Y endlich.

8 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt Man zeige nur unter Verwendung von (A1), dass ((p + q) + r) + s = p + (q + (r + s)) gilt für alle p, q, r, s N. 18. Man zeige nur unter Verwendung von (A1), dass (((p + q) + r) + s) + t = p + (q + (r + (s + t))) gilt für alle p, q, r, s, t N. Hinweis: Man wende Aufgabe 17 auf die Zahlen p + q, r, s, t an. 19. Seien a, b, c, d, p, q N mit (p + a) + (b + q) = (q + p) + (d + c). Man zeige nur unter Verwendung von (A1), (A2) und den Kürzungsregeln, dass a + b = c + d. 20. Für die Addition auf N und die Nachfolge-Operation s gelten unter anderem folgende Regeln: (a0) Für alle n N ist s(n) = n + 1. (a1) Für alle m, n N ist s(m + n) = m + s(n). (a2) Es ist s(1) = und für alle n N ist n + 1 = 1 + n. (1) Man zeige nur unter Verwendung von (a0) und (a1), dass = 8. (2) Man zeige nur unter Verwendung von (a1) und (a2), dass = 8. Hierbei ist 4 = s(s(s(1))) und 8 = s(s(s(s(s(s(s(1))))))).

9 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt Seien a, b, c, d N. Man zeige, dass a + b < (b + c) + (d + a). 22. Seien a, b, c, d, e, f N mit e < b und a < f. Man zeige, dass a + e < (b + c) + (d + f). 23. Seien p, q, r, s, t N mit p q, q r, r s und s t. Man zeige: (1) Es gilt p t. (2) Es gilt p = t genau dann, wenn p = q = r = s = t. 24. Seien m, n, p, q, r, s N mit m n, p q und r s. Man zeige: (1) Es gilt (m + p) + r (n + q) + s. (2) Es gilt (m + p) + r = (n + q) + s genau dann, wenn m = n, p = q und r = s.

10 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt Seien m, n N 0. Man zeige: (1) Es gilt m + n = 0 genau dann, wenn m = n = 0. (2) Es gilt mn N genau dann, wenn m N und n N. 26. Seien l, m, n N 0 mit l m und m n. Man zeige: (1) Es gilt l n und n l = (m l) + (n m). (2) Es gilt l = n genau dann, wenn l = m = n. 27. Seien m, n, p, q N 0 mit m n und p q. Man zeige: (1) Es gilt m + p n + q und (n + q) (m + p) = (n m) + (q p). (2) Es gilt m + p = n + q genau dann, wenn m = n und p = q. 28. Seien m, n, p, q N 0 mit m n und p q. Man zeige: (1) Es gilt mp nq und nq mp = (n m)p + n(q p). (2) Ist n = 0 oder q = 0, so ist mp = nq = 0. (3) Ist n N und q N, so ist mp = nq genau dann, wenn m = n und p = q.

11 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 8 Die Addition + auf Z haben wir genauso definiert, wie man das in der Schule gelernt hat: Für p, q N 0 ist die Summe p + q von p und q in Z nichts anderes als ihre Summe in N 0. Es bleiben also drei Fälle: (1) Die Summe m + n für m, n N. Hier setzen wir m + n = (m + n). (2) Die Summe m + n für m N, n N 0. Hier ist { (m n) m + n = falls n < m, n m falls m n. (3) Die Summe m + n für m N 0, n N. In diesem Fall ist { m n falls n m, m + n = (n m) falls m < n. Man kann natürlich fragen, ob die Addition so definiert werden muss. Es stellt sich heraus, dass es keine andere Möglichkeit als die übliche Definition gibt, wenn man Folgendes verlangt: Die Addition soll assoziativ, die Summe von m und m soll gleich 0 und die Addition soll mit der Addition in N 0 veträglich sein. Etwas genauer: Sei irgendeine Operation auf Z, für die gilt: (a1) p (q r) = (p q) r für alle p, q, r Z. (a4) m m = 0 für alle m N. (n0) m n = m + n für alle m, n N 0. Dann folgt, dass p q = p + q für all p, q Z. In den folgenden Aufgaben sollen Teile dieser Aussage nachgeprüft werden. Sei also eine Operation auf Z, für die (a1), (a4) und (n0) gilt. Über die Addition auf N 0 darf man lediglich Folgendes verwenden: (A1) Für alle l, m, n N 0 gilt (l + m) + n = l + (m + n). (A2) Für alle m, n N 0 gilt m + n = n + m. (A3) Für jedes m N 0 gilt 0 + m = m.

12 Zählen und Zahlbereiche: Blatt 8 12 In den Aufgaben 29, 30 und 31 seien m N 0 und n N. 29. Man zeige: Es gilt (m n ) n = m. 30. Nehme an, dass m n N 0. Man zeige: (1) Es gilt m = n + (m n ). (2) Es gilt m n = m + n. 31. Nehme an, dass m n N. Es gibt also ein k N mit m n = k. Man zeige: (1) Es gilt m + k = n. (2) Es gilt m n = m + n. Nach den Aufgaben 29, 30 und 31 gilt m n = m + n für alle m N 0, n N (da entweder m n N 0 oder m n N ). 32. Seien m, n N. Man zeige: Es gilt (m n ) (m + n) = 0. Aus Aufgabe 32 folgt, dass m n = m + n für alle m, n N: Zunächst ist m + n N 0 nicht möglich, da dann nach Aufgabe 32 wäre 0 = (m n ) (m + n) (n0) = (m n ) + (m + n) und nach Aufgabe 25 (1) ist (m n ) + (m + n) 0, da m + n N. Also ist m + n N und daher gibt es ein k N mit m n = k. Folglich ist nach Aufgabe 32 k (m + n) = 0 und daraus ergibt sich, dass k (A3) = 0 + k (n0) = 0 k = (k (m + n)) k (a1) = k ((m + n) k) (n0) = k ((m + n) + k) (A2) = k (k + (m + n)) (n0) = k (k (m + n)) (a1) = (k k) (m + n) (a4) = 0 (m + n) (n0) = 0 + (m + n) (A3) = m + n, d.h. m n = k = (m + n), und insbesondere ist m n = m + n. Nach (n0) gilt m n = m + n für alle m, n N 0. Wenn wir also zeigen können, dass m n = m + n für alle m N, n N 0, dann hätten wir gezeigt, dass p q = p + q

13 Zählen und Zahlbereiche: Blatt 8 13 für alle p, q Z. Dieser letzte Fall ist ähnlich zum ersten in den Aufgaben 29, 30 und 31 behandelten Fall: Sei m N und n N 0 ; dann ist (m n) m (a1) = m (n m) (n0) = m (n + m) (A2) = m (m + n) (n0) = m (m n) (a1) = (m m) n (a4) = 0 n (n0) = 0 + n (A3) = n. (Dies entspricht der Rechnung in Aufgabe 29, die aber kürzer ist.) Ist m n N 0, so folgt genauso wie in Aufgabe 30, dass n = m + (m n). Folglich ist m n und m n = n m und daher ist m n = m + n. Ist dagegen m n N, so gibt es ein k N mit m n = k und dann ist n = k m. Genauso wie in Aufgabe 31 ist dann n + k = m; Folglich ist n < m und k = m n und daher ist m n = m + n. Dies zeigt, dass m n = m + n für alle m N, n N 0 gilt (da entweder m n N 0 oder m n N ).

14 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 9 In den Aufgaben 33 und 34 sei irgendeine Operation auf Z, für die gilt: (m0) 0 p = 0 für alle p Z. (m2) p q = q p für alle p, q Z. (d) p (q + r) = p q + p r für alle p, q, r Z. (n0) m n = mn für alle m, n N 0. Über die Addition auf Z darf man lediglich Folgendes verwenden: (x1) Für jedes k N ist k + k = 0. (x2) Ist k Z und l N mit k + l = 0, so ist k = l. (x3) Sind k, l N mit k + l = 0, so ist k = l. 33. Seien m, n N. Man zeige: (1) Es gilt m n = (mn). Hinweis: Man zeige zunächst, dass m n + mn = 0 und wende dann (x2) an. (2) Es gilt m n = (mn). Hinweis: Man zeige zunächst mit Hilfe von (n0) und (m2), dass nm = mn und wende dann (m2) und (1) an. 34. Seien m, n N. Man zeige: Es gilt m n = mn. Hinweis: Man zeige zunächst, dass m n + m n = 0 und wende dann (x3) und Aufgabe 33 (2) an. 35. In dieser Aufgabe sei irgendeine Operation auf Z, für die gilt: (m1) (p q) r = p (q r) für alle p, q, r Z. (m3) 1 m = m 1 = m für alle m N. (mm) 1 1 = 1. (n0) m n = mn für alle m, n N. Über die Multiplikation auf N darf man lediglich Folgendes verwenden: (M3) Für jedes m N ist 1 m = m.

15 Zählen und Zahlbereiche: Blatt 9 15 Seien m, n N. Man zeige: (1) Es gilt m n = (mn). (2) Es gilt m n = (mn). (3) Es gilt m n = mn. 36. In dieser Aufgabe darf man lediglich Folgendes verwenden: (A1) Für alle p, q, r Z ist (p + q) + r = p + (q + r). (d1) Für alle p, q Z gilt p = q + (p q). (d2) Sind p, q, r Z mit p = q + r, so ist r = p q. (x0) Für alle n Z ist n + 0 = n. Man zeige: (1) Für alle m Z ist m m = 0. (2) Für alle m, n Z gilt m + ((n m) + (m n)) = m. (3) Für alle m, n Z ist (n m) + (m n) = 0.

16 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 10 In den Aufgaben 37, 38, 39, 40, W1 und W2 kommen folgende Regeln vor: (A1) Für alle p, q, r Z ist (p + q) + r = p + (q + r). (D) Für alle p, q, r Z ist p(q + r) = pq + pr. (D ) Für alle p, q, r Z ist (p + q)r = pr + qr. (d1) Für alle p, q Z gilt p = q + (p q). (d2) Sind p, q, r Z mit p = q + r, so ist r = p q. (d3) Für alle p, q Z gilt p = (p q) + q. (d4) Sind p, q, r Z mit p = r + q, so ist r = p q. (x0) Für alle p Z ist p + 0 = p. 37. In dieser Aufgabe darf man lediglich (A1), (d1) und (d3) verwenden. Man zeige: Sind a, b, c, d Z mit a c = d b, so gilt a + b = c + d. 38. In dieser Aufgabe darf man lediglich (A1), (d1), (d2) und (x0) verwenden. Man zeige: Für alle l, m, n Z gilt (l m) + ((n l) + (m n)) = 0. Hinweis: Genauso wie in Aufgabe 36 (1) ist m m = 0. Man zeige zunächst, dass (l m) + ((n l) + (m n)) = m m. 39. In dieser Aufgabe darf lediglich (A1), (D), (D ), (d1) und (d2) verwendet werden. Man zeige: Für alle m, n, p, q Z gilt mp nq = (m n)q + m(p q). 40. In dieser Aufgabe darf man lediglich (A1), (d1) und (d2) verwenden. Man zeige: Für alle a, b, l, m, n Z gilt (l a) + ((m l) + (b m)) = (n a) + (b n).

17 Zählen und Zahlbereiche: Blatt Zusatzaufgaben (zu Weihnachten) W1. In dieser Aufgabe darf lediglich (A1), (d1), (d2), (d3) und (d4) verwendet werden. Man zeige: Sind a, b, c, d Z mit a + b = c + d, so gilt a c = d b. W2. In dieser Aufgabe darf man lediglich (A1), (D), (D ), (d1), (d2), (d3) und (d4) verwenden. Man zeige: Für alle m, n, p, q Z gilt mp nq = (m n)q m(q p). Hinweis: Man zeige zunächst, dass mp + m(q p) = nq + (m n)q (und dafür werden nur (D), (D ) und (d1) benötigt) und wende dann Aufgabe W1 an. In den Aufgaben W3 und W4 kommen folgende Regeln vor: (M1) Für alle p, q, r Z ist (pq)r = p(qr). (M2) Für alle p, q Z ist pq = qp. (NZ) Für p, q Z gilt pq 0 genau dann, wenn p 0 und q 0. (d1) Für alle p, q Z gilt p = q + (p q). (d5) Für alle p, q, r Z gilt (p q)r = pr qr. W3. In dieser Aufgabe darf man lediglich (M1), (M2) und (NZ) verwenden. Seien m/n und p/q Brüche mit m 0. Man zeige: Es gibt einen Bruch k/l, so dass (m/n)(k/l) p/q. W4. In dieser Aufgabe darf lediglich (M1), (M2), (NZ), (d1) und (d5) verwendet werden. Seien m/n und p/q Brüche; nach (NZ) ist nq 0. Die Differenz m/n p/q von m/n und p/q wird definiert durch m/n p/q = (mq pn)/(nq). Man zeige, dass p/q + (m/n p/q) m/n.

18 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 11 In diesen Aufgaben können die folgenden Aussagen von Nutzen sein: (D) Für alle p, q, r Z ist p(q + r) = pq + pr. (D ) Für alle p, q, r Z ist (p + q)r = pr + qr. (d1) Für alle p, q Z gilt p = q + (p q). (d2) Sind p, q, r Z mit p = q + r, so ist r = p q. (d5) Für alle p, q Z ist (p q) = q p. (d6) Für p, q Z gilt p q = 0 genau dann, wenn p = q. (M2) Für alle a, b Z ist ab = ba. (M5) Für alle a, b Z ist ( a)b = a( b) = (ab). (M6) Für alle a, b, c, d Z ist (ab)(cd) = (ac)(bd). (P) Sind m, n N und p Z mit m = np, so ist p N. (E1) Für jeden Bruch m/n gilt m/n m/n. (E2) Sind m/n und p/q Brüche mit m/n p/q, so gilt auch p/q m/n. (E3) Sind k/l, m/n und p/q Brüche mit k/l m/n und m/n p/q, so gilt auch k/l p/q. (T) Für jedes a Z gilt genau eine der folgenden drei Aussagen: (0) a = 0. (1) a N. (2) a N. 41. Seien k/l, m/n, p/q und r/s Brüche mit k/l m/n und p/q r/s. Man zeige: (1) Es gilt (rn)(ql) = (sn)(kq) + (pl kq)(sn). (2) Es gilt (sn)(kq) = (ms)(ql). (3) Es gilt (rn)(ql) = (ms)(ql) + (pl kq)(sn). (4) Es gilt (rn ms)(ql) = (pl kq)(sn).

19 Zählen und Zahlbereiche: Blatt Sei m/n ein Bruch; da n 0, gilt nach (T) genau eine der Aussagen: (1) n N, und (2) n N. Setze n = { n falls n N, n falls n N, m = { m falls n N, m falls n N. Insbesondere ist n N, und da n 0, ist dann m /n ein Bruch. Zum Beispiel gilt Folgendes: m/n m /n 3/4 3/4 3/4 3/4 3/ 4 3/4 3/ 4 3/4 42. (1) Man zeige: Für jeden Bruch m/n gilt m /n m/n. (2) Seien k/l, m/n Brüche. Man zeige: Es gilt k/l m/n genau dann, wenn k /l m /n. Hinweis zu (1): Man betrachte die zwei Fälle n N und n N getrennt. Erinnerung: Sind a, b Z, so bedeutet a < b, dass es ein c N mit b = a + c gibt. Nach (d1) und (d2) gilt also a < b genau dann, wenn b a N. Sind m/n und p/q Brüche, so schreiben wir m/n p/q, wenn m q < p n (d.h. genau dann, wenn p n m q N). 43. Seien k/l, m/n, p/q und r/s Brüche mit k/l m/n und p/q r/s. Man zeige: Es gilt k/l p/q genau dann, wenn m/n r/s. Hinweis: Man wende Aufgabe 41 (4) auf die Brüche k /l, m /n, p /q und r /s an. 44. Seien m/n und p/q Brüche. Man zeige, dass genau eine der folgenden drei Aussagen gilt: (1) m/n p/q. (2) m/n p/q. (3) p/q m/n.

20 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 12 In den Aufgaben 45, 46 und 47 kommen folgende Regeln vor: (A1) Für alle p, q, r Z ist (p + q) + r = p + (q + r). (d1) Für alle p, q Z gilt p = q + (p q). (d2) Sind p, q, r Z mit p = q + r, so ist r = p q. (d3) Für alle p, q Z gilt p = (p q) + q. (d4) Sind p, q, r Z mit p = r + q, so ist r = p q. 45. In dieser Aufgabe darf lediglich (A1), (d3) und (d4) verwendet werden. Man zeige: Für alle a, b, c Z gilt (a b) + (b c) = a c. 46. In dieser Aufgabe darf lediglich (A1), (d3) und (d4) verwendet werden. Man zeige: Für alle a, b, c, d Z gilt (a b) + ((b c) + (c d)) = a d. 47. In dieser Aufgabe darf lediglich (A1), (d1), (d2), (d3) und (d4) verwendet werden. Man zeige: Für alle a, b, c, d Z gilt ((c d) + (a b)) + (b c) = a d.

21 Zählen und Zahlbereiche: Blatt In Aufgabe 48 können die folgenden Aussagen von Nutzen sein: (A1) Für alle p, q, r Z ist (p + q) + r = p + (q + r). (d1) Für alle p, q Z gilt p = q + (p q). (d2) Sind p, q, r Z mit p = q + r, so ist r = p q. (d3) Für alle p, q Z gilt p = (p q) + q. (d4) Sind p, q, r Z mit p = r + q, so ist r = p q. (d7) Für alle p, q Z gilt (p q)r = pr pr. (M1) Für alle p, q, r Z ist (pq)r = p(qr). (M2) Für alle p, q Z ist pq = qp. (P) Sind m, n N und p Z mit m = pn, so ist p N. (+ N ) Wenn man natürliche Zahlen m und n addiert als ganze Zahlen, so ist ihre Summe m + n wieder eine natürliche Zahl. ( N ) Wenn man natürliche Zahlen m und n multipliziert als ganze Zahlen, so ist ihr Produkt mn wieder eine natürliche Zahl. (T) Für jedes a Z gilt genau eine der folgenden drei Aussagen: (0) a = 0. (1) a N. (2) a N. Sei m/n ein Bruch; da n 0, gilt nach (T) genau eine der Aussagen: (1) n N, und (2) n N. Setze n = { n falls n N, n falls n N, m = { m falls n N, m falls n N. Insbesondere ist n N, und da n 0, ist dann m /n ein Bruch. Erinnerung: Sind a, b Z, so bedeutet a < b, dass es ein c N mit b = a + c gibt. Nach (d1) und (d2) gilt also a < b genau dann, wenn b a N. Sind m/n und p/q Brüche, so schreiben wir m/n p/q, wenn m q < p n (d.h. genau dann, wenn p n m q N). 48. Seien k/l, m/n und p/q Brüche mit k/l m/n und m/n p/q. Man zeige, dass k/l p/q.

22 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 13 In diesen Aufgaben darf man lediglich Folgendes über die natürlichen Zahlen verwenden: (P0) Die Menge N der natürlichen Zahlen enthält die Zahl 1 und zu jedem n N gibt es einen Nachfolger s(n). (P1) Für alle n N ist 1 s(n). (Die Eins ist kein Nachfolger.) (P2) Für alle m, n N mit m n ist s(m) s(n). (Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger.) (P3) Es gilt das Prinzip der vollständigen Induktion: Für jedes n N sei P(n) eine Aussage. Nehme an: ( ) Es gilt P(1). ( ) Ist n ein Element von N, für das P(n) gilt, so gilt auch P(s(n)). Dann gilt P(n) für jedes n N. 49. Eine Zahl m N heißt Vorgänger von n N, wenn s(m) = n. Man zeige: (1) Die Zahl 1 hat keinen Vorgänger. (2) Jede Zahl n N mit n 1 hat genau einen Vorgänger. 50. Man zeige: (1) Für jedes n N ist n s(n). (2) Für jedes n N ist n s(s(n)). Natürliche Zahlen kann man addieren; die Summe von m und n wird mit m + n bezeichnet. Die Addition unterliegt den folgenden Regeln: (a0) Für alle m N gilt m + 1 = s(m). (a1) Für alle m, n N gilt m + s(n) = s(m + n). 51. Man zeige: Für alle n N gilt 1 + n = s(n). 52. In dieser Aufgabe darf man zusätzlich Folgendes verwenden: (a2) Für alle m, n N gilt n + (1 + m) = (n + 1) + m. Man zeige: Für alle m, n N gilt m + n = n + m.

23 Zählen und Zahlbereiche: Blatt Natürliche Zahlen kann man auch multiplizieren; das Produkt von m und n wird mit m n bezeichnet. Die Multiplikation unterliegt den folgenden Regeln: (m0) Für alle m N gilt m 1 = m. (m1) Für alle m, n N gilt m s(n) = m n + m. E1. Man zeige: Für alle n N gilt n = 1 n. E2. In dieser Aufgabe darf man zusätzlich Folgendes verwenden: (E) Für alle m, n N ist s(m) n = m n + n. Man zeige: Für alle m, n N ist m n = n m.