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3 Grundlagen... 4 Übung... 5 Übung... 6 Das Lösen einer Gleichung... 7 Beispiel... 8 Übung... 9 mit mehreren Termen Glossar lbma03q04-1 Seite 3 / 11

4 Grundlagen Zu Beginn muss erst mal geklärt werden, was denn überhaupt sind. Bisher haben Sie Aufgaben kennen gelernt, bei denen eine Rechenoperation vorgegeben war und Sie das Ergebnis berechnen sollten. Nach dem Gleichheitszeichen war dann das Ergebnis der Aufgabe abzulesen. Das Ganze wird als Gleichung bezeichnet, wobei sich der Wert der beiden Seiten des Gleichheitszeichens in Nichts unterscheiden darf. Beispiele: = = : 25 = 49 Hier einige Grundbegriffe, die Ihnen begegnen werden: Ein "Gebilde" wie oder 7x (also 7 x) oder (2x + 3) 9 oder 2a + 7b (also 2 a+ 7 b) nennt man einen mathematischen Ausdruck oder Term. Einen darin vorkommenden Platzhalter, in der Regel ein Buchstabe (x, y, z, a, b, t,...), nennt man Variable. (Variabel heißt "veränderbar", also "die Veränderbare") lbma03q04-1 Seite 4 / 11

5 Setzt man zwischen zwei Terme ein Gleichheitszeichen, wie bei = x = 7x = 7 entsteht eine Gleichung. Tritt in einer Gleichung keine Variable auf, entsteht immer eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Enthält eine Gleichung eine Variable, so können Sie den Wahrheitsgehalt der Gleichung erst feststellen, wenn Sie für die Variable einen Wert einsetzen. Als Lösung einer Gleichung werden nur Werte akzeptiert, die zu einer wahren Aussage führen. Dazu muss für die Lösung ein Definitionsbereich festgelegt sein, d.h. eine Zahlenmenge, aus der die Variable entnommen werden darf. Übung An dieser Stelle finden Sie im Lernprogramm eine interaktive Übungsaufgabe. Tritt in einer Gleichung keine Variable auf, entsteht immer die Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr sind: = = = = = lbma03q04-1 Seite 5 / 11

6 Übung An dieser Stelle finden Sie im Lernprogramm eine interaktive Übungsaufgabe. Setzen Sie in das Beispiel nacheinander die Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 und 8 ein und bestimmen Sie den Wahrheitsgehalt! x + 5 = 11 wahr/falsch wahr/falsch x 1 = = 11 6 = 11 wahr / falsch x 2 = = 11 7 = 11 wahr / falsch x 3 = = 11 8 = 11 wahr / falsch x 4 = = 11 9 = 11 wahr / falsch x 5 = = = 11 wahr / falsch x 6 = = = 11 wahr / falsch x 7 = = = 11 wahr / falsch x 8 = = = 11 wahr / falsch Welcher Wert ist Lösung der Gleichung? x = 1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6 / 7 / 8 lbma03q04-1 Seite 6 / 11

7 Das Lösen einer Gleichung Die Verbindung verschiedener Terme mit einem Gleichheitszeichen nennt man Gleichung. können Sie sich wie eine Waage im Gleichgewicht vorstellen. Man spricht auch von einer linken und rechten Seite einer Gleichung. Wenn auf einer Seite etwas verändert, also z.b. ein Betrag addiert oder subtrahiert wird, muss diese Bewegung wegen des Gleichgewichtsprinzips auch auf der anderen Seite erfolgen. Das Lösen einer Gleichung erfolgt deshalb immer nach dem strengen Grundsatz der Gleichheit. Das heißt, Sie dürfen das Gleichgewicht zwischen der linken und rechten Seite nicht stören und auf beiden Seiten nur gleichwertige Veränderungen vornehmen. lbma03q04-1 Seite 7 / 11

8 Beispiel Beispiel: Zu welcher Zahl muss man 45 addieren, um 87 zu bekommen? Diese Textgleichung kann wie folgt in eine mathematische Schreibweise übersetzt werden: Gesucht ist eine Zahl, die man "x" nennt. Dazu soll die Zahl 45 addiert werden. x + 45 Das Ergebnis soll 87 sein. Also lautet die "Übersetzung": x + 45 = 87 Um x zu isolieren, muss die Zahl 45 auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert werden. Sie entfernen also +45 von der rechten Seite, und auch von der linken Seite: x = x = 42 Anschließend setzen Sie für x den errechneten Wert ein (hier: 42), um bei der Probe festzustellen, ob die Lösung richtig ist: = = 87 Das Ergebnis stimmt! lbma03q04-1 Seite 8 / 11

9 Übung An dieser Stelle finden Sie im Lernprogramm eine interaktive Übungsaufgabe. An diesen Textgleichungen können Sie sich jetzt selbst versuchen. "Übersetzen" Sie die Textgleichungen in eine mathematische Schreibweise und knacken Sie dann die Aufgabe durch Ausprobieren oder Raten. Beachten Sie bitte die Hinweise in der DokumentenBox zur Schreibweise von Rechenzeichen!! Zu welcher Zahl muss man 27 addieren, um als Ergebnis 47 zu Zu welcher Zahl muss man 250 addieren, um als Ergebnis 400 zu Von welcher Zahl muss man 45 subtrahieren, um als Ergebnis 31 zu Von welcher Zahl muss man 250 subtrahieren, um als Ergebnis 712 zu Mit welcher Zahl muss man 12 multiplizieren, um als Ergebnis 72 zu Mit welcher Zahl muss man 5 multiplizieren, um als Ergebnis 600 zu Durch welche Zahl muss man 150 dividieren, um als Ergebnis 5 zu Durch welche Zahl muss man 288 dividieren, um als Ergebnis 8 zu lbma03q04-1 Seite 9 / 11

10 mit mehreren Termen Etwas schwieriger sind zu lösen, die aus mehreren Termen bestehen. Bei den ist ein Wert in der Regel unbekannt und wird meist mit einem "x" gekennzeichnet. Beim Lösen der Gleichung soll der Wert für das "x" ermittelt werden. können außer dem "x" und dem zugehörigen Wert mehrere Terme auf beiden Seiten der Gleichung haben. Immer muss so lange umgeformt und ausgerechnet werden, bis das "x" isoliert ist. Beispiel: x + 32 = Es werden nun die Terme sortiert x = Es wird nun ausgerechnet x = wird subtrahiert x = x = 260 Probe: = = 826 lbma03q04-1 Seite 10 / 11

11 Glossar Gleichung Eine Gleichung verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen, z.b = 22+x. Grundsatz der Gleichheit können nur gelöst werden, wenn man den strengen Grundsatz der Gleichheit befolgt, d.h. dass auf beiden Seiten der nur gleichwertige Veränderungen vorgenommen werden dürfen. Term Ein Term ist ein mathematisches Gebilde wie Variable Eine Variable ist ein Platzhalter in einem Term, z.b. 13x+8. lbma03q04-1 Seite 11 / 11