Mechanik 2. Übungsaufgaben

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1 Mechanik 2 Übungsaufgaben Professor Dr.-Ing. habil. Jörg Schröder Universität Duisburg Essen, Standort Essen Fachbereich 10 - Bauwesen Institut für Mechanik

2 Übung zu Mechanik 2 Seite 1 Aufgabe 1 Berechnen Sie die Flächenmomente 1. und 2. Ordnung für die dargestellten Querschnittsflächen bezüglich der angegebenen Koordinatenachsen! Was ändert sich, wenn als Koordinatenachsen die Schwerachsen gewählt werden? a) b) Aufgabe 2: Für den dargestellten Plattenbalkenquerschnitt ermittle man die Flächenmomente 2. Ordnung bezogen auf das angegebene Achsensystem durch den Schwerpunkt! Gegeben: b = 20 cm b 0 = 4 cm d = 4 cm d 0 = 24 cm e 0 = 8 cm

3 Übung zu Mechanik 2 Seite 2 Aufgabe 3: Ermitteln Sie die Flächenmomente 2. Ordnung für die dargestellten Querschnittsflächen bezüglich der Schwerachsen! a) b) Aufgabe 4: Bestimmen Sie die Flächenmomente 2. Ordnung für die dargestellten Querschnittsflächen! a) b) [cm] [cm]

4 Übung zu Mechanik 2 Seite 3 Aufgabe 5 Bestimmen Sie für die skizzierten symmetrischen, dünnwandigen Querschnittsflächen die Flächenträgheitsmomente J 22 und J 33 bezüglich der Schwerachsen [mm]! a) b) Aufgabe 6 Bestimmen Sie für die skizzierten symmetrischen, zusammengesetzten Querschnittsflächen die Flächenträgheitsmomente J 22 und J 33 bezüglich der Schwerachsen [mm]! a) b)

5 Übung zu Mechanik 2 Seite 4 Aufgabe 7 Gesucht sind die Hauptträgheitsmomente und die Lage der Hauptachsen für die skizzierten dünnwandigen Querschnittsflächen [mm]. a) b) Aufgabe 8 Bestimmen Sie die Hauptträgheitsmomente und die Lage der Hauptachsen für die skizzierten, aus zwei Stahlprofilen zusammengeschweißten Querschnittsflächen! a) b)

6 Übung zu Mechanik 2 Seite 5 Aufgabe 9 Gesucht sind die Hauptträgheitsmomente und die Lage der Hauptachsen für die skizzierten dünnwandigen Querschnittsflächen [mm]! a) b)

7 Übung zu Mechanik 2 Seite 6 Aufgabe 10 Bestimmen Sie für die skizzierten Querschnittsflächen die Flächenträgheitsmomente J 22 und J 33! Wie groß sind J 22, J 33 und J 23, wenn das X2 X3 -Koordinatensystem um den Winkel ϕ gedreht wird? a) b)

8 Übung zu Mechanik 2 Seite 7 Aufgabe 11 Gegeben ist die skizzierte Bodenpressung p [N/mm 2 ] unter einem quadratischen Fundament mit der Kantenlänge a. Bestimmen Sie die resultierende Vertikalkraft F 1 und das resultierende Moment M 3 bezüglich der angegebenen Koordinatenachse X 3! Aufgabe 12 In der dargestellten Querschnittsfläche wirkt eine gleichmäßig verteilte Normalspannung von σ 11 = - 2 N/mm 2. Bestimmen Sie die resultierende Normalkraft und ihre Lage im Querschnitt!

9 Übung zu Mechanik 2 Seite 8 Aufgabe 13 Ein hängender Stab mit Rechteckquerschnitt (h = konst.) ist wie skizziert an einem Ende durch eine gleichförmig verteilte Gleichlast p [N/mm 2 ] belastet. Die Stabbreite b(x 1 ) ist variabel und soll so bestimmt werden, daß in jeder waagerechten Schnittfläche die gleiche Spannung σ 11 wirkt. Der Stab ist homogen und hat die Dichte ρ. Schnitt A - A Aufgabe 14 Bestimmen Sie den Verlauf der Normalspannungen σ 11 in einem frei hängenden Stahlstab (l = 10 m, 4 cm, ρ = 7850 kg/m 3 )!

10 Übung zu Mechanik 2 Seite 9 Aufgabe 15 Ein Quader mit den Kantenlängen a, b und c wird wie skizziert durch zwei Kräfte F belastet, die gleichmäßig über die Lastangriffsflächen verteilt sind. Wie groß sind die Schnittkräfte parallel und senkrecht zur gestrichelten, diagonalen Schnittfläche, und wie groß sind die Spannungen, wenn man annimmt, daß die Schnittkräfte gleichmäßig über die Schnittflächen verteilt sind? Gegeben: F = 6 kn a = 3 cm b = 4 cm c = 2 cm

11 Übung zu Mechanik 2 Seite 10 Aufgabe 16 An einem dünnen Stegblech mit der Dicke d, Länge l und Höhe h werden nach einer Deformation die Eckverschiebungen gemessen, die in der Skizze dargestellt sind. a) Bestimmen Sie die Koeffizienten der Komponenten des Verschiebungsvektors als lineare Funktion der Koordinaten! u 1 = u 10 + u 11 X 1 + u 13 X 3, u 3 = u 30 + u 31 X 1 + u 33 X 3 b) Berechnen Sie den gegebenen Verzerrungszustand! Vor der Deformation: Nach der Deformation: l = 200 cm l* = 199,9 cm h = 100 cm h* = 100,2 cm d = 1 cm d* = 1 cm e* = 0,2 cm Aufgabe 17 Eine prismatische Scheibe von der Gestalt eines gleichseitigen Dreiecks wird einem ebenen Spannungszustand ausgesetzt. Man zeige, daß die Summe der Schubspannungen an den Seitenflächen der Scheibe verschwindet!

12 Übung zu Mechanik 2 Seite 11 Aufgabe 18 Eine homogene, dünne Scheibe aus sprödem Werkstoff wird wie skizziert durch einen einachsigen Spannungszustand σ 11 beansprucht. Die Spannung wird statisch bis zum Bruch gesteigert, die maximale Zugspannung ist max σ 11 = σ B. Welchen Winkel zur X 1 - Achse hat die Bruchfuge, wenn für das Versagen des Werkstoffes die maximale Schubspannung maßgebend ist? Wie groß ist die maximale Schubspannung? Aufgabe 19 Eine ebene Scheibe erfährt an ihren Oberflächen eine gleichmäßige Druckspannung σ 33 = - 40 N/mm 2 und eine gleichmäßige Schubbeanspruchung σ 13 = 20 N/mm 2. Wie groß sind die Hauptspannungen, die maximale Schubspannung, und welches sind die zugehörigen Richtungen? [N/mm 2 ]

13 Übung zu Mechanik 2 Seite 12 Aufgabe 20 An einer Scheibe wirkt wie skizziert ein ebener Spannungszustand (σ 11, σ 33, σ 13 ). Bestimmen Sie a) die Hauptspannungen und deren Richtungen! b) die Spannungen in dem gestrichelten gekennzeichneten Schnitt, der einen Winkel ψ zur X 1 -Achse bildet! Gegeben: σ 11 = -100 N/mm 2 σ 33 = 40 N/mm 2 σ 13 = 50 N/mm 2 ψ = 30 Aufgabe 21 Eine Stahlplatte ist wie skizziert belastet. Wie groß sind die Spannungen in den Schweißnähten a a und b b? Gegeben: σ 11 = -20 N/mm 2 σ 33 = 60 N/mm 2 σ 13 = -30 N/mm 2 ψ = 38

14 Übung zu Mechanik 2 Seite 13 Aufgabe 22 Eine rechteckige Scheibe ist wie skizziert einem zweiachsigen Spannungszustand ausgesetzt. Dabei ist die Spannung σ 11 = - 70 N/mm 2. a) Wie weit kann die Druckspannung σ 33 gesteigert werden, bis in der Schweißnaht a a die zulässige Schubspannung zul σ 13 = 90 N/mm2 erreicht wird und in welcher Richtung wirkt die Schubspannung? b) Wie groß ist dann die Normalspannung in der Schweißnaht? Gegeben: σ 11 = -70 N/mm 2 σ 13 = 0 N/mm 2

15 Übung zu Mechanik 2 Seite 14 Aufgabe 23 Die skizzierte dreieckige Scheibe ( A C = 15 cm, A B = 25 cm, C B = 20 cm) wird längs AC nur durch konstante Schubspannungen σ 31 = -120 N/mm 2, längs AB nur durch konstante Druckspannungen unbekannter Größe beansprucht. Wie groß müssen diese sein, und wie ist die Scheibe längs CB zu beanspruchen, wenn sie unter einem ebenen Spannungszustand im Gleichgewicht stehen soll? Wie groß sind die Hauptspannungen? Aufgabe 24 Eine parallelogrammförmige Stahllasche wird von einem ebenen Spannungszustand wie skizziert beansprucht. Bestimmen Sie a) die Hauptspannungen und deren Richtungen! b) die Spannungen im angegebenen diagonalen Schnitt!

16 Übung zu Mechanik 2 Seite 15 Aufgabe 25 In einer Scheibe sind in zwei bekannten Schnittrichtungen (a a) und (b b) die Schubund Normalspannungen bekannt. a) Gesucht sind die Spannungen in dem Schnitt (c c). b) Wie groß muß der Winkel β sein, damit in dem dadurch bestimmten Schnitt (d d) die betragsmäßig größte Normalspannung auftritt? c) Wie groß ist die Normalspannung im Schnitt (d d)? Aufgabe 26 Ein Stab, der in der horizontalen Lage 10 m lang ist, wird an einem Ende aufgehängt und hängt frei herab. Wie lang ist der vertikal hängende Stahlstab? Gegeben: A = 5 cm 2, E = 2, N/mm 2, ρ = 7850 kg/m 3.