Logik für Informatiker
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- Meike Acker
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1 Vorlesung Logik für Informatiker 3. Aussagenlogik Einführung: Logisches Schließen im Allgemeinen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1
2 Beispiel: Wumpus-Welt Performance measure gold +1000, 1 per step, death for using the arrow Sensors Smell in squares adjacent to wumpus Breeze in squares adjacent to pit Glitter iff gold is in the same square Actuators Left turn Right turn Forward Shoot (kills wumpus if facing it) Grab (picks up gold if in same square) Logik für Informatiker, SS 06 p.2
3 Exploration der Wumpus-Welt Logik für Informatiker, SS 06 p.3
4 Exploration der Wumpus-Welt Logik für Informatiker, SS 06 p.3
5 Exploration der Wumpus-Welt Logik für Informatiker, SS 06 p.3
6 Exploration der Wumpus-Welt Logik für Informatiker, SS 06 p.3
7 Exploration der Wumpus-Welt Logik für Informatiker, SS 06 p.3
8 Exploration der Wumpus-Welt Logik für Informatiker, SS 06 p.3
9 Exploration der Wumpus-Welt Logik für Informatiker, SS 06 p.3
10 Exploration der Wumpus-Welt Logik für Informatiker, SS 06 p.3
11 Wumpus-Welt: Problematische Situationen Problem Breeze in (1,2) und (2,1) keine sichere Aktion Logik für Informatiker, SS 06 p.4
12 Wumpus-Welt: Problematische Situationen Problem Breeze in (1,2) und (2,1) keine sichere Aktion Mögliche Lösung Annahme: Gruben gleichmäßig verteilt (2,2) hat Grube: Wahrscheinlichkeit p = 0, 86 (1,3) und (3,1) haben Gruben: Wahrscheinlichkeit p = 0, 31 Logik für Informatiker, SS 06 p.4
13 Wumpus-Welt: Problematische Situationen Problem Smell in (1,1) keine sichere Aktion Logik für Informatiker, SS 06 p.5
14 Wumpus-Welt: Problematische Situationen Problem Smell in (1,1) keine sichere Aktion Mögliche Lösung Schieße Pfeil Wumpus war da tot sicher wumpus nicht da sicher Logik für Informatiker, SS 06 p.5
15 Wumpus-Welt: Problematische Situationen Strategien für problematische Situationen Aussagenlogik findet mögliche (sichere) Aktionen Problematische Situation, wenn keine der Aktionen sicher ist Lösungsstrategien basieren nicht auf Aussagenlogik Logik für Informatiker, SS 06 p.6
16 Wumpus-Welt: Problematische Situationen Strategien für problematische Situationen Aussagenlogik findet mögliche (sichere) Aktionen Problematische Situation, wenn keine der Aktionen sicher ist Lösungsstrategien basieren nicht auf Aussagenlogik Zunächst nicht weiter betrachtet Logik für Informatiker, SS 06 p.6
17 Formale Logik Syntax Welche Formeln? Semantik Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)? Deduktionsmechanismus Ableitung neuer wahrer Formeln Logik für Informatiker, SS 06 p.7
18 Formale Logik Syntax Welche Formeln? Semantik Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)? Deduktionsmechanismus Ableitung neuer wahrer Formeln Welche Formeln sollen ableitbar sein? Logik für Informatiker, SS 06 p.7
19 Logische Folgerbarkeit Definition: Logische Folgerbarkeit Formel A folgt logisch aus Formelmenge KB gdw. A ist wahr in allen Modellen, in denen KB wahr ist Logik für Informatiker, SS 06 p.8
20 Logische Folgerbarkeit Definition: Logische Folgerbarkeit Formel A folgt logisch aus Formelmenge KB gdw. A ist wahr in allen Modellen, in denen KB wahr ist Notation KB = α Logik für Informatiker, SS 06 p.8
21 Logische Folgerbarkeit Definition: Logische Folgerbarkeit Formel A folgt logisch aus Formelmenge KB gdw. A ist wahr in allen Modellen, in denen KB wahr ist Notation KB = α Nota bene Folgerbarkeit ist eine Beziehung zwischen Formeln (Syntax), die auf Semantik basiert Logik für Informatiker, SS 06 p.8
22 Logische Folgerbarkeit Beispiel Aus das Hemd ist grün und gestreift folgt logisch das Hemd ist grün Logik für Informatiker, SS 06 p.9
23 Logische Folgerbarkeit Beispiel Aus das Hemd ist grün und gestreift folgt logisch das Hemd ist grün Beispiel Aus den Axiomen der Arithmetik und x + y = 4 folgt logisch 4 = x + y Logik für Informatiker, SS 06 p.9
24 Modelle Intuition Modelle sind formale Strukturen, bzgl. derer die Wahrheit einer Formel ausgewertet werden kann Logik für Informatiker, SS 06 p.10
25 Modelle Intuition Modelle sind formale Strukturen, bzgl. derer die Wahrheit einer Formel ausgewertet werden kann Definition: Modell einer Formel m ist Modell einer Formel A, wenn A in m wahr ist Logik für Informatiker, SS 06 p.10
26 Modelle Intuition Modelle sind formale Strukturen, bzgl. derer die Wahrheit einer Formel ausgewertet werden kann Definition: Modell einer Formel m ist Modell einer Formel A, wenn A in m wahr ist Notation M(A) bezeichnet die Menge aller Modelle von A Also: KB = α gdw. M(KB) M(α) Logik für Informatiker, SS 06 p.10
27 Modelle: Beispiel KB = Das Hemd ist grün und gestreift α = Das Hemd ist grün Logik für Informatiker, SS 06 p.11
28 Folgerungen in der Wumpus-Welt Situation nach nichts in [1,1], gehe rechts, Breeze in [2,1] Mögliche Modelle für? (betrachte nur Gruben) 3 boolesche Wahlmöglichkeiten 8 mögliche Modelle Logik für Informatiker, SS 06 p.12
29 Wumpus-Modelle Logik für Informatiker, SS 06 p.13
30 Wumpus-Modelle KB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen Logik für Informatiker, SS 06 p.13
31 Wumpus-Modelle KB = α 1 KB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen α 1 = [1,2] ist sicher Logik für Informatiker, SS 06 p.13
32 Wumpus-Modelle KB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen Logik für Informatiker, SS 06 p.13
33 Wumpus-Modelle KB = α 2 KB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen α 2 = [2,2] ist sicher Logik für Informatiker, SS 06 p.13
34 Ableitbarkeit Notation KB i α bedeutet Formel α kann aus KB mit Kalkül i abgeleitet werden Logik für Informatiker, SS 06 p.14
35 Ableitbarkeit Notation KB i α bedeutet Formel α kann aus KB mit Kalkül i abgeleitet werden Definition: Korrektheit (von i) Wenn KB i α, dann auch KB = α Definition: Vollständigkeit (von i) Wenn KB = α, dann auch KB i α Logik für Informatiker, SS 06 p.14
36 Logisches Schließen: Zusammenfassung Beispiel: Wumpus-Welt Logik für Informatiker, SS 06 p.15
37 Logisches Schließen: Zusammenfassung Beispiel: Wumpus-Welt Logische Folgerbarkeit Logik für Informatiker, SS 06 p.15
38 Logisches Schließen: Zusammenfassung Beispiel: Wumpus-Welt Logische Folgerbarkeit Modelle Logik für Informatiker, SS 06 p.15
39 Logisches Schließen: Zusammenfassung Beispiel: Wumpus-Welt Logische Folgerbarkeit Modelle Definition: Korrektheit und Vollständigkeit Logik für Informatiker, SS 06 p.15
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