Übung 5 zur Vorlesung SYSTEMORIENTIERTE INFORMATIK HW-, SW-CODESIGN
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1 Fakultät Informatik, Institut für Angewandte Informatik, Professur Technische Informationssysteme Übung 5 zur Vorlesung SYSTEMORIENTIERTE INFORMATIK HW-, SW-CODESIGN Übungsleiter: Dr.-Ing. H.-D. Ribbecke Dipl.-Inf. T. Wagner Dipl.-Ing. B. Hensel Dipl.-Ing. T. L. Mai Bearbeitungszeitraum: Wintersemester 215/216 ALLGEMEINE BEMERKUNGEN Sollten Sie Verbesserungsvorschläge, Fragen oder Probleme haben, so diskutieren Sie diese am besten mit Ihren Kommilitonen und wenden sich persönlich an Ihren Übungsleiter oder schreiben ihm eine ({heinz-dieter.ribbecke, burkhard.hensel, tuan_linh.mai}@tu-dresden.de).
2 LERNZIELE VON ÜBUNG 5 In den Übungen 3 und 4 wurden die Ausgangssignale verschiedener Systeme bei einem Sprung-, Impuls- oder Rampensignal als Eingangssignal berechnet. Um für ein beliebiges Eingangssignal das zugehörige Ausgangssignal eines linearen, zeitinvarianten Systems zu berechnen, benötigt man die mathematische Operation der Faltung. Für zeitkontinuierliche Systeme verwendet man das Faltungsintegral und die Gewichtsfunktion, für zeitdiskrete Systeme die Faltungssumme und die Gewichtsfolge. In Übung 5 werden die (grafische) Lösung des Faltungsintegrals sowie die Berechnung der Faltungssumme anhand von Beispielen geübt. Außerdem wird die Gewichtsfunktion beziehungsweise Gewichtsfolge als das das Systemverhalten eindeutig beschreibende Merkmal näher untersucht. AUFGABE 5.1 GRUNDLAGEN DER (KONTINUIERLICHEN) FALTUNG Von einem zeitkontinuierlichen LTI-System (lineares, zeitinvariantes und kausales System) ist die Gewichtsfunktion g(t) bekannt (siehe Abbildung 23). g(t) 1,5 1,,5, Abbildung 23: Zeitlicher Verlauf der Gewichtsfunktion g(t) des Systems. a) Ermitteln Sie den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn am Eingang ein Einheitsimpuls anliegt. Stellen Sie diesen grafisch dar. Abbildung 24: Zeitlicher Verlauf des Einheitsimpuls. 2
3 b) Wie verändert sich der zeitliche Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn statt des Einheitsimpulses (Impulshöhe + ) ein invertierter Einheitsimpuls (gleiche Fläche; Impulshöhe ; siehe Abb. 25) am Eingang anliegt? Stellen Sie diesen grafisch dar. Abbildung 25: Zeitlicher Verlauf des Eingangssignals invertierter Einheitsimpuls. c) Wie verändert sich der zeitliche Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn statt des Einheitsimpulses (zum Zeitpunkt s) ein totzeitbehafteter Einheitsimpuls (gleiche Fläche; zum Zeitpunkt 1 s; siehe Abbildung 26) am Eingang anliegt? Stellen Sie diesen grafisch dar. Abbildung 26: Verlauf eines totzeitbehafteten Einheitsimpuls. 3
4 d) Ermitteln Sie schrittweise den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn am Eingang das aus totzeitbehafteten und invertierten Einheitsimpulsen entsprechend Teilaufgaben b) und c) bestehende und in Abbildung 27 dargestellte Signal anliegt. Stellen Sie diesen grafisch dar. Abbildung 27: Zeitlicher Verlauf des Eingangssignals totzeitbehaftete und invertierte Einheitsimpulse. e) Wie verändert sich der zeitliche Verlauf der Antwort y(t) des Systems auf das aus totzeitbehafteten und invertierten Einheitsimpulsen entsprechend Teilaufgaben c) und d) bestehende und in Abbildung 27 dargestellte Signal am Eingang, wenn sich die Gewichtsfunktion g(t) -- beispielsweise durch Alterung -- verändert (zeitlicher Verlauf siehe Abbildung 28)? Stellen Sie diesen grafisch dar. g*(t) 1,5 1,,5, -,5-1, Abbildung 28: Zeitlicher Verlauf der veränderten Gewichtsfunktion g*(t) des Systems 4
5 AUFGABE 5.2: BEDEUTUNG DER GEWICHTSFUNKTION Von einem zeitkontinuierlichen, linearen und zeitinvarianten System ist die Gewichtsfunktion g(t) bekannt (siehe Abbildung 29). g(t) Abbildung 29: Zeitlicher Verlauf der Gewichtsfunktion g(t) des Systems. a) Klassifizieren Sie den Signalverlauf aus Abbildung 29 im Zeit- und Wertebereich. b) Handelt es sich bei dem durch Abbildung 29 beschriebenen System um ein statische? Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz. c) Handelt es sich bei dem durch Abbildung 29 beschriebenen System um ein kausales? Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz. d) Welche Auswirkung hätte ein nichtkausales Systemverhalten auf die bisherigen Betrachtungen? e) Kann das durch die Gewichtsfunktion g(t) in Abbildung 29 beschriebene System (BIBO-)instabil werden? Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz. f) Stellen Sie abschließend den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems auf einen am Eingang anliegenden Einheitssprung grafisch dar. Beschreiben Sie dabei kurz den zugrunde liegenden Lösungsansatz. 5
6 ZUSATZAUFGABE 5.3: FALTUNG UND DEREN UMKEHRUNG Von einem zeitkontinuierlichen LTI-System (lineares, zeitinvariantes und kausales System) ist die Gewichtsfunktion g(t) bekannt (siehe Abbildung 3). g(t) Abbildung 3: Zeitlicher Verlauf der Gewichtsfunktion g(t) des Systems. a) Welches Eingangssignal erzeugt die Gewichtsfunktion g(t)? b) Benennen Sie den zugrunde liegenden mathematischen Zusammenhang für die Ermittlung des Ausgangssignals y(t) aus dem Eingangssignal und der Gewichtsfunktion g(t). c) Geben Sie die Formel für den mathematischen Zusammenhang aus Teilaufgabe (b) an. (in mv) Abbildung 31: Zeitlicher Verlauf des Eingangssignals. d) Ermitteln Sie schrittweise den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn am Eingang das aus Einheitsimpulsen bestehende und in Abbildung 31 dargestellte Signal anliegt. 6
7 y*(t) (in mv) Abbildung 32: Zeitlicher Verlauf des Ausgangssignals y*(t). e) Wie muss der zeitliche Verlauf des Eingangssignals x*(t) aussehen, wenn am Ausgang y*(t) des Systems das in Abbildung 32 dargestellte Signal anliegt? f) Beschreiben Sie kurz Ihren Lösungsweg und stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Eingangssignals x*(t) grafisch dar. Anmerkung: Diese Teilaufgabe war in der Klausur eine Zusatzaufgabe. ZUSATZAUFGABE 5.4: OPTIMALFILTER An einem unbekannten System eines zeitkontinuierlichen LTI-System (lineares, zeitinvariantes und kausales System) ist näherungsweise die Gewichtsfunktion g(t) gemessen worden (siehe Abbildung 32). g(t) t (in µs) Abbildung 32: Zeitlicher Verlauf der Gewichtsfunktion g(t) des Systems. 7
8 a) Ermitteln Sie schrittweise den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn am Eingang das aus Einheitsimpulsen bestehende und in Abbildung 33 dargestellte Signal anliegt (entspricht der an der Ordinate gespiegelten Stoßantwort) b) Wozu könnte man diese Systeme mit einem derartigen Ausgangssignalverhalten in der Praxis einsetzen? (in mv) t (in µs) Abbildung 33: Zeitlicher Verlauf des Eingangssignals. c) Wie könnte man ein derartiges System mit der Eigenschaft eines solchen Optimalfilters technisch realisieren? AUFGABE 5.5: BEDEUTUNG DER GEWICHTSFOLGE Von einem zeitdiskreten, linearen und zeitinvarianten System ist die Gewichtsfolge g(kt) bekannt: k < g ( kt ) = 3 k k 3. k > 3 Die Abtastperiode T beträgt 1 s und es gilt: k : = {, 2, 1,,1, 2, }. a) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf der Gewichtsfolge g(kt) grafisch dar. b) Klassifizieren Sie den Signalverlauf aus Teilaufgabe a) im Zeit- und Wertebereich. 8
9 c) Handelt es sich bei dem hier beschriebenen System um ein statisches? Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz. d) Handelt es sich bei dem hier beschriebenen System um ein kausales? Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz. e) Kann das durch die Gewichtsfolge g(kt) beschriebene System (BIBO-)instabil werden? Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz. AUFGABE 5.6: ZEITDISKRETE FALTUNG Von einem zeitdiskreten LTI-System (lineares, zeitinvariantes und kausales System) ist die Gewichtsfolge g(kt) bekannt (vergleiche auch Aufgabe 5.5: Bedeutung der Gewichtsfolge): k < g ( kt ) = 3 k k 3. k > 3 Die Abtastperiode T beträgt 1 s und es gilt: k : = {, 2, 1,,1, 2, }. a) Ermitteln Sie die Antwort y(kt) des Systems auf einen zeitdiskreten Einheitsimpuls am Eingang x ( kt ) δ ( kt ) k = =. 1 k = Verwenden Sie dazu die Definition der zeitdiskreten Faltung (Faltungssumme): ( ) = ( ) ( ) y kt g kt x kt = k k < (( ) ) ( ) g k j T x jt k j =. b) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Ausgangssignals y(kt) grafisch dar. c) Ermitteln Sie die Antwortfolge y(kt) des Systems auf einen zeitdiskreten Einheitssprung am Eingang x ( kt ) σ ( kt ) k < = =. 1 k d) Ermitteln Sie das Ergebnis nach folgender Gleichung für k 5. ( ) h kt = k k < ( ) g jt k j =. e) Verwenden Sie dazu auch hier die Definition der zeitdiskreten Faltung. 9
10 f) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Ausgangssignals y(kt) grafisch dar. g) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Signals h(kt) grafisch dar. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse aus den Teilaufgaben. h) Welcher Filterklasse (FIR bzw. IIR) gehört das durch die Gewichtsfolge g(kt) beschriebene System an? Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz. ZUSATZAUFGABE 5.7: RAUMHALL Der Nachhall eines Raums besteht aus einer Vielzahl von Echos (siehe Aufgabe 3.5). Jedes Echo entspricht einem der möglichen Wege des Schalls von der Klangquelle über verschiedene Reflexionen zum Hörer (analog zu den verschiedenen möglichen Wegen einer Billardkugel in dieselbe Tasche). Um die hohen Kosten und den hohen technischen Aufwand von Aufnahmen in großen Hallen mit guter Akustik zu umgehen, werden aktuelle Musikproduktionen in der Regel ohne Hall ( trocken ) im Tonstudio aufgezeichnet und der Nachhall anschließend computergestützt simuliert (außer bei klassischer Musik). Der sogenannte Faltungshall gilt als besonders realistisch. a) Wie können Sie vorgehen, um Ihr Wissen über die Faltung bei der Simulation von Raumhall zu nutzen? b) Wie lang darf die Gewichtsfunktion maximal sein, damit ein PC mit einer Taktfrequenz von 3 GHz den Hall in Echtzeit (live) berechnen kann? Gehen Sie zunächst von der starken Vereinfachung aus, dass genau ein Prozessorkern verwendet wird und dieser immer im Wechsel in einem Takt multipliziert und im nächsten addiert. c) Impulsantworten großer Hallen sind mehrere Sekunden lang. Wie lange dauert es unter den Annahmen von b), ein Musikstück von 4 Minuten Länge mit einer Gewichtsfunktion von 4 Sekunden Länge zu falten ( Rendering )? d) Welche in Teilaufgabe b) vernachlässigten Prozessoraktivitäten verringern die maximale Länge der Gewichtsfunktion für den Echtzeitbetrieb weiter bzw. verlängern die Berechnung beim Rendering? e) Nennen Sie Beispiele aus der Informatik, auf die sich die Überlegungen zum Nachhall übertragen lassen (Tipp: Schall besteht aus mechanischen Wellen, in der Informatik sind jedoch elektromagnetische Wellen interessanter). 1
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