Neuronale Netzwerke: Feed-forward versus recurrent (d.h. feed-back )

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1 Neuronale Netzwerke: Feed-forward versus recurrent (d.h. feed-back ) A: Schrittweise vorwärts-gerichtete Abbildung: Eingangssignal (Input) r in Ausgansgsignal (Output) r out Überwachtes Lernen (wie z.b. bei deep learning ): Minimiere Differenzen zwischen r i out und erwünschten Outputs durch Veränderung der Gewichte W h and W out (synaptische Kopplungen). Dazu wird das Fehlersignal vom Output zum Input zurückgerechnet ( error back-propagation ). B: Rückgekoppeltes ( feed-back ) System: Output r out wird in das System rückgekoppelt und mit dem externen Input I ext kombiniert. Dynamisches System;; wird im Allgemeinen eine komplexe Dynamik haben Erwünschte Zustände werden mit Hilfe geeignet gewählter Gewichte W ij als Attraktoren der Netzwerk-Dynamik realisiert ( Assoziativ-Speicher )

2 Netzwerk- Dynamik mit graded- response Neuronen Die dynamischen Gleichungen des Hopfield- Modells (1984) lauten: C " $% &(() =, u - " (t) , T "3 V 3 (t) + I " (I) & Annahmen: C " > 0, R " > 0, T "3 = T 3". V 3 t = g 3 u 3 t streng monoton, lim g(x) = 0, lim g(x) = EC Die Zustandsfunktion E(V,, V H,... V 5 ), E V,, V H,... V 5 =, 5 5 T H "6, 36, "3 V " V B, "6, L g - " V dv 5 "6, I " V " (II) &, M K & ist nach unten beschränkt und nimmt längs jeder Lösung monoton ab. (Beweis: nächste Folie) E ist also eine Lyapunov- Funktion (oft auch etwas salopp Energie- Funktion genannt). Das System ist also dissipativ und strebt für lange Zeiten gegen (lokale) Minima von E. Dynamische Systeme, bei denen die Energie erhalten ist, werden auch konservativ genannt. Ein Beispiel: Ungedämpfter harmonischer Oszillator (mit Dämpfung: dissipativ).

3 Netzwerk- Dynamik mit graded- response Neuronen Beweis Allgemein gilt: $U(() = 5 P6, V E(V VK,, V H,... V 5 ) $K O(() O Für (II) zudem: V 5 E V VK,, V H, V 5 =, T O H 36, P3V 3, T H "6, "PV " +, g B, - P V I P O 5 Mit (I) eingesetzt ergibt dies: V VK O E V,, V H, V 5 = C P $% O(() Insgesamt also: $U(() die Ungleichung gilt, da $% O(() = 5 C $% O(() P P6, und $K O(() $K O (() wegen des monotonen Wachstums der g P gleiches Vorzeichen haben (beide positiv, negativ oder null), ihr Produkt also immer positiv ist oder null. Dass E nach unten beschränkt ist, kann man auf zwei Weisen zeigen. (a) Da 0 V P t 1 (siehe die Anforderungen an g P ), ist der erste und dritte Term von E im Bereich der durch die Dynamik des Systems erreichten V- Bereiche endlich und damit nach unten beschränkt, der zweite Term ist sowieso nicht- negativ. (b) Selbst wenn man die Forderung an die g P aufweicht und erlaubt, dass g P nicht nach oben beschränkt ist, dann dominiert der zweite Term der E- Funktion den gesamten Ausdruck für großes V, solange die g P sublinear anwachsen. Dann nämlich wachsen die g P B, supralinear, ihr Integral also stärker als quadratisch. Der erste Term fällt jedoch maximal quadratisch, der dritte Term maximal linear, so dass der zweite Term die Beschränktheit sichert. 0

4 Netzwerk- Dynamik mit graded- response Neuronen System mit zwei Neuronen: u 2 Phase- plane analysis u 1

5 Speicherkapazität des Hopfield- Modells: Hebb sches Lernen (DO Hebb, ) fire together, wire together : Synaptische Kopplungen (p Muster): p T ij = N -1 S k=1 x k i x k j x k i : Aktivität von Neuron i in Muster k Speicherkapazität (Hopfield 1982) Computer- Simulation für two- state neurons (S i =+/- 1) a = 0.05 a = 0.10 a = 0.15 Amit et al. 1985: exakte Lösung mit Methoden der theoretischen Festkörperphysik: p (# Muster) skaliert wie N (# Neuronen): p=a N; kritisches a c ~ 0.14 a < a c Trajektorien der Netzwerk- Dynamik, die in der Nähe eines gespeicherten Musters x starten, konvergieren zu x : assoziative Mustererkennung a > a c die meisten Trajektorien erreichen keines der gespeicherten Muster: Gedächtniskatastrophe

6 Elektrische Analogie

7 Vergleich verschiedener Attraktor- Netzwerk- Typen a) Point attractors zb Assoziativ- Speicher b) Continuous attractors 1D: Linien- Attraktoren: zb Arbeitsgedächtnis speziell: Ring- Attraktoren: zb Orientierungs- Tuning im visuellen System Kopf- Richtungssystem 2D: zb Torus- artige Attraktoren: Gitterzell- System im entorhinalen Cortex c) Time- dependent attractors (periodisch oder chaotisch): z.b. Mustersequenzen (sensorisch, motorisch)

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