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1 Die Poisson-Verteilung Jianmin Lu RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastik (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse, insbesondere die möglichen Werte einer Zufallsvariable, verteilen. Man unterscheidet zwischen diskreten Verteilungen, die sich auf eine endliche oder abzählbare Menge konzentrieren, und stetigen (kontinuierlichen) Verteilungen, die sich auf gröÿere Bereiche erstrecken und bei denen einzelne Punkte die Wahrscheinlichkeit 0 haben. Beispiele für diskrete Verteilungen sind die Binomialverteilung, die die Anzahl der Erfolge beim Ziehen aus einer Urne mit und ohne Zurücklegen beschreiben, sowie die Poisson-Verteilung, die sich aus der Binomialverteilung ergibt, wenn man die Erfolgswahrscheinlichkeit immer weiter reduziert und gleichzeitig die Anzahl der Ziehungen um denselben Faktor erhöht. Dieser Vortrag zum Thema Poisson-Verteilung befasst sich mit der mathematischen Beschreibung und der Poisson-Näherung. Die Anwendungen dieser Approximation werden anhand einiger Beispiele veranschaulicht.

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Binomialverteilung Denition: Bin(n,p) Erwartungswert Varianz Poisson-Verteilung Poisson Denition: P(λ) Erwartungswert Varianz Eigenschaften: Additionsgesetz Symmetrie Beispiel: Glücksrad Poisson-Näherung Poisson-Näherung(Poisson-Aproximation): Alternative Rechnung Anwendungen von Poissonverteilungen 9 6 Beispielen von Poissonverteilung Beispiel 1: Beispiel 2: Beispiel 3: Der groÿe Jubiläumstag Resümee 11 Abbildungsverzeichnis 3.1 Siméon Denis Poisson Poisson-Verteilung bei λ=0.8, 3, Glücksrad Glücksrad

3 1 Einleitung In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es drei Verteilungen von besonderer Bedeutung, weil sie in Theorie und Anwendungen so häug auftreten. Eine dieser Verteilungen ist die Binomialverteilung. Die beiden anderen sind die Poisson-Verteilung und die Normalverteilung. Alle drei sind eng verwandt. Die beiden letzten können als Grenzformen der ersten gewonnen werden. Deswegen betrachten wir zuerst die Binomialverteilung kurz. 2 Binomialverteilung Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie beschreibt den wahrscheinlichen Ausgang einer Folge von gleichartigen Versuchen, die jeweils nur zwei mögliche Ergebnisse haben. Wenn das gewünschte Ergebnis eines Versuches die Wahrscheinlichkeit p besitzt, und die Anzahl der Versuche n ist, dann gibt die Binomialverteilung an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich insgesamt k Erfolge einstellen. 2.1 Denition: Bin(n,p) Eine Zufallsvariable X besitzt eine Binomialverteilung mit Parametern n (kurz: X Bin(n, p)), falls gilt: P (X = k) =: b(k) = ( n k)p k (1 p) n k, (k = 0, 1, 2,..., n) 2.2 Erwartungswert Den Erwartungswert der Binomialverteilung errechnet man mit Hilfe der Denition: E(X) = n x i p i = i=1 = np = np n k=0 n k( n k)p k (1 p) n k k=0 (n 1)! (n k)!k! pk (1 p) (n 1) (k 1) n ( n 1 k 1 )p(k 1) (1 p) (n 1) (k 1) k=1 =1 = np 2.3 Varianz Die Varianz der Binomialverteilung bestimmt sich aus : V ar(x) = E(X(X 1)) + E(X) (E(X)) 2 3

4 n = k(k 1)( n k)p k (1 p) n k + np n 2 p 2 k=0 = np[(n 1)p + 1] (np) 2 = np(1 p) 3 Poisson-Verteilung Nach der Wiederholung der Binomialverteilung wenden wir uns der Poisson-Verteilung zu. Sie wurde in 1838 von Siméon Denis Poisson zusammen mit seiner Wahrscheinlichkeitstheorie in dem Werk Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie von Urteilen in Straf- und Zivilsachen veröentlicht. 3.1 Poisson *21. Juni 1781 in Loiret, 25. April 1840 in Paris französischer Mathematiker und Physiker leistete bedeutende Beiträge zur Physik und Analysis Schüler von Laplace 1838 Veröentlichung von seiner Wahrscheinlichkeitstheorie (darin auch Poisson- Verteilung) Abbildung 3.1: Siméon Denis Poisson 3.2 Denition: P(λ) Eine Zufallsvariable X besitzt eine Poisson-Verteilung mit Parameter λ (kurz: X P (λ) ), falls gilt: P (X = k) =: p(k) = e λ λk, (k = 0, 1, 2,..., n) k! 4

5 3.3 Erwartungswert Der Erwartungswert der Poisson-Verteilung lautet: λ λk E(X) = ke k! = λ k 1 λe λ (k 1)! = λe λ k=0 k=1 j=0 λ j j! e λ = λe λ e λ = λ 3.4 Varianz Die Varianz der Poisson-Verteilung ist: λ λk V ar(x) = k(k 1)e k! + λ λ2 = e λ λ 2 k=0 k=2 λ k 2 (k 2)! =e λ +λ λ 2 = λ 3.5 Eigenschaften: Additionsgesetz Sind X, Y unabhängige Zufallsvariablen mit den Poisson-Verteilungen X P (λ 1 ), Y P (λ 2 ), so gilt das Additionsgesetz: X + Y P (λ 1 + λ 2 ) Dies besagt, dass die Summe zweier stochastisch unabhängiger Poisson-verteilten Zufallsvariablen X und Y mit den Parametern λ 1 und λ 2 wieder Poisson-verteilt ist mit dem Parameter λ 1 + λ 2. Beweis: P (X + Y = k) = k P (X = i)p (Y = k i) = i=0 k i=0 λ i 1 λk i i! e λ 1 2 k i! e λ 2 = k 1 k! k! (k i)!i! e (λ 1+λ 2 ) λ i 1λ2 k i = 1 k! e (λ 1+λ 2 ) i=0 k ( k i )λ i 1λ k i 2 i=0 (λ 1 +λ 2 ) k = (λ 1 + λ 2 ) k e (λ 1+λ 2 ) k! Dies läÿt sich auch auf mehrere stochastisch unabhängige Poisson-verteilte Zufallsvariablen X i P (λ i ) verallgemeinern. 5

6 3.5.2 Symmetrie An den Darstellungen in Abbildung 3.2 sehen wir (1) Die Poisson-Verteilung P(λ) hat für kleine Erwartungswerte (Mittelwerte) λ eine stark asymmetrische Gestalt. (2) Für gröÿer werdende Erwartungswerte wird P(λ) symmetrischer und läÿt sich für λ >30 in guter Näherung durch die Gauÿ-Verteilung darstellen. Abbildung 3.2: Poisson-Verteilung bei λ=0.8, 3, 9 Die Frage ist: Kann man die Binomialverteilungen durch Poisson-Verteilungen für groÿe λ ersetzen? Was ist der Zusammenhang zwischen Binomialverteilung und Poisson- Verteilung? Wenn ja, gibt's noch Bedingungen? Bevor die Frage beantwortet werden, betrachten wir zuerst einem Einleitungsbeispiel: 3.6 Beispiel: Glücksrad Gegeben sei folgendes Glücksrad: Abbildung 3.3: Glücksrad1 Es wird n-mal gedreht. Wenn n groÿ ist, ist die Anzahl der Erfolge auch groÿ, denn sie liegt in der Nähe des Erwartungswert np. Es gibt jedoch den interessanten Fall, wo p sehr klein ist. Dann braucht np nicht groÿ zu sein. In diesen Fall sieht das Glücksrad z.b. so aus: Abbildung 3.4: Glücksrad2 6

7 Für dieses Glücksrad soll der Erwartungswert np = λ eine feste Zahl sein und wir interessieren uns für den Grenzwert n. Die Wahrscheinlichkeit für lauter Fehlschläge ist: Für groÿe n ist b(0) e λ. Ferner ist b(0) = q n = (1 λ n )n b(x + 1) b(x) = (n x+1)p x+1 (1 p) n x 1 = n x p ( n x)p x (1 p) n x x p = n x x + 1 λ n 1 λ n Für groÿe n ist 1 λ n 1 und 1 x n Daher ist : b(x + 1) = 1 λ 1 λ x + 1 (1 x n ) n 1 1 λ b(x), also x+1 1, da x in der Nähe von np = λ liegt. b(1) λ 1 b(0) λ 1 e λ b(2) λ λ2 b(1) 2 2! e λ... b(x) λx x! e λ =p(x), λ = np Diese berühmte Näherung stammt von Poisson. Man kann leicht nachprüfen, daÿ p(x) = λx x! e λ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, nähmlich die Poisson-Verteilung. 4 Poisson-Näherung 4.1 Poisson-Näherung(Poisson-Aproximation): Durch das Einleitungsbeispiel sehen wir schon, dass die Poisson-Verteilung sich aus der Binomialverteilung herleiten lässt: lim n (n k)p k (1 p) n k λ λk = e k! 7

8 Diese Näherung besagt, dass eine asymptotisch asymmetrische Binomialverteilung bei sehr groÿem Stichprobenumfang und sehr kleinen Anteilen der interessanten Merkmale, unter der Nebenbedingung, dass das Produkt np = λ konstant ist, d.h. ihr Erwartungswert np gegen λ konvergiert bei n, p 0. Diese Binomialverteilung kann man durch die Poisson-Verteilung approximieren. Beweis: Mit p = λ n Grenzwert: ist der Wert einer Poisson-verteilte Zufallsvariable an der Stelle k der P (x = k) = P (k) = ( n k)p k (1 p) n k = n! (n k)!k! (λ n )k (1 λ n )n k = (1 1 n )(1 2 n )...(1 k 1 n ) 0 k! ) (1 λ n )n (1 λ n ) k e λ 1 ( λk n λk k! eλ 4.2 Alternative Rechnung Die alternative Rechnung für den Erwartungswert und Varianz bei Poisson-Näherung: Seien X 1,..., X n B(1, λ ) unabhängige binomialverteilte Zufallsvariablen und n sei X := X X n und für n gilt X P(λ) E(X) = E(X 1 ) E(X n ) = λ n λ = λ } {{ n} n mal V ar(x) = V ar(x 1 ) V ar(x n ) = λ n (1 λ n ) λ n (1 λ n ) = λ(1 λ n ) λ n mal Für groÿe n nähert sich die Poisson-Verteilung der Binomialverteilung an. Deswegen ist der Erwartungswert bzw. die Varianz der Poisson-Verteilung gleich der Summe der Erwartungswerte bzw. der Varianz der Binomialverteilung. 8

9 5 Anwendungen von Poissonverteilungen Weil die Poisson-Verteilung eine gute Näherung für die Binomialverteilung ist, die bei geringer Erfolgswahrscheinlichkeit und häugen Durchführen der Versuche entsteht, wird sie manchmal als die Verteilung der selten Ereignisse bezeichnet. Technische Anwendungen für solche seltenen Ereignisse sind z.b.: Anzahl der in einer bestimmten Zeit zerfallenden Atomkerne. Anzahl der Kunden an einem Bankschalter pro Zeiteinheit. Anzahl der Bakterien pro Liter Nährlösung. Anzahl der Verkehrsunfälle pro Zeiteinheit an einer Kreuzung. Anzahl der Telefongespräche,die in einer bestimmten Zeit bei einer Firma oder Auskunft eintreen. 6 Beispielen von Poissonverteilung Um die Poisson-Näherung besser zu verstehen schauen wir die folgenden drei Beispiele an: 6.1 Beispiel 1: In 100ml einer Flüssigkeit benden sich 100 Viren. Damit werden 100 Versuchstiere geimpft, indem jedem Tier 1ml der Flüssigkeit eingespritzt wird. Ein Virus führt mit Sicherheit zur Erkrankung. Frage: Wie viele Tiere werden nicht erkranken? Lösung: Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Tier nicht erkrankt. Wenn die Viren zufällig in der Flüssigkeit verteilt sind, dann hat jeder die Wahrscheinlichkeit p= 1, dem betreenden Tier eingesptitzt. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit von 0 Erfolgen in 100 Versuchen. 100 Hier ist p= 1 1 sehr klein, λ=np=100 = Daher verwenden wir die Poisson-Näherung. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Tier k Viren bekommt, ist b(k) λk k! = λ 1 k! d.h. ca. 37 Tiere erkranken nicht. b(0) 1 =

10 6.2 Beispiel 2: Das 1.Beispiel ist aber unrealistisch, weil man die Anzahl n der Viren in der Regel nicht kennt. Man kann aber n schätzen. Im Beispiel 1 war die Wahrscheinlichkeit gesund zu bleiben etwa e 1. Mit dieser Annahme schätzen wir nun n. Z.B. bleiben 1/4 der Tiere gesund, so gilt e 1 λ p 1 4 λ 1.39 n λ p = 1.39 So enthält die Flüssigkeit rund 139 Viren. 6.3 Beispiel 3: Der groÿe Jubiläumstag Genau in einem Jahr feiert ein groÿer Betrieb seinen 100. Geburtstag. Die Direktion beschlieÿt, allen Kindern von Betriebsangehörigen, die am Jubeltag geboren werden, ein Sparkonto von 5000 Euro anzulegen. Es werden rund 730 Kinder pro Jahr geboren, also 2 pro Tag. Man hat also Euro Auslagen zu erwarten. Um Zufallsschwankungen zu berücksichtigen, werden für diesen Zweck Euro eingeplant. Frage: Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Geld nicht reicht? Lösung: Hier ist n=730, p= 1, λ=np=2 365 Ist X die Anzahl der Kinder, die am Jubeltag geboren werden, so ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit: P (X 6) = 1 P(X 5) = 1 [e 2 + e e = 1 e e ! + e ! + e ! + e ! ] Die Wahrscheinlichkeit einer unangenehmen Überraschung ist also sehr klein.man braucht nicht damit zu rechnen. 10

11 7 Resümee Der Vortrag hat die Denition und die Kennwerte (also der Erwartungswert und die Varianz) von Binomialverteilung bzw. von Poisson-Verteilung eingeführt.die Beziehung zwischen den beiden Verteilungen besteht in der Poisson-Approximation. Diese Approximation wird durch Beispiele und mathematische Beschreibung aufgezeigt. Wegen dieser Approximation wird die Poisson-Verteilung oft benutzt als gutes Hilfsmittel in vielen Anwendungen. Literatur [1] Arthur Engel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Klett Verlag, Alle Abbildungen übernommen bzw. angepasst nach Idee aus [1]. 11

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