Kapitel 8 Anwendungen der Di erentialrechnung
|
|
|
- Rudolf Eberhardt
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 99 / 235
2 Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Stz 8.1 (Mittelwertstz der Di erentilrechnung) Es sei f uf [, b] stetig und uf ], b[ di erenzierbr. Dnn gibt es ein x 0 2], b[ mit f 0 (x 0 )= f(b) f(). b Folgerung 8.2 Sei f uf [, b] stetig und uf ], b[ di erenzierbr. Dnn gilt: 1 Ist f 0 (x) 0(> 0) für lle x 2], b[, soistf uf [, b] (streng) monoton steigend. 2 Ist f 0 (x) pple 0(< 0) für lle x 2], b[, soistf uf [, b] (streng) monoton fllend. 3 Ist f 0 (x) =0für lle x 2], b[, soistf uf [, b] konstnt. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 100 / 235
3 Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Wenn nicht nders ngegeben, sind im Folgenden die Intervlle stets o en (diese werden dnn mit I bezeichnet). Stz 8.3 (Krümmung) Es se f : I! zweiml di erenzierbr. Dnn heißt (der Grph von) f linksgekrümmt, fllsf 00 > 0 uf gnz I rechtsgekrümmt, fllsf 00 < 0 uf gnz I. Definition 8.4 (Wendestelle, Wendepunkt) Es sei f : I! zweiml di erenzierbr und f 00 (x 0 )=0für x 0 2 I. Dnn heißt x 0 eine Wendestelle und der Punkt x 0,f(x 0 ) ein Wendepunkt (des Grphen) von f. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 101 / 235
4 Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Definition 8.5 (Extremum) Es sei D 2 eine beliebige Teilmenge, f : D! und x 0 2 D. (Der Grph von) f ht in x 0 ein globles Mximum, wennf(x) pple f(x 0 ) für lle x 2 D. 2...globles Minimum, wennf(x) f(x 0 ) für lle x 2 D. 3...lokles Mximum, wenn es eine Umgebung U " (x 0 ) gibt, so dss f(x) pple f(x 0 ) für lle x 2 U " (x 0 ) \ D. 4...lokles Minimum, wenn es eine Umgebung U " (x 0 ) gibt, so dss f(x) f(x 0 ) für lle x 2 U " (x 0 ) \ D. Mxim und Minim fssen wir uch unter dem Nmen Extrem zusmmen. Wir nennen x 0 eine Extremlstelle, f(x 0 ) ein Extremum und x 0,f(x 0 ) einen Extrempunkt (des Grphen) von f. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 102 / 235
5 Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Stz 8.6 (Notwendiges Kriterium für Extrem) Es sei f : I! di erenzierbr in x 0 2 I. Htf in x 0 ein lokles Extremum, so ist f 0 (x 0 )=0. Bemerkung 8.7 Die Umkehrung von Stz 8.6 ist in der Regel nicht richtig. Ds zeigt schon ds Beispiel f(x) =x 3 und x 0 =0. Ds Phänomen des letzten Beispiels werden wir nun näher beleuchten. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 103 / 235
6 Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Stz 8.8 (Hinreichendes Kriterium für Extrem) Es sei f : I! hinreichend oft di erenzierbr und x 0 2 I mit f 0 (x 0 )=0. Dnn gilt < 0 lokles Mximum 1. Ist f 00 (x 0 ) > 0,sohtf in x 0 ein lokles Minimum. 2. Ist f 00 (x 0 )=0und f 000 (x 0 ) 6= 0so ht f in x 0 eine Wendestelle. In diesem Fll spricht mn von einem Sttelpunkt. Allgemeiner gilt: 3. Ist f 00 (x 0 )=...= f (n 1) (x 0 )=0und f (n) 6=0, dnn gilt ( Ist n gerde, so ht f in x 0 ein lokles Mximum, flls f (n) (x 0 ) < 0 lokles Minimum, flls f (n) (x 0 ) > 0. Ist n ungerde, so ht f in x 0 einen Wendepunkt. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 104 / 235
7 Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Beispiel: Wir betrchten f :! mit f(x) = sin x 2 + cos x.ddie Funktion 2 -periodisch ist, schuen wir sie uns nur uf einem Teilintervll n, nämlich uf [0, 2 ]. (genuer uf ], 2 + [, d wir ein o enes Intervll bruchen). y f(x) f 0 (x) f 00 (x) 2 x Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 105 / 235
8 Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Mit Hilfe der Di erentilrechnung lssen sich bestimmte Grenzwerte usrechnen, die mn ohne deren Hilfe nur schwer bekommt. Stz 8.9 (Stz von l Hospitl) Es sei ein Rndpunkt des o enen Intervlls I 2 (dbei ist = ±1 usdrücklich zugelssen), und f und g stetig di erenzierbr uf I. Dnn gilt: 1 Ist lim f(x) =limg(x) =0und existiert der Grenzwert x! x! f 0 (x) f(x) lim x! g 0 = C, so gilt ebenflls lim (x) x! g(x) = C 2 Anlog gilt der Stz uch für Ausdrücke der Form Mit leichten Modifiktionen knn mn uch Ausdrücke der Form 0 1und 1 1behndeln. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 106 / 235
9 Kpitel 9 Integrlrechnung Kpitel 9 Integrlrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 107 / 235
10 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.1 (Stmmfunktion) Es seien f,f : I! Funktionen. F heißt Stmmfunktion von f uf I, wennf uf I di erenzierbr ist und F 0 (x) =f(x) für lle x 2 I. Wenn wir für f eine Stmmfunktion suchen, so sgen wir uch: wir integrieren f. Wenn wir eine Stmmfunktion gefunden hben, so nennen wir f integrierbr. Stz Ist F eine Stmmfunktion zu f, soistuchg = F + c mit einer Konstnten c 2 eine Stmmfunktion von f. 2 Alle Stmmfunktionen zu f sind von dieser Form. Sind lso G und F zwei Stmmfunktionen, so gibt es eine Konstnte c 2 mit G(x) =F (x)+c. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 108 / 235
11 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.3 (unbestimmtes Integrl) Die Menge ller Stmmfunktionen von f heißt unbestimmtes Integrl von f und wird mit f(x) dx bezeichnet. Ist F eine Stmmfunktion zu f so schreiben wir uch f(x) dx = F (x)+c. Stz 9.4 (erste Eigenschften: Linerität) 1. f(x)+g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx. 2. c f(x) dx = c f(x) dx für c 2. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 109 / 235
12 Kpitel 9 Integrlrechnung Nun folgen zwei wichtige Eigenschften des Integrls, die sich uf Produkte und Verkettungen von Funktionen beziehen. Sie folgen direkt us den Rechenregeln für ds Di erenzieren (Stz 7.7). Stz 9.5 (Prtielle Integrtion) f(x) g 0 (x) dx = f(x) g(x) f 0 (x) g(x) dx. Stz 9.6 (Substitution) Ist F eine Stmmfunktion zu f und ist g di erenzierbr, so gilt f g(x) g 0 (x) dx = F g(x) + c. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 110 / 235
13 Kpitel 9 Integrlrechnung Folgerungen 9.7 Es sei F eine Stmmfunktion zu f. Dnnist 1. f(x + ) dx = F (x + )+c 2. f( x) dx = 1 F ( x)+c 3. g(x) g 0 (x) dx = 1 2 g(x) 2 + c 4. x f x 2 dx = 1 2 F x2 + c Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 111 / 235
14 Kpitel 9 Integrlrechnung Beispiele Wir bekommen grundlegende Beispiele für Stmmfunktionen, wenn wir die Tbellen zu Beispiel 7.2 von rechts nch links lesen. 2. Insbesondere können wir lle Polynome integrieren und bekommen für nx p(x) = k x k k=0 n+1 X p(x) dx = c + k=1 k 1 k xk Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 112 / 235
15 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.9 (bestimmtes Integrl) Es sei f :[, b]! eine Funktion. Dnn ht der Wert F (b) F () für jede Stmmfunktion F von f den gleichen Wert. Dieser Wert heißt bestimmtes Integrl von f in den Grenzen und b und wird mit b f(x) dx = F (x) b := F (b) F (). bezeichnet. f heißt Integrnd und bzw. b untere bzw. obere Integrtionsgrenze sowie [, b] ds Integrtionsintervll. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 113 / 235
16 Kpitel 9 Integrlrechnung Stz 9.10 (Eigenschften des bestimmten Integrls) b b f(x) dx =0 f(x) dx = c und b f(x) dx + f(x) dx = b f 0 (x) g(x) dx = f(x) g(x) b c f(x) dx. b b f(x) dx. f(x) g 0 (x). 4 Ist F eine Stmmfunktion zu f und ist g di erenzierbr, so gilt b g(b) f g(x) g 0 (x) dx = f(t) dt = F (t) g(b). g() g() 5 Ist g di erenzierbr und bijektiv, so gilt b f(x) dx = g g 1 (b) 6 Ist f(x) pple g(x) so ist 1 () b f g(t) g 0 (t) dt. f(x) dx pple b g(x) dx. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 235
17 Kpitel 9 Integrlrechnung y y = f(x) A f (, b) b x Folgerung 9.12 (Integrl und Flächeninhlt) Ds Integrl R b f(x) dx lässt sich ls der (orientierte) Inhlt der Fläche unter dem Grphen der Funktion f im Intervll [, b] deuten. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 115 / 235
18 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition/Stz 9.13 (geometrischer Flächeninhlt) Es sei f integrierbr. Der geometrische Flächeninhlt A f (, b) von f uf dem Intervll [, b] ist definiert ls Inhlt der Fläche, die der Grph von f mit der x-achse einschließt. Dieser lässt sich gemäß A f (, b) = Beispiel 9.14: b f(x) dx berechnen. 1. Für f(x) =x 3 ist F (x) = 1 4 x4 eine Stmmfunktion. Dmit gilt lso 1 1 f(x) dx = F (x) 1 1 =0,ber A f ( 1, 1) = 1 1 f(x) dx =2 1 0 f(x) dx = F (x) 1 0 = 1 2. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 116 / 235
19 Kpitel 9 Integrlrechnung Beispiel 9.14 [cont.]: 2. Wir betrchten f :[ 1, 1]! mit f(x) = p 1 x 2. Diese Funktion 1 p ist positiv, und deshlb gilt A f ( 1, 1) = 1 x 2 dx. Eine Stmmfunktion von f ist durch F (x) = 1 2 xp 1 gegeben, lso folgt A f ( 1, 1) = F (x) 1 1 = 2. 1 x 2 + rcsin x Dss F wirklich eine Stmmfunktion zu f ist, zeigt mn, indem mn F 0 = f nchweist oder indem mn Stz 9.5 geschickt usnutzt. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 117 / 235
20 Kpitel 9 Integrlrechnung Wir hben schon gesehen, dss Integrtion in einem gewissen Sinne die Umkehrung der Di erentition ist. um Abschluß dieses Kpitels zitieren wir noch den Stz, der diesen Schverhlt mthemtisch formuliert. Dieser heißt Stz 9.15 Huptstz der Di erentil- und Integrlrechnung Jede uf einem Intervll [, b] stetige Funktion f besitzt eine Stmmfunktion F. Genuer gilt: Definiert mn für x 2 [, b] F (x) := x f(t) dt so ist diese Funktion uf [, b] stetig, uf ], b[ stetig di erenzierbr und es gilt F 0 (x) =f(x). Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 118 / 235
21 Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 119 / 235
22 Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Wir können lut Huptstz der Di erentil- und Integrlrechnung lle stetigen Funktionen integrieren. Die Funktion f(x) = 1 x tuchte llerdings in unseren Beispielen zur Di erentition nie ls Ergebnis uf (vgl. Tbellen us Beispiel 7.2). Ihre Stmmfunktion kennen wir lso bisher nicht und wir definieren deshlb wie folgt: Definition 10.1 (Logrithmusfunktion) Die Logrithmusfunktion (oder der Logrithmus) ln : +! ist definiert über eine Stmmfunktion der uf + stetigen Funktion x 7! 1 x.genuer: ln x := x 1 1 t dt. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 120 / 235
23 Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Stz 10.2 (Eigenschften des Logrithmus) 1. ln 0 (x) = 1 x. 2. ln 1 = ln 1 = ln x. x 4. ln(x y) =lnx +lny. 5. ln ist streng monoton steigend. 6. lim ln x = 1 und lim ln x = 1 x!1 x!0+ D der Logrithmus ln streng monoton ist, existiert seine Umkehrfunktion. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 121 / 235
24 Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Defnition 10.3 (Exponentilfunktion) Die Exponentilfunktion exp :! + ist die Umkehrfunktion des Logrithmus ln : +!. Die hl e := exp(1) = ln 1 (1) 2, heißt Eulersche hl. Stz 10.4 (Eigenschften der Exponentilfunktion) 1. exp ist streng monoton wchsend. 2. exp(ln x) =ln(expx) =x. 3. exp(0) = 1 und exp(x) > lim exp(x) =1 und lim exp(x) =0 x!1 x! 1 5. exp(x) exp(y) =exp(x + y), insbesondere gilt für n 2 dmit exp(n x) = exp(x) n. 6. exp 0 (x) =exp(x). Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 122 / 235
25 Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Bemerkung 10.5 Aus Stz 10.4 Punkt 5. folgt exp(q) =e q für lle q 2. Deshlb schreiben wir exp(x) =e x sogr für x 2. Sinn bekommt die Schreibweise us der vorigen Bemerkung durch Definition 10.6 (llgemeine Potenz) Für, b 2 mit >0 definieren wir die llgemeine Potenz b durch b := exp(b ln ). Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 123 / 235
26 Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Mit Hilfe des Logrithmus können wir unsere Integrlregeln weiter ergänzen: Stz dx =ln x + c. x f 0 (x) 2 dx =ln f(x) + c. f(x) Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 124 / 235
Kapitel 9 Integralrechnung
Kpitel 9 Integrlrechnung Kpitel 9 Integrlrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 18 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.1 (Stmmfunktion) Es seien f, F : I R Funktionen. F heißt Stmmfunktion
Mathematischer Vorkurs NAT-ING1
Mthemtischer Vorkurs NAT-ING1 (02.09. 20.09.2013) Dr. Robert Strehl WS 2013-2014 Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 20 Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 2 / 20 Definition 9.1 (Stmmfunktion)
Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:
1 Differenzen- und Differentialquotient 2. 2 Differentiationsregeln 5. 3 Ableitung spezieller Funktionen 6. 4 Unbestimmtes und bestimmtes Integral 7
Universität Bsel Wirtschftswissenschftliches Zentrum Abteilung Quntittive Methoden Mthemtischer Vorkurs Dr. Thoms Zehrt Differentil- und Integrlrechnung Inhltsverzeichnis 1 Differenzen- und Differentilquotient
Infinitesimalrechnung
Vorlesung 17 Infinitesimlrechnung 17.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 17.1.1. Eine differenzierbre Funktion F : I R heißt Stmmfunktion
Kapitel 7. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
Kpitel 7. Integrlrechnung für Funktionen einer Vriblen In diesem Kpitel sei stets D R, und I R ein Intervll. 7. Ds unbestimmte Integrl (Stmmfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbre
SBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c.
SBP Mthe Grundkurs 2 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert
9 Integralrechnung. 9.1 Das Riemann-Integral: Sei [a, b] ein beschränktes abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] R eine beschränkte Funktion.
![9 Integralrechnung. 9.1 Das Riemann-Integral: Sei [a, b] ein beschränktes abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] R eine beschränkte Funktion.](/thumbs/88/116973351.jpg "9 Integralrechnung. 9.1 Das Riemann-Integral: Sei [a, b] ein beschränktes abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] R eine beschränkte Funktion.")
9 ntegrlrechnung 9. Ds Riemnn-ntegrl: Sei [, b] ein beschränktes bgeschlossenes ntervll und f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Problem: Bestimme Flächeninhlt A zwischen Grphen von f und x-achse. Betrchte
Infinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen
Vorlesung 16 Infinitesimlrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen 16.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 16.1.1. Eine
Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
![Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.](/thumbs/74/70413961.jpg "Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.")
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
Kapitel 9. Integration. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 9 Integration 1 / 36
Kpitel 9 Integrtion Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 207/8 9 Integrtion / 36 Stmmfunktion Eine Funktion F(x) heißt Stmmfunktion einer Funktion f (x), flls F (x) = f (x) Berechnung: Vermuten
11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
komplizierteren Funktionen versucht man, die Fläche durch mehrere Rechtecke anzunähern.
Mthemtik für Nturwissenschftler I 4. 4 Integrlrechnung 4. Integrierbrkeit Die Grundidee der Integrlrechnung ist die Berechnung der Fläche zwischen dem Grphen einer Funktion und der x-achse. Recht einfch
4.4 Partielle Integration
Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.4 4.4 Prtielle Integrtion Zwei Integrtionsregeln kennen wir bereits: Stz 4.. und Stz 4..8. Stz 4.. sgt, dss mit zwei Funktionen uch deren Summe oder Differenz integrierbr
Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35
Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion
Münchner Volkshochschule. Themen
Themen Logik und Mengenlehre Zhlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen
6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral
6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Flächenberechnung: Problemstellung und Lösungsidee Sei f : [, b] [0, ) eine
Integralrechnung. Fakultät Grundlagen
Integrlrechnung Fkultät Grundlgen März 2016 Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Bestimmtes Integrl I n Teilintervlle: x 0 = < x 1 < x 2
12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL
98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Krlsruher Institut für Technologie Institut für Anlysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Mth. Sebstin Schwrz Höhere Mthemtik für die Fchrichtung Physik Lösungsvorschläge zum. Übungsbltt Aufgbe 6 (Übung) )
Integration von Regelfunktionen
Integrtion von Regelfunktionen Inhltsverzeichnis Einleitung 2 Treppen- und Regelfunktionen 3 Denition des Integrls 4 Rechen mit Integrlen 2 4. Grundlegende Eigenschften.............................................
Stammfunktionen, Hauptsätze, unbestimmtes Integral
Stmmfunktionen, Huptsätze, unbestimmtes Integrl Sei I ein Intervll, f beschränkt uf I und R-integrierbr für jedes [, b] I, und I. Dnn heißt die Funktion F mit D(F ) = I und F () = f(t)dt Integrl von f
Kapitel 9. Integration. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 9 Integration 1 / 36. F (x) = f (x) Vermuten und Verifizieren.
Kpitel 9 Integrtion Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion / 36 Stmmfunktion Eine Funktion F() heißt Stmmfunktion einer Funktion f (), flls F () = f () Berechnung: Vermuten und Verifizieren
3 Uneigentliche Integrale
Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,
, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung
. INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich
Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)
1 Vorlesung Mthemtik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kpitel 6: Integrlrechnung R R Volker Kibel Otto-von-Guericke Universität Mgdeburg (Version vom 21. Dezember 2007) Stetige oder monotone Funktionen
Prof. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG
Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Teil : Fortsetzung des Studiums von Funktionen in einer reellen Vriblen (Integrtion und Tylorreihen). Huptstz der Integrl und Differentilrechnung
Uneigentliche Riemann-Integrale
Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 9
D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 26 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie 9. MC-Aufgben (Online-Abgbe). Es sei f die Funktion f() = e + 7. Welche der folgenden Funktionen sind Stmmfunktionen von f? () g() = 2 2
Integration. Kapitel 8: Integration Informationen zur Vorlesung: wengenroth/ J. Wengenroth () 17.
Integrtion Kpitel 8: Integrtion Informtionen zur Vorlesung: http://www.mthemtik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juli 2009 1 / 22 8.1 Motivtion Kpitel 8: Integrtion 8.1 Motivtion Ist die
nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei
![nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei](/thumbs/64/52033315.jpg "nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei")
Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0
kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k
Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1
12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL
98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
Crashkurs - Integration
Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).
Unbestimmtes Integral, Mittelwertsätze
Unbestimmtes Integrl, Mittelwertsätze Ist f R-integrierbr, dnn knn f(x)dx einfch bestimmt werden, wenn eine Stmmfunktion F (x) von f existiert und beknnt ist. Wir wissen, dss dnn uch F (x) = F (x) + C
Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)
Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe
Formelsammlung für die Klausur: Mathematik für Chemiker I
Universität-Duisburg-Essen / Cmpus Essen 15. 1. 2004 FB 6 - Mthemtik Prof. Dr. D. Lutz / Dr. G. Wolf Formelsmmlung für die Klusur: Mthemtik für Chemiker I Binomilkoezienten, binomische Formel: n! = 1 2
1. Die reellen Zahlen
. Die reellen Zhlen Definition. (Verkettung). Die Verkettung oder Komposition der Abbildungen f : P N und g : M P ist die Abbildung f g : M N, x f(g(x)). Flls Definitionsbereich und Wertebereich gleich
Mathematik Rechenfertigkeiten
2 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dominik Tsndy) 9.August 2 Inhltsverzeichnis
Mathematischer Vorkurs NAT-ING II
Mathematischer Vorkurs NAT-ING II (02.09.2013 20.09.2013) Dr. Jörg Horst WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 252 Kapitel 7 Differenzierbarkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite
Übung Analysis in einer Variable für LAK, SS 2010
Übung Anlysis in einer Vrible für LAK, SS Christoph B ) Es sei I R ein offenes Intervll, ξ I und f,...,f n : I R seien lle in ξ differenzierbr. Beweisen Sie: Dnn ist uch f f n : I R in ξ differenzierbr
Differenzial- und Integralrechnung III
Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in
Kapitel 1. Das Riemann-Integral. 1.1 *Motivation
Kpitel Ds Riemnn-Integrl. *Motivtion Wir betrchten eine stetige Funktion f : [, b] R, wobei, b R und < b. Frge: Wie groß ist der Flächeninhlt zwischen dem Abschnitt [, b] uf der x-achse und dem Grph von
f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1
Integrlrechnung Definition des bestimmten Integrls Die Integrtion ist die Umkehropertion zur Differentition. Grundufgbe der Integrlrechnung ist die Bestimmung von Flächen. Will mn beispielsweise den Inhlt
$Id: integral.tex,v /05/09 11:21:33 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/11 13:45:45 hk Exp $
$Id: integrl.te,v.62 28/5/9 :2:33 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v.22 28/5/ 3:45:45 hk Ep $ 2 Integrlrechnung 2.4 Integrtion rtionler Funktionen In der letzten Sitzung hben wir die Integrtion rtionler Funktionen
HM I Tutorium 14. Lucas Kunz. 9. Februar 2018
HM I Tutorium 14 Lucs Kunz 9. Februr 218 Inhltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Uneigentliche Integrle............................. 2 1.1.1 Typ 1.................................. 2 1.1.2 Typ 2..................................
VI. Das Riemann-Stieltjes Integral.
VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere
10 Das Riemannsche Integral
10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t
für beliebige Mengen A, B, C
1.1 Mengenlehre A A A B B A A B B C A C für elieige Mengen A, B, C (Reflexivität) (Symmetrie) (Trnsitivität) (1) (2) (3) A B = B A A B = B A (Kommuttivgesetze) (4) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (Assozitivgesetze)
1 Folgen. 1. Februar 2016 ID 03/455. a) Folgende Folge ist gegeben: a n+1 = 7a n 12a n 1, a 0 = 1, a 1 = 0 (1) Charakteristisches Polynom:
Tutorium Ynnick Schrör Lösung zur Bonusklusur vom WS 1/13 Ynnick.Schroer@rub.de 1. Februr 016 ID 03/455 1 Folgen ) Folgende Folge ist gegeben: n+1 7 n 1 n 1, 0 1, 1 0 (1) Chrkteristisches Polynom: q 7q
Ferienkurs Analysis 1
Skript Ferienkurs Anlysis 1 Fbin Hfner und Thoms Blduf TUM Wintersemester 2014/15 18.03.2015 Ds Skript wurde teilweise übernommen vom Skript des Ferienkurses WS 2014, verfsst von Andres Wörfel. Inhltsverzeichnis
Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
Kapitel 13. Taylorentwicklung Motivation
Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von
Kapitel 4 Differential- und Integralrechnung
36 Kpitel 4 Differentil- und Integrlrechnung Kpitel 4 Differentil- und Integrlrechnung Die Ableitung Inhlt: Differenzierbrkeit von sklren und vektorwertigen Funktionen, Differenzenquotient und Differenzierbrkeitskriterium,
Inhaltsverzeichnis Integralrechnung f
Inhltsverzeichnis 4 Integrlrechnung für f : D(f R R 4. Bestimmtes und unbestimmtes Integrl........ 4.. Ds bestimmte Integrl............. 4..2 Ds unbestimmte Integrl, Stmmfunktion.. 3 4.2 Integrtionsregeln....................
Buch Kap Stetigkeit und Integrierbarkeit
12/94 Buch Kp. 2.13 Stetigkeit und Integrierbrkeit Stz 2.34: (Stetigkeit = Integrierbrkeit) Eine uf [, b] stetige Funktion ist integrierbr. Ds gilt uch für stückweise stetige Funktionen, die uf [, b] mit
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mthemtik für Wirtschftsinformtik Wintersemester 202/3 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Existenz von bestimmten Integrlen Mthemtik 2 Stefn Etschberger Gegeben: Reelle Funktion f : [, b] R. Dnn gilt:
Uneigentliche Integrale & mehrdim. Differenzialrechnung
Mthemtik I für Biologen, Geowissenschftler und Geoökologen Uneigentliche Integrle & mehrdimensionle Differenzilrechnung 25. Jnur 2010 Uneigentliche Integrle Unendlich Integrnd divergiert Grenze Prtielle
9.6 Parameterabhängige Integrale
Kpitel 9: Integrtion 9.6 Prmeterbhängige Integrle Beispiel: Die Gmm-Funktion Γ(x) := f(x, t)dt = e t t x 1 dt. Zunächst: Prmeterbhängige eigentliche Integrle. Sei f : I [, b] R, I R, so dss f für festes
Analysis 3 Zweite Scheinklausur Ws 2018/
Anlysis 3 weite Scheinklusur Ws 8/9..9 Es gibt 8 Aufgben. Die jeweilige Punktzhl steht m linken Rnd. Die Mximlpunktzhl ist 7. um Bestehen der Klusur sind Punkte hinreichend. Die Berbeitungszeit beträgt
1 Differentialrechnung
1 Differentilrechnung 1.1 Ableitungen und Ableitungsregeln Nützliche Ableitungen 1. ( ) 1 = 1 x x 2 = x 2 2. Trigonometrische Funktionen: ( x) = 1 2 x [sin(x)] = cos(x) [cos(x)] = sin(x) 3. f(x) = e x
Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2
Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes
Flächeninhalt unter dem Graphen. Ist nun die Kraft nicht mehr stückweise konstant, so wird man intuitiv immer noch den
19 REGELFUNKTIONEN 107 Kpitel 7: Integrtion Notwendigkeit des Integrlbegriffes und Hinweise zu seiner Präzisierung liegen uf der Hnd. Betrchten wir etw den physiklischen Begriff der Arbeit, die im einfchsten
Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 33 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
(1 ξ) f (k) (ξ) + k! z x n+1. (n + 1)! 2 f (n + 1)!
0.. Lösung der Aufgbe. Wir schreiben f = sup{ f : [0, ]}. Für ξ ]0, [ und n N gibt es nch dem Stz von Tlor ein c ]ξ, [ so, dss: f = fξ + n ξ k f k ξ + k! k= Aus der Ttsche, dss f k 0 für lle k N ist, folgt
Zusatzunterlagen zur Vorlesung Analysis II Sommersemester 2014
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier M. Sc. Sebstin Lngendörfer e Integrlrechnung Zustzunterlgen zur Vorlesung Anlysis II Sommersemester 2014 Dieses Bltt enthält
3 Differential- und Integralrechnung
3 Differentil- und Integrlrechnung 3. Differenzierbre Funktionen Gegeben sei eine beliebige Funktion f : I = [, b] R und ein fester Punkt x 0 I. Außerdem sei h R so klein, dss uch noch x 0 + h in I liegt.
Mathematik Rechenfertigkeiten
26 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dr. Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Skript: Dr. Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dr. Dominik Tsndy) 9. August
π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x
Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei
Hier ist noch ein Beispiel, bei dem sowohl die Substitutionsregel als auch die partielle Integration zur Anwendung kommt.
64 Kpitel. Integrlrechnung Hier ist noch ein Beispiel, bei dem sowohl die Substitutionsregel ls uch die prtielle Integrtion zur Anwendung kommt..4.6 Beispiel Um eine Stmmfunktion für rctn zu finden, beginnen
4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis
4.5 Integrlrechnung II Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 22.02.2010 Theorie und Übungen 2 Wir hben im ersten Skript beobchtet, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen der Formel für die Fläche A 0b und der
21. Das bestimmte Integral
1. Ds bestimmte Integrl Wir betrchten eine Kurve y = f(x) mit f(x) 0 uf dem Intervll [, b]. Obwohl der Flächeninhlt eines Rechteces (und in weiterer Folge eines Dreieces und nderer elementrer geometrischer
$Id: integral.tex,v /05/15 15:03:49 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/16 13:37:14 hk Exp $
$Id: integrl.te,v.3 24/5/5 5:3:49 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v. 24/5/6 3:37:4 hk Ep $ 2 Integrlrechnung 2.5 Ergänzungen Wir sind jetzt m Ende des Kpitels über ds Riemn-Integrl im eigentlichen Sinne ngelngt,
MC-Serie 12 - Integrationstechniken
Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz
GRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mthemtik und Nturwissenschften Fchrichtung Mthemtik, Institut für Numerische Mthemtik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 5. Integrlrechnung Prof. Dr. Gunr Mtthies Wintersemester 2015/16 G. Mtthies Grundlgen Mthemtik
KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH. Kapitel 18. x>a. x<y
KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH 1. VORLESUNG VOM 08.01.2018 Kpitel 18 Definition 1 (Zerlegungen, Treppenfunktionen, Regelfunktionen) Sei < b. 1. Eine Zerlegung τ von [, b] besteht us einer Zhl N N und (N + 1)
Exponential- und Logarithmusfunktion
Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/..003.0.5 Eponentil- und Logrithmusfunktion Definition.0.0: Sei +, dnn ist die llgemeine Form einer Eponentilfunktion f: + gegeben durch die Funktionsgleichung
$Id: integral.tex,v /05/15 13:14:04 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/15 13:21:33 hk Exp $
Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 $Id: integrl.te,v 1.1 9/5/15 13:14:4 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v 1. 9/5/15 13:1:33 hk Ep $ Integrlrechnung.5 Sonstige Integrtionstechniken Wir kommen nun
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Prähofer Aufgben TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik Mthemtik für Physiker 3 Anlysis ) Sommersemester Probeklusur Lösung) http://www-m5.m.tum.de/allgemeines/ma93 S
Abiturvorbereitung Mathematik Analysis. Copyright 2013 Ralph Werner
Aiturvorereitung Mthemtik Anlysis Copyright 2013 Rlph Werner 1 Aleitung einer Funktion Geometrische Entsprechung: Aleitung Die Aleitung einer Funktion f (2) = 4 y = 4 x - 4 n der Stelle x 0 f (x 0 ) git
9.4 Integration rationaler Funktionen
9.4 Integrtion rtionler Funktionen Ziel: Integrtion rtionler Funktionen R(x) = p(x) q(x) wobei p(x) = n k x k, q(x) = k=0 m b k x k. k=0 Methode: Prtilbruch-Zerlegung von rtionler Funktion R(x). Anstz:
Integrieren. Regeln. Einige Integrale die man auswendig kennen sollte. Partielle Integration
Integrieren Regeln (f() + g())d = f()d + g()d c f()d = c f()d b f()d = f()d b Einige Integrle die mn uswendig kennen sollte s d = s + s+ + C (für s ) d = ln + C cos d = sin + C sin d = cos + C sinh d =
4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis
4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 10.03.2010 Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche
Doppel- und Dreifachintegrale
Doppel- und Dreifchintegrle Sei [, b] ein Intervll des R 2 oder R 3 (lso ein Rechteck bzw. ein Quder), i.e. [, b] = [, b ] [ 2, b 2 ] oder [, b] = [, b ] [ 2, b 2 ] [ 3, b 3 ]. Für Intervlle des R 2 bzw.
(21) Berechnen Sie die uneigentlichen Rieman-Integrale. ln t dt = t ln t t. = x 1 x ln x. ln t dt = 1. ) xe. ( x 2 x) x + 1 (x + 1)
Mthemtik für die Physik II, Sommersemester 28 Lösungen zu Serie 5 2) Berechnen Sie die uneigentlichen Riemn-Integrle ln d und d +. Für jedes < < gilt ln t dt = t ln t t = ln und nch I. 2.Lemm 4 und I..Stz
16. Integration über Flächen. Der Gaußsche Integralsatz
41 16. Integrtion über Flächen. Der Gußsche Integrlstz Der Gußsche Stz in der Ebene. 16.1. Orientierter Rnd von Normlbereichen. Es sei [, b] ein Intervll, und f 1 und f 2 seien stückweise stetig di erenzierbre
Mathematik II. Vorlesung 41. Satz Es sei f :[a,b] R n, t f(t), eine differenzierbare Kurve. Dann gibt es ein c [a,b] mit
![Mathematik II. Vorlesung 41. Satz Es sei f :[a,b] R n, t f(t), eine differenzierbare Kurve. Dann gibt es ein c [a,b] mit](/thumbs/80/82115779.jpg "Mathematik II. Vorlesung 41. Satz Es sei f :[a,b] R n, t f(t), eine differenzierbare Kurve. Dann gibt es ein c [a,b] mit")
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 41 Die Mittelwertbschätzung für differenzierbre Kurven Stz 41.1. Es sei f :[,b] R n, t f(t), eine differenzierbre Kurve. Dnn gibt es ein c [,b]
Mathematik LK 12 M1, 1. Kursarbeit Integration Lösung f (x)dx=lim S n. a I. Dann heißt. a, x I. Dann gilt:
Mthemtik LK M,. Kursrbeit Integrtion Lösung..3 Aufgbe :. Erkläre mit Hilfe der Definition des Integrls den Unterschied zwischen dem Integrl einer Funktion und dem Flächeninhlt der Fläche zwischen dem Grphen
Fur das unbestimmte Integral gilt. f(x) dx + b
. Integrtionsregeln.. Linerität. Fur ds unbestimmte Integrl gilt (f(x) bg(x)) = f(x) b g(x),, b R... Prtielle Integrtion. Fur je zwei uf einem Intervll I = (, b) stetig differenzierbre Funktionen u und
Mathematischer Vorkurs
Mathematischer Vorkurs Dr. Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 170 Logarithmus- und Exponentialfunktion Kapitel 9 Logarithmus- und Exponentialfunktion Mathematischer Vorkurs TU Dortmund
Analysis I. 1 Mengen und Abbildungen
Anlysis I Ds Skript orientiert sich im wesentlichen nch den Skripten der Professoren Rüdiger Brun und Wilhelm Singhof. Die Beweise werden in den Vorlesungen, ber nicht in dem Skript gegeben. Mengen und
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 10. dt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? t3 + 2
D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 7 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie.. Sei f(x) : () f() . x (c) f( ) . Die Funktion g : t t + ist, dss ds Integrl b dt. Welche der folgenden Aussgen
Übung 7: Lösungen. Technische Universität München SS 2004 Zentrum Mathematik Prof. Dr. K. Buchner. Aufgabe T 19 (Ober- und Untersummen)
Technische Universität München SS Zentrum Mthemtik 7.6. Prof. Dr. K. Buchner Dr. W. Aschbcher Anlysis II Aufgbe T 9 Ober- und Untersummen Übung 7: Lösungen : Nch Vorussetzung ist f R-integrierbr, d.h.
Integralrechnung. Andreas Rottmann. 15. Oktober 2003
Integrlrechnung Andres Rottmnn 15. Oktober 2003 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 1.1 Integrtion ls Umkehrung des Differenzierens........... 2 1.2 Integrtionsregeln...........................
6.4 Uneigentliche Integrale
6.4 Uneigentliche Integrle 3 Beispiele : d + + d ( + ) t + d t t d t ( t + t + t ) + t + t t ln ( + t) + c + ln ( + + ) + c + t rctn + c 6.4 Uneigentliche Integrle bisher : beschränkte Funktionen uf endlichen