2 Signalabtastung und Rekonstruktion

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1 Signalabtastung und Rekonstruktion Signalabtastung und Rekonstruktion In vielen praktischen Anwendungen werden analoge Signale mit digitalen Systemen wie z.b. Computern oder Mikro-Controllern erfasst und digital verarbeitet. Gründe für die digitale Realisierung von Systemen sind die kostengünstige Realisierung, die sich aus der Verwendung hochintegrierter Schaltungen ergibt, und die Anwendung von Algorithmen, die analog wenn überhaupt nur sehr aufwändig umgesetzt werden können. Um die digitale Signalverarbeitung zu ermöglichen, müssen die analogen, zeit- und wertkontinuierlichen Signale so gewandelt werden, dass sie abgespeichert und weiter verarbeitet werden können. Diese Wandlung wird Digitalisierung genannt. Dazu muss das Signal einerseits zeitlich quantisiert werden, da nur endlich viele Werte verarbeitet werden können. Zu diskreten Zeitpunkten wird der aktuelle Wert des Signals erfasst oder abgetastet. Die Abstände zwischen den Zeitpunkten, zu denen die Werte erfasst werden sind üblicherweise äquidistant, also immer gleich groß. Die erfassten Werte werden Abtastwerte genannt. Andererseits muss die Amplitude des Signals erfasst, was nur in einem begrenzten Bereich und mit einer definierten Auflösung oder Quantisierung möglich ist. Nach einer kurzen Darstellung zum Umgang mit Quantisierungsfehlern bei der Amplitude wird in diesem Kapitel die Zeitquantisierung betrachtet, da eine falsche Zeitdiskretisierung fatale Auswirkungen auf die folgende Signalverarbeitung hat. Zunächst wird allgemein erklärt, wie die ideale Abtastung von Signalen mathematisch beschrieben werden kann. Hierbei wird deutlich, warum das Spektrum eines abgetasteten Signals immer periodisch ist. Anhand der Periodizität des Spektrums wird das Abtasttheorem von Shannon verdeutlicht. Es besagt, dass die Abtastfrequenz immer mindestens doppelt so groß sein muss, wie die größten Frequenzanteile im Signal. Mit dem Anti-Aliasing-iefpass wird eine Methode vorgestellt, wie Signale, die einen unendlich großen Frequenzbereich besitzen, manipuliert werden können, um trotzdem das Shannon-heorem zu erfüllen. Da die ideale Abtastung von Signalen nur in der heorie existiert und in der Praxis so nicht direkt angewandt werden kann, wird desweiteren die reale Abtastung mathematisch beschrieben und die dadurch entstehenden Signalverzerrungen erläutert. Auch hier gibt es die Möglichkeit, die Effekte durch die geschickte Anwendung von Filtern zu kompensieren. Zuletzt wird gezeigt, wie digitale Signale wieder analog rekonstruiert werden können und wie allgemein der Ablauf der digitalen Signalverarbeitung aussieht. Leitfragen Wie kann mit dem Fehler umgegangen werden, der bei der Amplitudenquantisierung entsteht? Wie funktioniert die ideale Abtastung eines analogen Signals? Warum ist das Spektrum eines abgetasteten Signals immer periodisch? Was ist Aliasing und wie kann es vermieden werden? Worin unterscheiden sich ideale und reale Abtastung? Wie kann ein digitales Signal rekonstruiert werden?

2 Signalabtastung und Rekonstruktion. Quantisierungsfehler der Amplitude Bei der Digitalisierung von Signalen muss die Amplitude einer festen Quantisierungsstufe zugeordnet werden. Entscheidend für die Quantisierung des Signals ist die Auflösung des Analog-Digital- Wandlers (AD-Wandlers), die üblicherweise in bit angegeben wird. Beispielsweise wird mit einem - bit AD-Wandler ein definierter Messbereich in = 496 Intervalle eingeteilt. In der Praxis wird die Quantisierung der Amplitude gerne vernachlässigt, weil die entstehenden Fehler wegen der hohen Auflösung von Analog-Digital-Wandlern sehr klein ist. Stattdessen wird die Abweichung zwischen dem wertdiskreten und wertkontinuierlichen Signal als Quantisierungsfehler modelliert. Bild. verdeutlicht den Quantisierungsfehler an zwei Beispielen. Signal x(t) Quantisierung LSB = Signale 5 Quantisierungsfehler -4-4 Zeit t Zeit t Signal x(t) Quantisierung LSB =.5 Signale 5 Quantisierungsfehler -4-4 Zeit t Zeit t Bild.: Darstellung des Quantisierungsfehlers, Quantisierungsrauschens Der Quantisierungsfehler ergibt sich aus der Differenz zwischen dem wertkontinuierlichen und dem wertdiskreten Signal. Je feiner die Auflösung des AD-Wandlers ist, desto geringer ist der Abstand zwischen dem kontinuierlichen und dem quantisierten Signal. Da die Abweichung einen zufälligen Verlauf zu haben scheint, wird dieser Fehler als Quantisierungsrauschen bezeichnet und als zufälliger Fehler oder zufälliges Störsignal behandelt. Der Umgang mit zufälligen Signalen ist Gegenstand des dritten eils dieser Skriptreihe.

3 Signalabtastung und Rekonstruktion 3. Vorüberlegungen zur zeitlichen Diskretisierung Die grundlegende Frage bei der zeitlichen Abtastung von Signalen ist, in welchen Zeitabständen A bzw. mit welcher Abtastfrequenz f A ein Signal erfasst werden muss. Die Bedeutung dieser Frage wird an einem Beispiel erläutert. Beispiel Abtastwerte Bild. zeigt Abtastwerte eines Signals, das mit unterschiedlichen Abtastzeiten A abgetastet wurde. Das Signal scheint davon abzuhängen, wie es abgetastet wurde. A = Spannung u / V Zeit t / s Bild.: Darstellung der Abtastwerte eines Signals, das mit unterschiedlichen Abtastzeiten A abgetastet wurde Das zugrundeliegende Signal ist sinusförmig und wird mit der Funktion u(t) V sin( 6 t) (..) beschrieben. Der Vergleich der Abtastwerte mit dem Signal u(t) in Bild.3 zeigt, dass alle in Bild. dargestellten abgetasteten Signale falsch oder zumindest irreführend sind. Original Spannung u / V - Bild.3: Vergleich der Abtastwerte eines harmonischen Signals mit dem Originalsignal Die Abtastwerte liegen auf einer Schwingung mit wesentlich höherer Frequenz und geben nicht das eigentliche Signal wieder. Daraus kann die Schlussfolgerung gezogen werden, dass beim Abtasten Regeln eingehalten werden müssen, um das Signal richtig rekonstruieren zu können. Diese Überlegung wird zu dem Abtasttheorem führen Zeit t / s

4 4 Signalabtastung und Rekonstruktion Vor der allgemeinen Herleitung des Abtasttheorems werden die Abtastwerte eines harmonischen Signals x(t) analysiert. Das Signal ist definiert als x(t) sin(f t) (..) Das Signal wird mit einer Abtastzeit A abgetastet, so dass sich die Werte ergeben zu x n sin f n A A (..3) Aufgrund der Periodizität der Sinusfunktion in sind die Funktionswerte identisch zu den Werten x n sin f n sin f n m (..4) A A A Umformungen des Argumentes ergeben A A A A x n sin f n sin f n m sin f n m m m sin f n A sin f fa n A n A n (..5) Der Faktor m/n ist dabei ein ganzzahliger Wert. Das bedeutet, dass die Abtastwerte, die ein Signal der Frequenz f repräsentieren, genau dieselben sind, die sich beim Abtasten eines Signals der Frequenz f und ein Vielfaches der Abtastfrequenz f A ergeben. Nach der Abtastung kann also nicht zwischen Signalen der Frequenz f und f + kf A unterschieden werden. Wird z.b. ein Signal mit einer Frequenz f A von khz abgetastet, sind die Abtastwerte für ein Signal mit einer Frequenz f = khz identisch mit einem Signals der Frequenz f = khz. Bild.4 stellt die Signal und Abtastwerte für dieses Beispiel dar. f = khz Abtastwerte f = khz Abtastwerte Signal Signal Zeit t / ms Zeit t / ms Bild.4: Abtastwerte für ein harmonisches Signal mit der Frequenz f = khz und f = khz Der hier für harmonische Schwingungen dargestellte Sachverhalt gilt auch für nicht harmonische Signale, da sie sich mit der Fourier-ransformation auf harmonische Signale zurückführen lassen. Diese Effekte machen es erforderlich, den Abtastvorgang mathematisch zu beschreiben und Bedingungen an den Abtastvorgang zu definieren, unter denen ein abgetastetes Signal rekonstruiert werden kann.

5 Signalabtastung und Rekonstruktion 5.3 Ideale Abtastung Um die Abtastung eines Signals mathematisch beschreiben zu können, wird eine sogenannte Abtastfunktion a(t) definiert. Da bei der idealen Abtastung Werte des analogen Signals zu diskreten Zeitpunkten erfasst wird, bietet sich hier eine Folge von Impulsen als Abtastfunktion an. Diese Abtastfunktion a(t) ist mathematisch definiert als a(t) n (t A n) (.3.) Die Abtastfunktion wird mit dem analogen Signal x(t) multipliziert. Da die Impulsfolge nur zu den Zeitpunkten n A ungleich null ist, genügt es, die Funktion x(t) nur zu diesen Zeitpunkten zu betrachten. Es ergibt sich als Darstellung für das abgetastete Signal x A (t) x (t) x(t) a(t) x(t) (t n) x(n ) (t n) A A A A n n (.3.) Bild.5 verdeutlicht die mathematische Beschreibung der Signale grafisch. x(t) a(t) Signal x(t) 5 Signal x A (t) Zeit t / A Zeit t / A Bild.5: Darstellung der Signale im idealen Abtastprozess Wird dieser Vorgang im Frequenzbereich betrachtet, wird deutlich, dass durch das Abtasten das Spektrum des Signals periodisch wird. Im Zeitbereich wurde das Signal x(t) mit der Abtastfunktion a(t) multipliziert. Der Multiplikation im Zeitbereich entspricht eine Faltung im Frequenzbereich. Damit muss im Frequenzbereich die Fourier-ransformierte des Signals X(ω), die auch Spektrum genannt wird, mit der Fourier-ransformierten der Abtastfunktion A(ω) gefaltet werden. Hierfür wird zunächst das Spektrum der Abtastfunktion errechnet. a(t) (t n A ) n (.3.3) Die Gleichung kann als Fourier-Reihe dargestellt werden (vgl. Übungsaufgabe) und in den folgenden Ausdruck umgeformt werden tna n n A n A (.3.4) Dies bedeutet, dass die Abtastfunktion auch im Frequenzbereich einer Impulsfolge entspricht, wobei der Abstand der Impulse proportional zum Kehrwert des Abstandes der Impulse aus dem Zeitbereich entspricht. Das Spektrum des Signals wird mit X(ω) bezeichnet. Über die Faltung ergibt sich für die abgetastete Funktion x A (t) im Frequenzbereich

6 6 Signalabtastung und Rekonstruktion X A( ) X( )* ( n ) X n Xn A n A A n A A n A (.3.5) mit der Abtast-Kreisfrequenz A fa A (.3.6) Die Abtastung mit einer idealen Impulsreihe führt demnach zu einer in A periodischen Fortsetzung des Spektrums des kontinuierlichen Zeitsignals und zu einer Multiplikation mit dem Faktor / A. Bild.6 stellt die Spektren im idealen Abtastprozess dar. X()) A() Spektrum Spektrum X A () - A - G G A Kreisfrequenz - A - G G A Kreisfrequenz Bild.6: Darstellung der Spektren im idealen Abtastprozess Die periodische Wiederholung des Spektrums ist dafür verantwortlich, dass Signale mit der Frequenz f und f + kf A nicht unterschieden werden können. Die mathematische Herleitung bestätigt damit den in Bild.4 dargestellten Sachverhalt..4 Abtasttheorem nach Shannon In dem vorangegangenen Abschnitt wird gezeigt, dass das sich das Spektrum eines abgetasteten Signals periodisch mit einer Abtastfrequenz A fortsetzt. Diese periodische Wiederholung ist Grundlage für die Herleitung des Abtasttheorems nach Shannon. Gegeben sein ein bandbegrenztes Signal x(t), das abgetastet werden soll. Die Bandbegrenzung sei durch die Physik des Systems gegeben und habe die Grenzfrequenz G. Durch das Abtasten wird das Spektrum der Zeitfunktion, wie in Bild.7 dargestellt, periodisch in A wiederholt. Durch eine hier ideal angenommene iefpass-funktion kann das sogenannte Basisband, also das ursprüngliche Spektrum der Zeitfunktion, isoliert werden. Bild.7 verdeutlicht den Filterprozess.

7 Signalabtastung und Rekonstruktion 7 X A ()) G P () Spektrum Spektrum X() - A + G - G G A - G Kreisfrequenz - G G Kreisfrequenz Bild.7: Rekonstruktion des Spektrums der Zeitfunktion durch ideale iefpass-filterung, idealisierte iefpass-funktion gestrichelt dargestellt Ist die Abtastzeit A zu groß, wird A zu klein und die einzelnen Spektren der abgetasteten Funktion überlagern sich. Signalverzerrungen, die sich beim Abtasten durch Überlagerung der Spektren ergeben, werden als Aliasing bezeichnet. Damit die einzelnen Spektren voneinander getrennt bleiben, muss nach Bild.7 die Bedingung G A G (.4.) bzw. A A G (.4.) erfüllt sein. Dieses Ergebnis wird als Abtasttheorem bezeichnet. Die Abtastfrequenz muss mindestens doppelt so groß sein wie die Grenzfrequenz des abzutastenden Systems. Anders ausgedrückt muss die Periodendauer eines Abtastvorgangs muss kleiner sein als der Kehrwert der doppelten Grenzfrequenz des Systems. Bild.8 zeigt die Spektren abgetasteter Signale für genügend große Abtastfrequenz, gerade ausreichende und zu kleine Abtastfrequenz. Im ersten Fall X A () wird mit einer Abtastfrequenz gearbeitet, die deutlich größer ist als das Abtasttheorem vorschreibt. Dieser Fall wird als Oversampling bezeichnet. Durch die hohe Abtastfrequenz werden das Spektrum im Basisband und die nächst höheren Spektren deutlich voneinander getrennt, so dass mit einem iefpass-filter mit vergleichsweise flachem Übergang zwischen Sperr- und Durchlass- Bereich gearbeitet werden kann. Im zweiten Fall X A () wird das Abtasttheorem gerade eingehalten. Es zeigt sich aber, dass die Rekonstruktion nur mit einem idealen iefpass-filter erfolgen werden kann, der technisch nicht realisiert werden kann. Dieser Fall entspricht dem theoretischen Grenzfall. Im Fall einer zu kleinen Abtastfrequenz X A3 () überlagern sich die Spektren. Das Signal kann selbst mit einem idealen iefpass-filter nicht rekonstruiert werden. Es kommt zu Signalverzerrungen oder Aliasing.

8 8 Signalabtastung und Rekonstruktion Spektrum X A () - A - G G A Spektrum X A () - A - G G A Spektrum X A3 () - A - G G A Kreisfrequenz Bild.8: Spektren abgetasteter Signale für genügend großer Abtastfrequenz X A (), gerade ausreichende Abtastfrequenz X A () und für zu kleine Abtastfrequenz X A3 ().5 Bandbegrenzung des abzutastenden Signals Viele abzutastende Signale haben in praktischen Anwendungen zunächst keine harte Bandbegrenzung. Vielmehr ergibt sich ihre Bandbreite aus dem iefpassverhalten des Systems, das das Signal generiert, und dem Spektrum der überlagerten Störungen. Um den Einfluss der mangelhaften Bandbegrenzung zu reduzieren, kann ein analoger iefpass (z.b. RC-Glied) zur Filterung eingesetzt werden. Er verhindert, dass sich in dem Spektrum höhere Frequenzanteile befinden, als erwartet, und reduziert damit den Einfluss von Störungen. Das iefpass-filter wird aufgrund seiner Funktion als Anti-Aliasing- Filter bezeichnet. Die Wirkung des Anti-Aliasing-Filters wird in Bild.9 veranschaulicht. X() G P () Spektrum Spektrum X P () - G - N N G Kreisfrequenz - GP - N N GP Kreisfrequenz Bild.9: Wirkung des Anti-Aliasing-Filters auf die Bandbegrenzung des Spektrums X() des Signals x(t) Das Signal x(t) hat ein Spektrum, dessen Information im Nutzbereich - N < < N liegt. Es besitzt aber z.b. aufgrund von Störungen ein Spektrum, das den Bereich - G < < G ausfüllt. Damit existieren auch oberhalb der Grenzfrequenz G Spektralanteile. Durch den Einsatz eines iefpass-filters,

9 Signalabtastung und Rekonstruktion 9 das den Frequenzbereich < - N und den Bereich > N dämpft, ergibt sich bei dem neu entstandenen Signal ein Spektrum X P (), das im Nutzbereich dem des ursprünglichen Signals entspricht, im übrigen Bereich aber stärker gedämpft ist. Dieses Signal kann wegen der geringeren Grenzfrequenz GP < G mit einer geringeren Frequenz abgetastet werden und der Rauschanteil wird durch die Bandbegrenzung reduziert. In technischen Anwendungen wird deshalb praktisch immer ein Eingangs-iefpass eingesetzt, der das Spektrum des Eingangssignals auf die notwendige Bandbreite begrenzt. Die Anforderungen an den Filter und sein Entwurf werden im Kapitel.9 Projekt Digitaler Signalprozessor diskutiert..6 Reale Abtastung Die zuvor vorgestellte ideale Abtastfunktion ist technisch so nicht realisierbar, da praktisch keine Impulse und deshalb keine ideale Abtastfunktion a(t) erzeugt werden können. Dies liegt an der unendlich kurzen Dauer, der unendlichen Steilheit und Höhe eines Impulses. Reale bzw. technisch realisierbare Abtastsysteme brauchen eine Wandlungszeit W, um aus dem analogen Signal ein zeitdiskretes Signal zu generieren. Die Wandlungszeit ergibt sich z.b. aus einem Ladungstransport oder einem Approximationsprozess, bei dem das Signal als Mittelwert über einen Zeitraum W durch Integration bestimmt wird. Bild. stellt die Signale für eine Wandlungszeit W =.5 A dar. x(t) a R (t) Signal x(t) 5 Signal x AR (t). W Zeit t / A Bild.: Darstellung der Signale im realen Abtastprozess Die Abtastfunktion ist hier keine Impulsfolge mehr, sondern eine Folge von Rechtecken. Diese Folge von Rechtecken kann als Faltung eines Rechteckes r(t) zum Zeitpunkt null mit der Impulsfolge, also der idealen Abtastfunktion dargestellt werden. Dazu wird zunächst das bei t = liegende Rechteck als Zeitfunktion r(t) dargestellt r(t) t t W W (.6.) Durch die Faltung mit der Impulsfolge wird diese Rechteckfunktion an die Stellen der Impulse verschoben. a (t) a(t) r(t) (t n) r(t) R n A (.6.) Das abgetastete Signal ergibt sich aus dem Produkt von Zeitfunktion x(t) und der realen Abtastfunktion a R (t). Aufgrund der Linearität von Multiplikation und Faltung, kann die Reihenfolge der Operationen vertauscht werden.

10 Signalabtastung und Rekonstruktion x AR(t) x(t) a R(t) x(t) (t A n) r(t) x(t) (t A n) r(t) x A(t) r(t) n n (.6.3) Das reale abgetastete Signal kann demnach im Zeitbereich auf die Faltung des ideal abgetasteten Signals und der Rechteckfunktion r(t) zurückgeführt werden. Das bedeutet im Frequenzbereich, dass das periodische Spektrum des Signals X A () mit dem Frequenzgang R() der Rechteckfunktion multipliziert werden muss. Mit dem Spektrum des Rechtecksignals R( ) sin e W j W W (.6.4) ergibt sich das periodische Spektrum des real abgetasteten Signals X AR () zu X AR( ) X A( ) R( ) X A( ) sin e W j W W (.6.5) Dieser Vorgang wird in Bild. dargestellt. Dabei wird die Wandlungszeit W zum Einen genauso groß wie die Abtastzeit A gewählt, zum Anderen wird die Wandlungszeit W -mal kleiner gewählt als die Abtastzeit A. X( R() für W = A X A () X AR () - A - G G A - A - G G A X( R() für W = A / X A () X AR () - A - G G A Kreisfrequenz - A - G G A Kreisfrequenz Bild.: Darstellung des Spektrums eines realen Abtastprozess für unterschiedliche Wandlungszeiten Da zur Signal-Rekonstruktion nur das Spektrum im Basisband verwendet wird, ist die Auswirkung auf das rekonstruierte Signal selbst bei der maximal möglichen Wandlungszeit W = A relativ gering. Mit sinkender Wandlungszeit sinkt auch der Einfluss des Frequenzgangs R() auf das Spektrum X AR () des real abgetasteten Signals. ypischerweise ist die Wandlungszeit W deutlich kleiner als die Abtastzeit A. Dadurch reduziert sich dieser Effekt, wie aus Bild. zu entnehmen ist, weiter. In der Praxis wird dieser Effekt deshalb oft vernachlässigt.

11 Signalabtastung und Rekonstruktion.7 Reale Rekonstruktion des Signals Nach der Abtastung liegen einzelne Abtastwerte vor, die das Signal zu den entsprechenden Abtastzeiten charakterisieren. Für viele Anwendungen ist es notwendig, diese zeitdiskreten Signale wieder in zeitkontinuierliche Signale zu wandeln. Die Rekonstruktion des ursprünglichen Signals aus den Abtastwerten wird in zwei Schritten realisiert: Erzeugung eines stufenförmigen Ausgangssignals mit einem Halteglied iefpass-filterung Die beiden Schritte werden im Zeit- und Frequenzbereich beschrieben..7. Erzeugung eines stufenförmigen Ausgangssignals mit einem Halteglied Die einzelnen Abtastwerte stellen das Signal zu den entsprechenden Abtastzeiten dar. Das Halteglied H hält den aktuell gültigen Wert des digitalen Systems am Ausgang fest, bis der nächste Abtastwert zur Verfügung steht. Dadurch steht zu jedem Zeitpunkt t ein Ausgangssignal zur Verfügung und das Signal ist wieder zeitkontinuierlich. Bild. zeigt an einem Beispiel das abgetastete Signal x A (t) und das Signal x H (t) nach dem Halteglied. Signal x A (t) 5 Signal x H (t) Zeit t / A Zeit t / A Bild.: Rekonstruktion eines abgetasteten Signals mit Halteglied Im Zeitbereich kann das kontinuierliche Signal nach dem Halteglied analog zur realen Wandlung mit Rechteckfunktionen beschrieben werden. x(t) x(n) (tn) (t n) H A A A A n x(n A) (ta n) (t) (t A) n (.7.) Die Operation kann, wie obige Umformung zeigt, im Zeitbereich als Faltung aufgefasst werden. Der Faltung der Zeitfunktionen im Zeitbereich entspricht die Multiplikation der Spektren im Frequenzbereich. Das Spektrum des Signals nach dem Halteglied ergibt sich damit aus dem Produkt des Spektrums X A ()und dem Frequenzgang des Halteglieds H(). H( ) sin A e A j (.7.) Bild.3 zeigt das Spektrum des abgetasteten Signals x A (t) und des Signals x H (t) nach dem Halteglied.

12 Signalabtastung und Rekonstruktion X A () H() X H () Spektrum Spektrum - A - G G A Kreisfrequenz - A - G G A Kreisfrequenz Bild.3: Amplitudengang des abgetasteten Signals x A (t) und des Signals x H (t) nach dem Halteglied Das Spektrum des Signals nach dem Halteglied muss unterhalb G und oberhalb - G mit einem iefpass-filter gedämpft werden..7. Filterung des stufenförmigen Signals Zur Filterung des Signals nach dem Halteglied muss ein geeignetes Filter entwickelt werden. Mit der Übertragungsfunktion des Filters ergibt sich der Frequenzgang des rekonstruierten Signals x P (t)zu X ( ) X sin e G ( ) j A A P A P A (.7.5) Idealerweise würde das Filter die Abweichungen im Basisband des Nutzsignals - N < < N kompensieren und die Frequenzanteile ober- und unterhalb des Basisbandes eliminieren. X H () G P,ideal X P () Spektrum Spektrum - A - G G A Kreisfrequenz - A - G G A Kreisfrequenz Bild.4: Ideales iefpassfilter zur Rekonstruktion Dieses ideale Filter ist wegen der idealen Flankensteilheit nicht realisierbar. Deshalb wird eine Abtastrate gewählt, die deutlich höher ist als erforderlich. Dieser Vorgang wird als Oversampling bezeichnet. Durch die höhere Abtastrate werden gleich zwei Effekte erzielt: Die rennung von den periodischen Spektren ist größer. Dadurch kann die Ordnung des Filters zur Signal-Rekonstruktion reduziert werden. Mit höherer Abtastrate liegt der Nutzbereich des Signals immer mehr im flachen Bereich der Übertragungsfunktion des Halteglieds, so dass eine Kompensation des Frequenzgangs vom Halteglied nicht weiter notwendig ist. Die zum Halteglied inverse Charakteristik im Durchlassbereich kann über einen digitalen Filter erreicht werden, der als eil der digitalen Signalverarbeitung realisiert wird.

13 Signalabtastung und Rekonstruktion otzeit bei Signalabtastung Bislang wurde bei der Diskussion des Abtastvorgangs nur der Amplitudengang diskutiert. Die Übertragungsfunktionen weisen aber immer auch eine Phase auf. Die gesamte Phasenverschiebung ergibt sich bei der realen Abtastung nach den obigen Darstellungen aus den otzeiten des Wandlers und des Halteglieds. W A (.7.3) Dazu kommen die Phase des Anti-Aliasing-Filters und des iefpass-filters zur Signalrekonstruktion, so dass gegenüber dem Eingangssignal eine teilweise erhebliche Signalverzögerung entsteht. Bild.5 zeigt das analoge Signal x(t) und das durch Abtastung und Rekonstruktion erzeugte Signal x P (t) bei Verwendung eines iefpasses erster Ordnung. x(t) x P (t) Signal Zeit t / A Bild.5: Vergleich eines Zeitsignals x(t) und der realen Rekonstruktion des abgetasteten Signals mit einem iefpass erster Ordnung Diese Signalverzögerung ist insbesondere bei Regelungssystem kritisch anzusehen. Auch in dieser Beziehung ist eine hohe Abtastrate, die wegen kleiner Abtastzeit und Wandlungszeit zu einer Verringerung der otzeit führt, vorteilhaft.

14 4 Signalabtastung und Rekonstruktion.8 Digitale Signalverarbeitung Neben der Signalabtastung zur Generation von digitalen Werten und der Signalrekonstruktion wird mit den digitalen Abtastwerten eine digitale Signalverarbeitung (DSV) durchgeführt. Insgesamt ergibt sich damit folgende Signalverarbeitungskette: x(t) Eingangs-iefpass P A Analog-Digital-Wandler ADC Digitale Signalverarbeitung DSV Digital-Analog-Wandler mit Halteglied D/A Ausgangs-iefpass P x P (t) Bild.6: Blockdiagramm zur digitalen Signalverarbeitung Die digitale Signalverarbeitung ist hema der folgenden Kapitel dieses Skriptes...9 Projekt Digitaler Signalprozessor.9. Auswirkung der Wandlungszeit des Signalprozessors.9. Aliasing mit konkreten Signalen.9.3 Filterentwurf zur Signal-Rekonstruktion

15 Signalabtastung und Rekonstruktion 5. Zusammenfassung Das Abtasttheorem nach Shannon besagt, dass unter der Voraussetzung einer idealen Abtastung und einer idealen Signalrekonstruktion die Abtastung mit einer Abtastfrequenz A, die dem Doppelten der Grenzfrequenz des Systems entspricht, ausreichend ist. Diese Abtastfrequenz wird als Nyquist- Frequenz bezeichnet. Da diese idealen Bedingungen weder bei der Abtastung, noch bei der Rekonstruktion eingehalten werden können, wird typischerweise mit einer höheren Abtastfrequenz gearbeitet. Unter dieser Voraussetzung kann der nicht ideale Abtastvorgang als ideal angesehen werden. Das Spektrum des abgetasteten Signals wird durch die Abtastung periodisch in der Abtastfrequenz A wiederholt und mit dem Wert / A multipliziert. Durch die reale Abtastung werden hohe Frequenzen des Signals gedämpft. Dieser Effekt kann jedoch in den meisten Fällen vernachlässigt werden.. Literatur [Giro5] Girod, Bernd: Einführung in die Systemtheorie. 3. Auflage. B.G. eubner Stuttgart, 5 [Kien8] Kiencke, Uwe: Signale und Systeme Oldenbourg Verlag, München, 8 [Kamm98] Kammeyer Karl D.: Digitale Signalverarbeitung. B.G. eubner Stuttgart, 998 [Lyon4] Lyons, Richard G.: Understanding Digital Signal Processing Prentice Hall, New Jersey, 4 [Meye8] Meyer, Martin: Signalverarbeitung Analoge und digitale Signal, Systeme und Filter Vieweg Studium echnik, Wiesbaden, 8 [Oppe4] Oppenheim, Alan V.: Zeitdiskrete Signalverarbeitung.., überarbeitete Auflage Pearson Studium, 4 [Schei5] Scheithauer, Rainer: Signale und Systeme.. Auflage B.G. eubner Stuttgart, 5 [Stea99] Stearns, Samuel D.: Digitale Verarbeitung analoger Signale. 7. Auflage Oldenbourg Verlag München, 999 [Stoe] Stöckle, Joachim: Einführung in die digitale Signalverarbeitung. Skriptum zur Vorlesung, Hochschule Karlsruhe, [Smit99] Smith Steven W.: he Scientist and Engineer's Guide todigital Signal Processing California echnical Publishing, San Diego, 999 [Wern8] Werner, Martin: Signale und Systeme Vieweg Studium echnik, Wiesbaden, 8

16 6 Signalabtastung und Rekonstruktion. Übungsaufgaben - Signalabtastung und Rekonstruktion.. Abtasttheorem und Aliasing Die Signale x (t) und x (t) werden mit den Abtastzeiten A = /4 s und A = /5 s abgetastet. x(t) sin t s 4 x(t) cos t s a) Ist das Abtasttheorem eingehalten? Erwarten Sie Aliasing? b) Stellen Sie das ideal abgetastete Signal mathematisch dar. c) Skizzieren Sie die Spektren X A (ω) und X A (ω) der abgetasteten Signale und überprüfen Sie anhand des Spektrums ihre Antwort zu Aufgabenteil a)... Abtastzeit und Zahlenfolgen Das Signal wird mit einer Abtastperiode von A abgetastet. 4 x(t) sin t cos t s s Das Ergebnis ist ein Zahlenfolge x[n] sin n cos n 5 5 a) Für welchen Wert von A ergibt sich x[n] aus x(t)? b) Ist die Lösung für A eindeutig?..3 Abtasten von Signalen Das analoge Signal x(t) mit einer Frequenz f = khz wird mit einer Abtastfrequenz f A abgetastet. x(t) sin( f t 3 ) a) Berechnen und skizzieren Sie die ersten Abtastwerte x[k] des abgetasteten Signals für eine Abtastfrequenz f A = 5 khz. Ist das Abtasttheorem eingehalten? b) Berechnen und skizzieren Sie die ersten Abtastwerte x[k] des abgetasteten Signals für eine Abtastfrequenz f A =.5 khz. Ist das Abtasttheorem eingehalten?

17 Signalabtastung und Rekonstruktion 7..4 Spektren abgetasteter Signale Gegeben sei das Spektrum X(ω) des abzutastenden Signals x(t) Spektrum X() - G G Kreisfrequenz a) Skizzieren Sie das Spektrum des abgetasteten Signals X A (ω) für die Abtastzeiten A G A G A 3 G A 4 3 G b) In welchen Fällen tritt Aliasing auf? c) In welchem Fall wird kritisch abgetastet, das Abtasttheorem also exakt eingehalten?..5 Anti-Aliasing-Filter Gegeben ist das Spektrum X(ω) eines Signals x(t). Zur Rekonstruktion wird ein iefpass-filter eingesetzt, das die Fourier-ransformierte A P (ω) besitzt. Spektrum X() - G G Amplitudengang A P () -.5 G.5 G Kreisfrequenz Kreisfrequenz Wie groß muss die Abtastfrequenz mindestens sein, damit Aliasing vermieden wird?..6 Fourier-ransformierte der idealen Abtastfunktion Berechnen Sie mit Hilfe die Fourier-ransformierte der idealen Abtastfunktion a(t) n (t A n)

18 8 Signalabtastung und Rekonstruktion..7 Fourier-ransformierte abgetasteter Signale Gegeben sei das Signal x(t) Signal - Zeit t a) Berechnen Sie die Fourier-ransformierte X(), berechnen Sie ihren Betrag und skizzieren Sie ihn. b) Nehmen Sie an, dass x(t) in Abständen von A =. s abgetastet wird, so dass eine Impulsfolge x A [k] entsteht. Berechnen Sie die Fourier-ransformierte X A (ω) und skizzieren Sie deren Betrag. c) Das Signal x(t) wird alle = s wiederholt, so dass ein periodisches Signal x p (t) entsteht. Berechnen Sie die Koeffizienten der Fourier-Reihe und skizzieren Sie das Amplitudenspektrum. d) Das periodische Signal aus eilaufgabe c) wird alle A =. s abgetastet. Leiten Sie die Koeffizienten der Fourier-Reihe ab und skizzieren Sie das Amplitudenspektrum...8 Reale Abtastung Gegeben ist ein sinusförmiges Signal der Form u(t) cos( t) a) Zeichnen Sie das Spektrum des Signals in ein Diagramm. Das Signal wird mit einer Abtastfrequenz von f A = 75 Hz ideal abgetastet. b) Erfüllt der Abtastprozess das Abtasttheorem? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Skizzieren Sie das Spektrum des abgetasteten Signals. Zur Rekonstruktion wird das Signal mit einem Halteglied, das die Fourier-ransformierte F( ) sin A e ja / besitzt, und einem idealen iefpass mit der Grenzfrequenz f G = 75 Hz rekonstruiert. d) Skizzieren den Amplitudengang des rekonstruierten Signals.

19 Signalabtastung und Rekonstruktion 9..9 Oversampling Auf einer CD werden Audio-Signale gespeichert, die eine Grenzfrequenz f G = khz besitzen. Die Abtastfrequenz beträgt f A = 44. khz. a) Skizzieren Sie den Frequenzgang des analogen iefpasses mit der minimalen Steilheit, die zur fehlerfreien Rekonstruktion ausreicht. b) Vielfach wird in den CD-Spielern eine Überabtastung durchgeführt, bei der z.b. die Abtastrate von f A = f A gewählt wird (-fach Oversampling). c) Skizzieren Sie auch für diesen Fall den Frequenzgang des Filters mit der minimalen Steilheit, die gerade noch zur fehlerfreien Rekonstruktion ausreicht... Systemidentifikation / Störungen Gegeben ist die folgende Sprungantwort eines P-Gliedes:.8 Sprungantwort h(t).6.4. a) Berechnen Sie die maximale Frequenz ω G des Signals. Das Signal wird mit einer Abtastfrequenz ω A = 4ω G abgetastet. b) Berechnen Sie die Abtastfrequenz ω A. c) Ist das Abtasttheorem eingehalten? Eine sinusförmige Störung mit der Amplitude A S = V und einer Frequenz ω S = 5ω G wird in das Signal eingekoppelt. Diese Störung soll mit einem einfachen RC-iefpass beseitigt werden, um weiterhin das Abtasttheorem einhalten zu können. Die Grenzfrequenz des iefpass wird auf ω =.5ω G gesetzt. d) Wie wird ein solcher iefpass bezeichnet? Zeit t / s e) Erscheint die Störung noch im Spektrum des abgetasteten Signals? Wenn ja, auf welcher Frequenz und mit welcher Amplitude? Begründen Sie Ihre Antwort

20 Signalabtastung und Rekonstruktion.. Reales Abtasten Gegeben ist das Signal x(t) mit einer Frequenz f = khz. x(t) 5 sin( f t) a) Skizzieren Sie das analoge Signal. Das Signal wird mit einer Frequenz f A = 5 khz abgetastet. Die Wandlung eines einzelnen Wertes dauert W = 5µs. b) Skizzieren Sie die Abtastfunktion a(t). c) Skizzieren Sie das real abgetastete Signal x A (t). d) Berechnen Sie, wie groß die Amplitude des abgetasteten Signals gegenüber der Amplitude des analogen Signals ist... Interpolation im Zeitbereich Gegeben ist ein Signal x (t), das mit der Abtastzeit A abgetastet wird. Es ergibt sich das Signal x (n A ). Das kontinuierliche Signal x (t) soll folgendes Spektrum aufweisen (ω G = /6ω A ) Spektrum x () - A - G G A Kreisfrequenz a) Skizzieren Sie das Spektrum des mit ω A abgetasteten Signals. Die Abtastrate des Signals x (n A ) soll künstlich erhöht werden, in dem zwischen den Abtastwerten der Mittelwert der benachbarten Werte eingefügt wird. b) Geben Sie eine mathematische Darstellung des Signals x (n A ) an. c) Skizzieren Sie das Spektrum des Signals x (n A ). d) Vergleichen Sie das Spektrum des interpolierten Signals x mit dem Signal, das durch Abtasten von x (t) mit der Abtastzeit A = A entsteht.