LW7. Wechselstrom Version vom 16. November 2015

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1 Wechselstrom Version vom 16. November 2015

2 Inhaltsverzeichnis Grundlagen Begriffe Wechselspannung und Wechselstrom Effektivwerte von Wechselspannung und Wechselstrom Wechselstromwiderstände Leistung im Wechselstromkreis mit komplexen Widerständen Aufgabenstellung Versuchsaufbau und Durchführung Messungen mit dem Multimeter Messungen mit dem Oszilloskop Hinweise zu Protokollierung und Fehlerrechnung

3 Inhaltsverzeichnis Lehr/Lernziele Unterschiede von Gleich- und Wechselstrom im praktischen Umgang erfahren. Die Auswirkungen von komplexen Widerständen (Impedanzen) in Wechselstromkreisen besser verstehen lernen. Die mathematischen Werkzeuge der Wechselstromtechnik besser verstehen und anwenden lernen. Kenntnisse zu Funktionsweise und Anwendungmöglichkeiten von Oszilloskopen festigen. Oszilloskope für einfache Messungen im Wechselstromkreis einsetzen können. Mögliche Vorbehalte und Unsicherheiten gegenüber Wechselstromtechnik abbauen

4 1.1 Grundlagen Begriffe Wechselstrom, Wechselspannung, Phasenverschiebung, komplexe Widerstände, Kapazität, Induktivität, Impedanz, Wirkleistung, Scheinleistung, Blindleistung, Schwingung, Periodendauer, Frequenz Wechselspannung und Wechselstrom Bei Wechselströmen hängt der Momentanwert der Spannung bzw. der Stromstärke von der Zeit ab. Es gibt verschiedenste Formen von Wechselstrom. Die öffentliche Elektrizitätsversorgung liefert an Haushalte und Industrie Wechselstrom mit einem periodischen sinusförmigen zeitlichen Verlauf. U(t) = U 0 sin(ωt + ϕ U ) I(t) = I 0 sin(ωt + ϕ I ) (1) worin U 0 und I 0 die Amplituden(maxima) von Spannung und Strom(stärke) sind und ω als Kreisfrequenz bezeichnet wird. Diese Darstellung basiert auf der Idee, die Winkelfunktion Sinus in eine Funktion der Zeit zu verwandeln, indem ihr Argument als ein in der Zeit gleichmäßig veränderlicher Winkel ϕ(t) = ωt (die Phase) 1 angesetzt wird. ϕ U, ϕ I sind die Phasenkonstanten, d.h. die Werte der Phase zum Zeitpunkt t = 0. Sie sind i.a. verschieden, d.h. es besteht eine Phasendifferenz ϕ zwischen Spannung und Strom. Definitionsgemäß gilt: ϕ = ϕ U ϕ I (2) Oft werden die Gleichungen 1 vereinfacht, indem durch geeignete Wahl des Nullpunktes der Zeit ϕ U = 0 wird. Beachten Sie bitte, dass in diesem Fall ϕ = ϕ I gilt. Formelzeichen Einheit Bezeichnung U V Spannung U 0 V Amplitude der Spannung od. Scheitelspannung I A Stromstärke I 0 A Amplitude des Stromes od. Scheitelstrom ω s 1 Winkelgeschwindigkeit ϕ U, ϕ I 1 (rad) Phasenkonstanten ϕ 1 (rad) Phasendifferenz zwischen U und I 1 ω ist die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die Phase ändert; deswegen werden Kreisfrequenz und Winkelgeschwindigkeit oft synonym verwendet, obwohl sie das streng genommen nicht sind

5 Als Wechselspannungsquellen dienen z.b. Generatoren diverser Elektrizitätswerke, Windkraftanlagen aber auch Solarpaneele (mit nachgeschaltetem Wechselrichter 2 ). Solche Wechselströme sind in zweifacher Hinsicht von Bedeutung: Die Höhe von Wechselspannungen kann ohne Schwierigkeiten und ohne große Verluste mit Transformatoren in weiten Bereichen verändert und so den technischen Anforderungen leicht angepasst werden. Diese leichte Transformierbarkeit ist auch der Grund dafür, dass der Transport elektrischer Energie mittels Wechselspannungen (Hochspannungstransport) viel einfacher und verlustärmer durchzuführen als mit Gleichspannungen. Außerdem ist die Erzeugung von Wechselspannung (mittels Drehstromgeneratoren) technisch einfacher und effizienter zu realisieren. Jede beliebige andere, zeitlich veränderliche Spannung kann in eine Fourierreihe von einfachen sinus- und cosinusförmigen Spannungen zerlegt werden. Die Frequenz des Haushaltsstromnetzes beträgt 50 Hz, also f = 50 s 1, das entspricht einer Kreisfrequenz von ω = 2 π f = 314 s 1 und einer Periodendauer T = 20 ms Effektivwerte von Wechselspannung und Wechselstrom Eine Wechselspannung U(t) = U 0 sin ωt, die an einem ohmschen Widerstand anliegt, erzeugt einen Wechselstrom I(t) = I 0 sin ωt mit I 0 = U 0 (siehe Abb. 1) R Abbildung 1: Wechselstrom und Wechselspannung an einem ohmschen Widerstand Damit ist die elektrische Leistung P (t) = U(t) I(t) = U 0 I 0 sin 2 ωt ebenfalls eine zeitlich periodische Funktion (siehe Abb. 2). 2 Solarzellen sind Gleichstromquellen, sie müssen erst technisch zu Wechselstromquellen gemacht werden - 3 -

6 Abbildung 2: Wechselstrom, Wechselspannung und Leistung an einem ohmschen Widerstand Die vom ohmschen Widerstand während einer Periode verbrauchte Energie (umgesetzte Wärme) ist dabei: W T = T 0 U 0 I 0 sin 2 ωt dt (3) Für das zeitliche Mittel der elektrischen Leistung (Arbeit pro Zeiteinheit) erhält man damit: P = 1 T T 0 U 0 I 0 sin 2 ωt dt = 1 2 I 0 U 0 (4) Unter dem Effektivwert U eff einer Wechselspannung bzw. I eff eines Wechselstroms versteht man den Wert einer Gleichspannung bzw. eines Gleichstroms, der an einem ohmschen Widerstand R die gleiche Leistung erbringt wie die betrachtete Wechselspannung U(t): 1 2 U 0 I 0 = 1 U0 2 2 R = U eff 2 R U eff = U 0 2 (5) bzw. 1 2 U 0 I 0 = 1 2 I2 0 R = I 2 eff R I eff = I 0 2 (6) In Abbildung 3 wird der Zusammenhang noch einmal veranschaulicht. Das Rechteck U eff, I eff, T hat die gleiche Fläche wie T 0 U 0 I 0 sin 2 ωt dt

7 Abbildung 3: Zusammenhang der Effektivwerte mit der Leistung von Wechselstrom Die obige Herleitung gilt nur für Sinusspannungen. Eine allgemeinere Definition der Effektivwerte, die für periodische Wechselspannungen beliebiger Form gilt, selbst wenn sie noch von einem Gleichspannungsanteil U DC überlagert sind, lautet: U eff = 1 T T 0 (U(t) + U DC ) 2 dt = 1 nt nt 0 (U(t) + U DC ) 2 dt (n = 1, 2, 3,...). Es werden also die momentanen Spannungswerte quadriert, diese Quadrate über die Periodendauer (bzw. einem ganzzahligen Vielfachen davon) gemittelt und hinterher die Wurzel aus diesem Mittelwert der Quadrate gezogen. Diese Operation heißt im Englischen root mean square (RMS) und ein Messgerät, das nach diesem Prinzip arbeitet heißt folglich RMS-Meter. Weil aber ein solches Messgerät im allgemeinen keine Information über die Periodendauer hat, wird in der Regel eine fest eingestellte Zeit T I für die Mittelwertbildung verwendet. Der so erhaltene Wert wird dann als True-RMS-Wert U RMS bezeichnet. Im Spezialfall sinusförmiger Wechselspannungen (ohne Gleichspannungsanteil) erhält man aus dieser Formel wieder den oben hergeleiteten Effektivwert. Messgeräte für Wechselspannung und Wechselstrom zeigen stets die Effektivwerte an und auch in den technischen Daten elektrischer Geräte werden sie stets angegeben. Bei unserem einphasigen Wechselstromnetz liegt zwischen den Polen der Steckdose 3 eine Effektivspannung U eff = 230 V, das entspricht einer Scheitelspannung U 0 = V 325 V. Wie lässt sich somit die zeitliche Funktion dieser Wechselspannung angeben? 3 Die Pole der 230 V - Steckdose sind Phase und Nullleiter. Bei Starkstromsteckdosen erlangt man eine Effektivspannung von 400 V indem man beide Pole mit einer Phase belegt. Jeder Haushalt verfügt über einen Anschluss mit 3 unterschiedlichen Phasen. Das sind sinusförmige Spannungssignale mit 325 V Scheitelspannung, die um je 120 phasenverschoben sind. Sie werden im Kraftwerk mit Drehstromgeneratoren gewonnen

8 1.1.4 Wechselstromwiderstände Bei Wechselstrom kann ein Verbraucher zusätzlich zum ohmschen Widerstand noch einen kapazitiven oder induktiven Widerstand besitzen. Ein kapazitiver Widerstand entsteht z.b. durch das elektrische Feld zwischen den Platten eines Kondensators, ein induktiver durch das magnetische Feld einer Spule. Für kapazitive und induktive Widerstände gilt: Es hängen die Widerstände von der Frequenz des Wechselstroms ab. Es kommt an induktiven und kapazitiven Widerständen zu einer Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom und Spannung, d.h. die Funktionen von Strom und Spannung durchlaufen nicht gleichzeitig ihre Maxima und Minima (vgl. Abb. 4). Am ohmschen Widerstand entsteht keine Phasenverschiebung; am Kondensator eilt der Strom um 90 bzw. π/2 voraus, an der Spule hinkt er um 90 bzw. π/2 hinterher. Also ist auch die Beziehung U/I nicht zeitunabhängig, was eine unmittelbare Darstellung dieses Zusammenhanges mit Hilfe eines zeitunabhängigen Faktors analog des ohmschen Gesetzes im Allgemeinen unmöglich macht. Abb. 4 zeigt schematisch die Verläufe von Strom und Spannung an den drei Typen von Wechselstromwiderständen. Abbildung 4: Verlauf von Strom und Spannung als Funktion der Phase a)am Ohm schen Widerstand, b)am Kondensator und c)an der Spule. Nur (ideale) ohmsche Widerstände verhalten sich im Wechselstromkreis genauso wie im Gleichstromkreis. Die Berechnung von Wechselstromschaltungen ist deswegen schwieriger als die von Gleichstromschaltungen. Eine Vereinfachung wird erzielt, wenn man sämtliche Wechselstromgrößen mittels komplexer Zahlen darstellt. Das wird durch die Euler sche Relation e iωt = cos ωt + i sin ωt möglich. Größen wie Spannung, Strom, Widerstand werden durch komplexe Zahlen beschrieben: Û = U 0 e i(ωt+ϕ U ), Î = I 0 e i(ωt+ϕ I) und Z (7) Der Vorteil dieser Methode: die bekannten Gesetze und Regeln für Gleichstromschaltungen (Ohm sches Gesetz, Kirchhoff sche Regeln) gelten vollkommen analog für diese komplexen Größen. Dazu zwei Beispiele: - 6 -

9 Das ohmsche Gesetz für einen beliebigen Wechselstromwiderstand Z (einzelner Bauteil, Gesamtwiderstand einer Schaltung ) lautet in komplexer Schreibweise: wobei Z ein zeitunabhängiger Faktor ist: Û(t) = Z Î(t). (8) Z = U 0 I 0 e i ϕ = Re(Z) + iim(z) (9) Die Serienschaltung der komplexen Widerstände Z 1, Z 2 hat den Gesamtwiderstand Z ges : Z ges = Z 1 + Z 2. Alle komplexen Wechselstromgrößen können in einem Zeigerdiagramm in der Gauß schen Zahlenebene (=komplexe Zahlenebene) dargestellt werden. Komplexe Wechselstromwiderstände werden auch als (komplexe) Impedanzen bezeichnet. Die drei Grundtypen von Wechselstromwiderständen sind: Ohm scher Widerstand R, Kondensator mit Kapazität C und Spule mit Induktivität L). Eine einfache Rechnung, die in einführenden Lehrbüchern zur Physik vorgeführt wird 4, ergibt für den Quotienten der Amplituden von Spannung (U 0 ) und Stromstärke (I 0 ), gemessen am jeweiligen Wechselstromwiderstand: U 0 I 0 = R (ohmscher Widerstand) (10) U 0 I 0 = X C = 1/ωC (Kondensator) (11) U 0 I 0 = X L = ωl (Spule) (12) welche als reelle Wechselstromwiderstände bezeichnet werden können. Der Wechselstromwiderstand des Ohm schen Widerstandes ist gleich seinem Gleichstromwiderstand (die Bezeichnung X R ist somit überflüssig) und frequenzunabhängig, während Kondensator und Spule frequenzabhängige Wechselstromwiderstände haben. Ihre komplexen Größen (Impedanzen) sind: Û C = Z C Î C = ix C = i/ωc (Kondensator) (13) Û L = Z L Î L = ix L = iωl (Spule) (14) 4 z.b. D. Halliday, R. Resnik, J. Walker, Physik, Wiley-VCH 2003, S. 941f. (15) - 7 -

10 Der reelle Wechselstromwiderstand wird mit i oder i multipliziert, um die entsprechende komplexe Impedanz zu erhalten. Das unterschiedliche Vorzeichen ist notwendig, um die entgegengesetzte Phasenverschiebung an Spule und Kondensator zu beschreiben. Offensichtlich gilt: Die reellen Wechselstromwiderstände sind die Beträge der komplexen Impedanzen. Mit konventionellen Messgeräten sind daher nur die Beträge von Spannung und Strom messbar 5. Frequenzen und Phasen können z.b. mit einem Oszilloskop gemessen werden. Der Quotient aus gemessener Spannung und gemessenem Strom ist somit der Betrag des komplexen Wechselstromwiderstandes. Wurden z.b. an einem Kondensator die Spannung U C und der Strom I C gemessen, dann ergibt der Quotient U C /I C nach Gleichung 8 den Betrag der Impedanz des Kondensators: U C = Z C = 1 I C ωc X C. X C hat, wie oben beschrieben, die Dimension eines Widerstandes und ist als reeller Wechselstromwiderstand des Kondensators bezeichnet worden. Wir wollen den Fall der Serienschaltung in Abb. 5 näher betrachten, weil er für das aktuelle Praktikumsbeispiel wichtig ist. (Achtung: im Folgenden sind alle Ströme und Spannungen als Effektivwerte, also messbare Werte zu betrachten!) Die Gesamt-Impedanz Z ges dieser Schaltung ist: Z ges = Z R + Z C = R i ωc = R ix C. (16) Abbildung 5: Serienschaltung eines Kondensators und eines ohmschen Widerstandes. Misst man die Gesamtspannung U ges und den Gesamtstrom I, so ist der Quotient nach obigen Ausführungen gleich dem Absolutbetrag der Gesamtimpedanz Z ges. I fließt durch 5 Das ist ein bisschen ungenau. Messgeräte messen eigentlich den sog. Effektivwert, der mit dem Betrag der komplexen Größe durch einen konstanten Faktor verknüpft ist. Bei der Berechnung von Widerständen kürzt sich der Faktor weg, ist also in diesem Zusammenhang irrelevant

11 R und durch C. Für die Teilspannungen an den beiden Elementen gilt daher: U R = I R U C = I X C. Aus diesen Gleichungen folgt sofort X C, falls R bekannt ist! Beachten Sie: die Spannung an R hat keine Phasenverschiebung gegenüber dem Strom, die Spannung an C jedoch schon! Also sind die beiden Spannungen gegeneinander phasenverschoben. Konsequenz: die Teilspannungen können nicht einfach zur Gesamtspannung addiert werden: U R + U C U ges. Warum das so ist, zeigt am einfachsten eine grafische Auftragung der komplexen Impedanzen. Beachten Sie außerdem: Die in Gleichung 16 dargestellte (einfache) Beziehung gilt ausnahmslos für die RC-Serienschaltung (bzw. analog für die RL-Serienschaltung bei Vernachlässigung des ohmschen Widerstands der Spule)). In keiner anderen Schaltung ist der ohmsche Widerstand alleine der Realteil des komplexen Widerstandes Re(Z) = R bzw. der kapazitive Widerstand alleine der Imaginärteil Im(Z) = X C Sie finden ein Beispiel für komplexe Widerstände von einfachen Schaltungen auf der elearning-seite des Anfängerpraktikums. Bekanntlich kann jede komplexe Zahl als Vektor in der Gauß schen Zahlenebene dargestellt werden. Für die Gesamtimpedanz Z ges (Gleichung 16) ist dies in Abb. 6 (schematisch) gezeigt, wo jeder Vektor mit seiner Länge beschriftet ist. Die Längen entsprechen den Beträgen der komlexen Widerstände, also den gemessenen Widerständen. Z ges ist offenbar die Vektorsumme von Z R und Z C. Die Anwendung des Pythagoräischen Lehrsatzes ergibt: Z ges = R 2 + XC 2. Die messbaren Teilwiderstände addieren sich also nicht linear, sondern quadratisch zum gemessenen Gesamtwiderstand. Das ist eine Folge der Phasenverschiebung der beiden Teilspannungen an diesen Widerständen. Denken Sie sich jetzt jeden Vektor in Abb. 6 mit der gemessenen Stromstärke I multipliziert und Sie erhalten ein völlig analoges Bild für die Spannungen U ges, U C, U R. Daraus folgt: die quadratische Addition gilt auch für die Gesamtund Teilspannungen

12 Abbildung 6: Die Gesamtimpedanz Z ges der Schaltung in Abb. 5 in der Gaußschen Zahlenebene. Manchmal wird der Betrag der Gesamtimpedanz Z ges als Scheinwiderstand, der Realteil Re(Z) als Wirkwiderstand und der Imaginärteil Im(Z) als Blindwiderstand bezeichnet. (Achtung: nur in dem in Abb. 6 behandelten Beispiel der RC-Serienschaltung gilt der direkte und einfache Zusammenhang Re(Z) = R und Im(Z) = X C ). Aus Abb. 6 ist auch die Phasenverschiebung ϕ abzulesen: tan ϕ = X C R ϕ = arctan X C R (17) Das negative Vorzeichen vor X C kommt daher, dass Z C negativ ist. Der Strom eilt am Kondensator der Spannung voraus, daher ist hier die Phasenkonstante ϕ I positiv (siehe Gleichung 1) und damit die Phasenverschiebung (nach Konvention!) negativ. Bei einer Spule würde die Verhältnisse umgekehrt liegen. Ebenso kann aus Abb. 6 leicht abgeleitet werden, wie sich eine Serienschaltung aus 2 ohmschen Widerständen R 1, R 2 verhält (versuchen Sie es!). Beachten Sie hierzu die Simulation von Wechselstromwiderständen im Stromkreis auf der elearning Seite des Anfängerpraktikums. Anmerkung: Kondensatoren und Spulen im Gleichstromkreis Für Gleichstrom wirkt der (ideale) Kondensator wie eine Unterbrechung. Sein Widerstand ist nahezu unendlich. Die (ideale) Spule wirkt wie ein Kurzschluss. Ihr Widerstand ist nahezu Null. In Gleichspannungsschaltungen beeinflussen Spulen und Kondensatoren nur während der Einschalt- und Ausschaltphase den Strom- und Spannungsverlauf

13 1.1.5 Leistung im Wechselstromkreis mit komplexen Widerständen Befinden sich in einem Wechselstromkreis komplexe Widerstände, so kommt es (wie bereits erwähnt) zu Phasenverschiebungen zwischen Spannung und Strom. Ist das der Fall, so muss es bei der Berechnung der Leistung berücksichtigt werden. Zieht man für die Berechnung der Leistung die komplexen Größen von Spannung Û und Strom Î heran und bildet das zeitliche Mittel, so erhält man als Realteil der Leistung die Wirkleistung P und als Imaginärteil die Blindleistung Q. Ihr Betrag ist (analog zur Bezeichnung der Wecheslstromwiderstände) die Scheinleistung S. Wirkleistung P = U eff I eff cos ϕ Die Wirkleistung entspricht dem Realteil der komplexen Wechselstromleistung. cos ϕ wird auch Leistungsfaktor genannt. Er ist ein Maß dafür, wieviel aufgenommene elektrische Leistung tatsächlich umgesetzt werden kann und dient daher etwa bei Elektromotoren als Gütekriterium. An einem ohmschen Widerstand beträgt die Phasenverschiebung bekanntlich ϕ = 0, daher ist cos ϕ = 1 und P = U eff I eff Blindleistung Q = U eff I eff sin ϕ Die Blindleistung entspricht dem Imaginärteil der komplexen Wechselstromleistung. sin ϕ wird auch Blindfaktor genannt. An einem induktiven oder kapazitiven Widerstand beträgt die Phasenverschiebung bekanntlich ϕ = ±π/2, daher ist sin ϕ = 1 und Q = U eff I eff (die Wirkleistung hingegen wird 0). Scheinleistung S = U eff I eff Es gilt (analog zum Betrag der Gesamtimpedanz (=Scheinwiderstand)): Scheinleistung = Wirkleistung 2 + Blindleistung 2 S = P 2 + Q 2 (18) Die Scheinleistung S bezeichnet für sinusförmige Ströme das Produkt der Effektivwerte für Strom und Spannung ohne Berücksichtigung der Phasenverschiebung. Die Abb. 7 veranschaulicht grafisch den Zusammenhang von Leistung und Phasenverschiebung (Phasenwinkel) zwischen Spannung und Strom

14 Abbildung 7: Funktionen von Strom, Spannung und Leistung bei unterschiedlichen Phasenwinkeln

15 1.2 Aufgabenstellung 1. Messungen mit dem Multimeter a) Bauen Sie eine Spannungsteilerschaltung (Serienschaltung) aus einem bekannten und einem unbekannten ohmschen Widerstand R, R x auf, legen Sie Wechselspannung an die Schaltung an und bestimmen Sie den unbekannten Widerstand und seine Messunsicherheit mittels Spannungsmessungen mit dem Digitalmultimeter. b) Bauen Sie eine Spannungsteilerschaltung (Serienschaltung) aus einem bekannten ohmschen Widerstand R und einer unbekannten Kapazität X C auf, legen Sie Wechselspannung an die Schaltung an und bestimmen Sie die unbekannte Kapazität und ihre Messunsicherheit mittels Spannungsmessungen mit dem Digitalmultimeter. c) Stellen Sie den Zusammenhang zwischen der Gesamtspannung und den Teilspannungen dar und vergleichen Sie diesen für die ersten zwei Schaltungen. d) Stellen Sie die Gesamt-Impedanz Z Ges in der Gauß schen Zahlenebene dar. e) Bestimmen Sie den Scheinwiderstand Z Ges der Serienschaltung aus R und X C durch gleichzeitige Messung von Gesamtstrom und Gesamtspannung und überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Nachrechnen und grafisch durch nachmessen in der Gauß schen Zahlenebene. 2. Messungen mit dem Oszilloskop a) Bauen Sie aus einem bekannten Widerstand R 0 und einem unbekannten Widerstand R x eine Spannungsteilerschaltung (Serienschaltung) auf und messen Sie mit dem digitalen Speicher-Oszilloskop (DSO) gleichzeitig die Gesamtspannung und die Teilspannung an R 0. Bestimmen Sie den Wert von R x, sowie die Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom und Spannung (falls vorhanden). Abschließend stellen Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen den beiden Spannungen auf dem DSO dar (XY-Betrieb). b) Ersetzen Sie in der Schaltung R x durch einen Kondensator mit der Kapazität C und führen Sie die gleichen Messungen durch wie in der vorigen Aufgabe. Bestimmen Sie den Wechselstromwiderstand X C des Kondensators und daraus C, sowie ϕ. Überprüfen Sie ϕ mittels Rechnung nach Gl. 17. Sehen Sie sich die Spannungen wieder im XY-Betrieb an. c) Ersetzen Sie den Kondensator durch eine Spule und führen Sie wieder die gleichen Messungen und Auswertungen durch, inklusive XY-Betrieb. Als Ergebnis sind anzugeben: X L, L und ϕ. Überprüfen Sie ϕ mit Gl

16 1.3 Versuchsaufbau und Durchführung Messungen mit dem Multimeter Bauen Sie eine Spannungsteilerschaltung (Serienschaltung) aus einem bekannten und einem unbekannten ohmschen Widerstand auf und bestimmen Sie den unbekannten Widerstand und Messunsicherheit mit Hilfe von Spannungsmessungen mit dem Digitalmultimeter. Die Spannungsteilerschaltung wurde bereits für Gleichstrom durchgeführt (LS11). Der einzige Unterschied besteht in der verwendeten Spannung: Sie verwenden Wechselspannung mit einer Frequenz von 50 Hz, bereitgestellt durch einen Funktionsgenerator (siehe Abb. 8, Bedienungserklärung weiter unten im Text). Wählen Sie die größtmögliche Amplitude. Danach tauschen Sie einfach den unbekannten ohmschen Widerstand gegen eine unbekannte Kapzität. Der reelle Wechselstromwiderstand X C der Kapazität hat den Betrag 1. Kennt man den Spannungsabfall an der Kapazität, so lässt sich C aus X ωc C bestimmen. Nun können Sie die Gesamtimpedanz Z Ges der Serienschaltung in komplexer Schreibweise angeben und in der Gauß schen Zahlenebene abbilden. Stellen Sie den Zusammenhang zwischen den Teilspannungen bei den beiden untersuchten Spannungsteilern dar. Diskutieren Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten. Ermitteln Sie im nächsten Schritt die Gesamtimpedanz Z Ges der RC-Schaltung durch gleichzeitiges Messen von Strom und Spannung (Wählen Sie dabei selbst die Schaltungsart und den Einsatz der Messgeräte). Vergleichen Sie Ihr Ergebnis und dessen Unsicherheit mit einer Berechnung des Scheinwiderstandes aus der Gesamtimpedanz. Lassen Sie jede Schaltung vor Inbetriebnahme durch eine Betreuungsperson kontrollieren. Bedienung des Funktionsgenerators Abbildung 8: Funktionsgenerator der Firma HAMEG. Die Bedienungselemente mit den Nummern werden im Text beschrieben

17 Die für Sie wichtigen Bedienungselemente sind in Abbildung 8 mit einer Nummer versehen - außer dem Einschaltknopf (der rote Knopf in der Mitte). Mit dem Drehschalter 1 kann die Amplitude der Wechselspannung geändert werden. Sie wird auf dem Gerät nicht angezeigt, sondern muss durch Messung bestimmt werden (wie in Abbildung 8 gezeigt). Die Buchse 2 gibt die eingestellte Wechselspannung an die Schaltung ab. Zum Anschluss muss ein Koaxialkabel mit einem BNC-Stecker verwendet werden, das am anderen Ende zwei 4-mm-Stecker besitzt. Die Schalter 3 und 4 dienen zur Einstellung der Frequenz der Wechselspannung. 4 ist eine Grobverstellung, 3 eine Feinverstellung. Mit dem Schalter 5 wird die Form der Wechselspannung eingestellt. Es stehen Sinusspannung, Dreiecksspannung, Rechteckspannung und Impulsspannung zur Verfügung. Für die Messungen wählen Sie die Sinusspannung, durch mehrmaliges Drücken des Schalters (bis der Sinus aufleuchtet). Die anderen Schalter des Gerätes werden Sie nicht benötigen. Achten Sie darauf, dass keiner dieser Schalter gedrückt ist! Sie können dieses Experiment mit dem Applet LRC-Kreis auf der elearning-seite des Anfängerpraktikums exakt nachsimulieren Messungen mit dem Oszilloskop Bauen Sie eine Serienschaltung aus 2 ohmschen Widerständen auf. Achten Sie dabei darauf, dass die Außenleiter des Koaxialkabels auf Masse angeschlossen sind, das heißt auf gleichem Spannungspotential liegen. Mit Hilfe des DSO werden die Teilspannung am bekannten Widerstand R 0 und die Gesamtspannung aus einem ohmschen Spannungsteiler (ein bekannter, ein unbekannter Widerstand R x ) gleichzeitig dargestellt (siehe Abb. 9). Gemäß der Kirchhoff schen Regeln bestimmen Sie R x aus dem Verhältnis U 1 U 2 = R 0+R x R 0. Im Anschluss betrachten und protokollieren Sie U 2 (t) als Funktion von U 1 (t). Dazu muss das Oszilloskop in xy-betrieb geschaltet werden. Interpretieren Sie das Ergebnis

18 Abbildung 9: Messschaltung zum Ohm schen Spannungsteiler Statt des unbekannten ohmschen Widerstandes aus der vorigen Aufgabe, verwenden Sie im Anschluss eine Kapazität C bei einer Frequenz zwischen 150 und 300 Hz und danach eine Induktivität L bei einer Frequenz zwischen 35 und 50 khz (siehe Abb 10). Gehen Sie analog zur ersten Messaufgabe mit dem DSO vor und bestimmen Sie C bzw. L sowie die Phasenverschiebung ϕ und den funktionalen Zusammenhang zwischen der Teilspannung U 2 (t) am bekannten Widerstand R 0 und der Gesamtspannung U 1 (t). Interpretieren Sie das Ergebnis. Abbildung 10: Messschaltung zum Spannungsteiler mit unbekannter Impedanz

19 Bedienung des digitalen Speicher-Oszilloskops Die Bedienung des Oszilloskops wurde in LS12 erarbeitet. In diesem Anleitungstext finden Sie auch detaillierte Erklärungen zur Bedienung des Gerätes und zum Aufbau und zur Verwendung von Koaxial-Kabeln. 1.4 Hinweise zu Protokollierung und Fehlerrechnung Machen Sie sich zu jedem Experiment eine Schaltskizze und achten Sie auf eindeutige Variablenbenennung um Verwechslungen zu vermeiden. Für Messungen mit dem Oszilloskop gilt näherungsweise eine Messunsicherheit von 2% für direkt abgelesene Messwerte und 5% für daraus berechnete zusammengesetzte Messunsicherheiten