V8 - Auf- und Entladung von Kondensatoren

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1 V8 - Auf- und Entladung von Kondensatoren Michael Baron, Frank Scholz Inhaltsverzeichnis Aufgabenstellung 2 Theoretischer Hintergrund 2 2. Elektrostatische Betrachtung von Kondensatoren Zeitabhängige Betrachtung während der Aufladung während der Entladung einfaches RC-Netzwerk Differential-Gleichung für die Kondensatorspannung Lösungen für die Differential-Gleichung Versuchsdurchführung 6 4 Versuchsergebnisse 6 4. Kondensator C Bestimmung von τ aus dem Entladungs-Vorgang Bestimmung von τ mittels einer Tangente Bestimmung von τ aus dem Aufladungs-Vorgang Kondensator C C parallel C C in Reihe mit C Anlagen 8 Aufgabenstellung Aufgabe dieses Experiments ist die aperiodische Auf- und Entladung zweier Kondensatoren (jeweils einzeln, in Parallel- und Reihenschaltung) über einen

2 Widerstand R, die Aufzeichnung der zeitabhängigen Größen Kondensator- Spannung U C (t) und -Strom I C (t) sowie letztlich die Bestimmung der zugehörigen Zeitkonstanten τ und Kapazitäten C. 2 Theoretischer Hintergrund 2. Elektrostatische Betrachtung von Kondensatoren Betrachtet man zwei gegenüberliegende Metallplatten, zwischen denen keine leitende Verbindung besteht, so handelt es sich um einen Plattenkondensator, also einen Ladungs-Speicher dessen Aufnahmefähigkeit sich proportional zur angelegten Spannung U C verhält. Hierbei ist die Proportionalitätskonstante durch die Kapazität C vorgegeben, was dann zur Formel führt. Folglich ist die Einheit der Kapazität [C] = [Q] = C [U] V Q = C U C () = F (ausgesprochen Farad). Weiterhin ist die Kapazität eine feste Eigenschaft von Kondensator und eingeschlossenem Dielektrikum (Isolator zw. beiden Platten) und beträgt für Plattenkondensatoren : C = ɛ 0 ɛ r A d 2 C2 wobei ɛ 0 = 8, absolute, ɛ Nm 2 r relative Dielelektrizitätszahlen, A die Plattenfläche (einer Platte) sowie d den Plattenabstand bezeichnen. Schaltet man mehrere Kapazitäten parallel, so addieren sie sich aufgrund der Tatsache, dass über allen die gleiche Spannung abfällt, was sich wie folgt ausdrücken lässt: C = Q U = i Q i U = i Q i U = i (2) C i (3) Bei der Reihenschaltung hingegen sind jeweils alle vorkommenden Plattenladungen (bis auf das Vorzeichen) ausgeglichen, da wir uns im elektrostatischen Fall befinden und nun keine Ströme mehr fließen dürfen und die Spannungen addieren sich, wie folgt: C = U Q = i U i Q = i U i Q = i C i (4) 2

3 Verwendet man jedoch nur zwei Kondensatoren in Reihe, so lässt sich die Rechnung vereinfachen, indem man die Formel umstellt: C = C + C 2 C = C C 2 C + C 2 (5) 2.2 Zeitabhängige Betrachtung während der Aufladung Lä man nun einen Kondensator auf, so wächst die Kondensator-Spannung U C (t) exponentiell asymptotisch bis auf die Lade-Spannung U 0 an und der Lade-Strom I C (t) nimmt exponentiell gegen 0A ab, was durch die folgenden Gleichungen beschrieben wird: U C (t) = U 0 ( exp( t )) (6) τ I C (t) = I 0 exp( t τ ) (7) In diesem Fall ist I 0 = U 0 R der Lade-Strom zum Zeitpunkt t 0, R der Lade- Widerstand, sowie τ = R C die Zeitkonstante, welche sich aus der ersten Gleichung wie folgt berechnen lässt: τ = während der Entladung t ln( U 0 U C (t) U 0 ) Während der Entladung fallen nun sowohl U C (t) als auch I C (t) exponentiell gegen 0, jedoch fließt der Entlade-Strom entgegengesetzt zum vorherigen Fall, so dass sich ergibt: U C (t) = U 0 exp( t τ ) (9) I C (t) = I 0 exp( t τ ) (0) Auch hier berechnen wir die Zeitkonstante nur aus der Spannungs-Kennlinie, da die Rechnung für die Strom-Kennlinie relativ ähnlich erfolgt: τ = t ln( U C(t) U 0 ) (8) () Betrachtet man jedoch die erste dieser drei Gleichungen, so stellt man fest, dass die Zeitkonstante τ nichts anderes angibt, als den Zeitpunkt, an dem die 3

4 Kondensator-Spannung auf den e-ten Teil eines beliebigen Ausgangswertes zurückgegangen ist. Dies kann man mittels folgender Überlegung veranschaulichen: sodass eben das Verhältnis: U C (t 0 + τ) = U C (t 0 ) exp( τ τ ) (2) U C (t 0 + τ) U C (t 0 ) = e (3) folgt. Es ist in diesem Fall also erheblich einfacher, sich zwei geeignete Zeitpunkte (bei U 0 = 5V etwa t 0 = UC (2, 72V ) sowie t = t+τ = UC (V )) auszusuchen, und die Zeitkonstante aus der Zeitdifferenz direkt abzulesen. Kennt man nun den Lade-Widerstand R, so folgt die Kapazität direkt aus C = τ. R 2.3 einfaches RC-Netzwerk Im folgenden (theoretischen) Versuchsteil berachten wir ein einfaches RC- Netzwerk, wofür wir zunächst die Maschengleichung der beteiligten Komponenten (Spannungs-Quelle, Widerstand sowie Kapazität) aufstellen: U 0 = U R (t) + U C (t) (4) Nun ist einerseits U R = R I C bekannt und andererseits wissen wir, dass sich die geflossene Ladung in Form eines Zeit-Integrals über die vorherrschende Stromstärke wie folgt berechnen lässt: Dies ist äquivalent mit dem Differential-Quotienten: Q = I(t) (5) t I = dq = Q (6) Von daher wird τ manchmal etwas salopp als Drittelwertszeit bezeichnet 4

5 2.3. Differential-Gleichung für die Kondensatorspannung Mit diesen Informationen können wir die Differential-Gleichung für die Kondensator- Spannung U C (t) aufstellen: U 0 = U R (t) + U C (t) (7) U R = R I C U 0 = R I C (t) + U C (t) (8) I = dq U 0 = R dq C + U C (t) (9) Q = C U U 0 = R C du C + U C (t) (20) Es ergibt sich folglich: U C (t) = U 0 R C U C (t) (2) Lösungen für die Differential-Gleichung Zuerst überprüfen wir die Lösung für den Aufladungs-Vorgang (U 0 0V ): U C (t) = U 0 R C du C(t) Setzen wir nun die Lösung U C (t) = U 0 ( exp( t )) ein: τ U 0 ( e t R C ) = U0 R C d(u 0 ( e t R C )) Nach Ableitung des Differential-Quotienten ergibt sich: U 0 ( e t R C ) = U0 R C U 0 ( (22) (23) ) ( e t R C ) (24) R C Offensichtlich ist diese Lösung richtig. Wir verifizieren nun die Lösung obiger Gleichung für den Entladungs-Vorgang (U 0 = 0V ). U C (t) = U 0 R C du C(t) Setzen wir nun die Lösung U C (t) = U 0 exp( t) ein: τ (25) U 0 e t R C = U0 R C d(u 0 e t R C ) (26) Nach Ableitung des Differential-Quotienten ergibt sich: U 0 e t R C = U0 R C R C U 0 e t R C (27) Diese Lösung ist offensichtlich ebenfalls richtig. Die Verifikation der Differential-Gleichung, sowie der Lösungen für die korrespondierenden Kondensator-Ströme erfolgt analog. 5

6 Y T U 0 R Y2 S T 2 Abbildung : Versuchsaufbau 3 Versuchsdurchführung In Abbildung sehen wir nun den Versuchsaufbau. Hierbei wurde als Versorgungs- Spannung U 0 = 5V gewählt, sowie ein Lade-Widerstand von R = 00, 6kΩ mit R R 0 = 0, 0 benutzt. Als Kondensatoren standen uns zwei ähnlich dimensionierte relativ große Papier-Kondensatoren zur Verfügung, welche wir zuerst jeweils einzeln, dann in Parallel-Schaltung und zu letzt in Hintereinander- Schaltung durchmessen sollten. Die Schalter T und T2 dienen hierbei der schnellen Aufladung (T, da Lade-Widerstand überbrückt wird), bzw. der schnellen Entladung (T2, da Kondensator kurzgeschlossen wird). Die Kästchen Y bzw. Y2 sollen die Eingänge des Plotters, welcher einen hohen Eingangswiderstand aufweist und von daher nur Spannungen registrieren kann, symbolisieren. Des weiteren dient der Schalter S dazu, möglichst einfach zwischen dem jetzigen Zustand (Kondensator wird entladen) und dem Auflade-Zustand zu wechseln. 4 Versuchsergebnisse Im Folgenden behandeln wir ausschließlich die Berechnung von τ und C aus den Spannungs-Kennlinien. Die Berechnung aus den Stromkennlinien ist prinzipiell ähnlich. 4. Kondensator C 4.. Bestimmung von τ aus dem Entladungs-Vorgang Hierbei messen wir zunächst eine Spannung von U C (t 0 ) = 2, 72V zum Zeitpunkt t 0, tragen diesen Zeitpunkt ein (im Plot siehe t 0 ), verfahren dann 6

7 für U C (t 0 + τ) = V genauso (im Plot siehe t + τ) und bestimmen aus dem Abstand (s = 4, 2cm) durch Multiplikation mit der Plottergeschwindigkeit (v = 24 cm ) eine Relaxationszeit von τ = 0, 5s, was bei einem min Lade-Widerstand von 00, 6kΩ eine Kapazität von 04µF zur Folge hat Bestimmung von τ mittels einer Tangente Wir können die Zeitkonstante aber auch dadurch bestimmen, indem wir eine Tangente zum Zeitpunkt t 0 an die Kurve anlegen und dann die Differenz zwischen t 0 sowie dem Schnittpunkt der Tangente im Punkt t 0 + τ mit U = 0V bestimmen. Dies folgt nun direkt aus folgender Rechnung, wobei wir die Tangente mit g bezeichnen : g(t) = U C (t 0) t + U C (t 0 ) U C (t 0) t 0 = 0 (28) t = t 0 + R C = t 0 + τ (29) Obwohl diese Methode im Allgemeinen zeichnerisch sehr ungenau ist, ist sie jedoch geeignet dazu, die auf anderem Wege ermittelte Zeitkonstante zu überprüfen Bestimmung von τ aus dem Aufladungs-Vorgang Da es in diesem Fall keinen Trick gibt, den man anwenden könnte, muss man die zu Anfang bereits aufgeführte Formel verwenden: τ = t ln( U 0 U C (t) U 0 ) (30) 4.2 Kondensator C2 Für diesen Kondensator ermitteln wir eine Zeitkonstante von τ = 0, 25s während der Entladung, was einer Kapazität von C = 02µF entspricht. 4.3 C parallel C2 Hier berechnen wir zunächst ein τ = 0, 5s + 0, 25s = 20, 75s, also eine Kapazität von C = 206µF während der Entladung, und messen genau die selben Werte aus der Grafik. 7

8 4.4 C in Reihe mit C2 Hierbei ergibt sich zunächst ein rechnerischer Wert von τ = 5, 9s (somit C = 52µF) während der Entladung, der zeichnerisch durch τ = 5, 25s sowie 52µF angenähert werden kann. 5 Anlagen Als Attachment füge ich die aufgezeichneten Papyrus-Rollen (C, C2, C, C2, Parallel, Reihe) bei. Hierbei wurden die Kapazitäten jeweils zweimal durchmessen, da aufgrund ähnlicher Größe Verdacht auf Falschmessung bestand. 8