Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt

Transkript

1 Krlsruhe Institut für Technologie (KIT) Institut für Anlysis Priv.-Doz. Dr. P. C. Kunstmnn Dr. S. Wuglter WS 13/14 Aufgbe 1 Höhere Mthemtik I für die Fchrichtung Elektrotechnik und Informtionstechnik Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt Sei k Z. Um zu beweisen, dss die Funktion rcsin k : [ 1, 1] [ k 1 π, k+1 π] die Umkehrfunktion der bijektiven Funktion sin k : [ k 1 π, k+1 π] [ 1, 1] ist, zeigen wir () rcsin k (sin k (x)) = x für lle x [ k 1 π, k+1 π ] und (b) sin k (rcsin k (y)) = y für lle y [ 1, 1]. Vorbemerkung: Für lle u R gilt nch dem Additionstheorem für Sinus sin(kπ + u) = sin(kπ) cos(u) + cos(kπ) sin(u) = ( 1) k sin(u). (1) Zu (): Sei x [ k 1 π, k+1 π] beliebig. Schreibt mn x = kπ + u mit u [ π, π ], dnn ergibt sich rcsin k (sin k (x)) = rcsin k (sin(x)) = kπ + ( 1) k rcsin(sin(x)) = kπ + ( 1) k rcsin(sin(kπ + u)) Zu (b): Für jedes y [ 1, 1] gilt (1) = kπ + ( 1) k rcsin(( 1) k sin(u)) = kπ + ( 1) k ( 1) k rcsin(sin(u)) = kπ + u = x (d u [ π, π ]). sin k (rcsin k (y)) = sin(rcsin k (y)) = sin(kπ + ( 1) k rcsin(y)) (1) = ( 1) k sin(( 1) k rcsin(y)) = ( 1) k sin(rcsin(y)) = y. Um zu beweisen, dss die Funktion rccos k : [ 1, 1] [kπ, (k + 1)π] die Umkehrfunktion der bijektiven Funktion cos k : [kπ, (k + 1)π] [ 1, 1] ist, zeigen wir Wir verwenden (vgl. 9. (7)) (c) rccos k (cos k (x)) = x für lle x [kπ, (k + 1)π] und (d) cos k (rccos k (y)) = y für lle y [ 1, 1]. sin(x + π ) = cos(x) bzw. sin(y) = cos(y π ) für lle x, y R. () Zu (c): Sei x [kπ, (k + 1)π] beliebig. Dnn ist x + π [kπ + π, (k + 1)π + π ], und es gilt rccos k (cos k (x)) = rccos k (cos(x)) = rcsin k+1 (cos(x)) π () = rcsin k+1 (sin(x + π )) π = x + π π = x (nch (), d x + π [ (k+1) 1 π, (k+1)+1 π]). Zu (d): Für jedes y [ 1, 1] gilt cos k (rccos k (y)) = cos(rcsin k+1 (y) π ) () = sin(rcsin k+1 (y)) (b) = y. 1

2 Aufgbe ) Sei y >. Für jedes x [, y] gilt x e x = x x n n! = x n+1 D diese Potenzreihe um die Entwicklungsstelle den Konvergenzrdius besitzt, folgt nch Abschnitt 1.11 der Vorlesung Wegen ist y y n+ (n + ) n! = n + 1 n + b) Es gilt für lle x R x e x dx = y n+ (n + ) n! = y x n+1 n! dx = n!. y n+ (n + ) n!. y n+ ( (n + 1)! = 1 1 ) y n+ n + (n + 1)! = yn+ (n + 1)! yn+ (n + )! y n+ (n + 1)! Deshlb erhält mn mit Beispiel 1.11 () sin x dx = y n+ (n + )! = k=1 y k+1 = y(e y 1) (e y 1 y) = (y 1)e y (1 cos(x)) dx = 1 sin x = 1 (1 cos(x)). 1 dx 1 Wegen sin x + cos x = 1 für lle x R folgt hiermit Aufgbe 3 cos x dx = 1 sin x dx = 1 dx k! l= y l l! cos(x) dx = π 1 sin(π) = π. sin x dx = π π = π. 1. Schritt: f, g R[, b] f + g R[, b] und (f + g) dx = f dx + g dx. Seien Z 1, Z beliebige Zerlegungen von [, b] und Z := Z 1 Z = {x, x 1,..., x n } mit = x < x 1 < x <... < x n = b. Wegen inf(f + g)([x j 1, x j ]) = inf{f(x) + g(x) : x [x j 1, x j ]} Stz 4.6 () inf{f(x) + g( x) : x, x [x j 1, x j ]} A5,. Übltt = inf{f(x) : x [x j 1, x j ]} + inf{g( x) : x [x j 1, x j ]} = inf f([x j 1, x j ]) + inf g([x j 1, x j ]) gilt s f+g (Z) = inf(f + g)([x j 1, x j ]) (x j x j 1 ) inf f([x j 1, x j ]) (x j x j 1 ) + = s f (Z) + s g (Z) inf g([x j 1, x j ]) (x j x j 1 ) Stz in 1.1 s f (Z 1 ) + s g (Z ).

3 Aufgrund von s f+g (Z) sup{ s f+g (Z ) : Z ist Zerlegung von [, b] } = s f+g folgt s f+g s f (Z 1 ) + s g (Z ). D Z 1 eine beliebige Zerlegung von [, b] wr, ergibt sich s f+g s f + s g (Z ). D Z eine beliebige Zerlegung von [, b] wr, ergibt sich s f+g s f + s g. (3) Für ds obere Integrl wollen wir durch eine ähnliche Rechnung die Abschätzung S f+g S f + S g einsehen. Wegen gilt sup(f + g)([x j 1, x j ]) = sup{f(x) + g(x) : x [x j 1, x j ]} S f+g (Z) = Stz 4.6 () sup{f(x) + g( x) : x, x [x j 1, x j ]} A5,. Übltt = sup{f(x) : x [x j 1, x j ]} + sup{g( x) : x [x j 1, x j ]} = sup f([x j 1, x j ]) + sup g([x j 1, x j ]) sup(f + g)([x j 1, x j ]) (x j x j 1 ) S f (Z) + S g (Z) S f (Z 1 ) + S g (Z ), worus wegen S f+g (Z) inf{ S f+g (Z ) : Z ist Zerlegung von [, b] } = S f+g folgt. Anlog wie zuvor schließen wir hierus D stets s f+g S f+g gilt, erhlten wir S f+g S f (Z 1 ) + S g (Z ) S f+g S f + S g. (4) S f+g (4) S f + S g f,g R[,b] = s f + s g (3) s f+g S f+g, lso überll =. Somit ist f + g R[, b], und es gilt (f + g) dx = s f+g = s f + s g = f dx +. Schritt: α, f R[, b] αf R[, b] und (αf) dx = α f dx. Sei α und f R[, b]. Für jedes Teilintervll [y, z] von [, b] gilt und g dx. sup(αf)([y, z]) = sup{αf(x) : x [y, z]} = α sup{f(x) : x [y, z]} = α sup f([y, z]) inf(αf)([y, z]) = inf{αf(x) : x [y, z]} = α inf{f(x) : x [y, z]} = α inf f([y, z]). Dmit folgt sofort us der Definition der Ober- und Untersumme für jede Zerlegung Z von [, b] Hiermit ergibt sich S αf (Z) = αs f (Z) und s αf (Z) = αs f (Z). s αf = sup{αs f (Z) : Z ist Zerlegung von [, b]} = αs f f R[,b] = αs f = inf{αs f (Z) : Z ist Zerlegung von [, b]} = S αf. 3

4 Also ist αf R[, b], und es gilt (αf) dx = α f dx. 3. Schritt: f R[, b] f R[, b] und ( f) dx = f dx. Sei Z = {x, x 1,..., x n } mit = x < x 1 < x <... < x n = b eine beliebige Zerlegungen von [, b]. Dnn gilt s f (Z) = inf( f)([x j 1, x j ]) (x j x j 1 ) = inf{ f(x) : x [x j 1, x j ]} (x j x j 1 ) und = S f (Z) = sup{f(x) : x [x j 1, x j ]} (x j x j 1 ) = sup( f)([x j 1, x j ]) (x j x j 1 ) = Hiermit ergibt sich sup f([x j 1, x j ]) (x j x j 1 ) = S f (Z) inf f([x j 1, x j ]) (x j x j 1 ) = s f (Z). s f = sup{ S f (Z) : Z ist Zerlegung von [, b] } = S f Also ist f R[, b], und es gilt f R[,b] = s f = inf{ s f (Z) : Z ist Zerlegung von [, b] } = S f. ( f) dx = f dx. 4. Schritt: α <, f R[, b] αf R[, b] und (αf) dx = α f dx. Seien α < und f R[, b]. Wir benutzen die Drstellung α = ( 1) α. Aus dem. Schritt folgt α f R[, b] und ( α f) dx = α f dx. Hierus ergibt sich mit dem 3. Schritt: α f R[, b] und ( α f) dx = α f dx bzw. αf R[, b] und (αf) dx = α f dx. 5. Schritt: α, β R, f, g R[, b] αf + βg R[, b] und (αf + βg) dx = α f dx + β g dx. Seien α, β R und f, g R[, b]. Nch Schritt oder 4 gilt αf R[, b] mit (αf) dx = α f dx sowie βg R[, b] mit (βg) dx = β g dx. Schritt 1 liefert dher αf + βg R[, b] mit Aufgbe 4 (αf + βg) dx = (αf) dx + ) Siehe Stz E9.1 us den Ergänzungen zur HM 1. (βg) dx = α f dx + β g dx. b) Seien f R[, b] und g : [, b] R beschränkt. Es gelte f(x) g(x) für höchstens endlich viele x [, b]. Setze h := f g sowie M := {x [, b] : f(x) g(x)}. Wegen h(x) = für lle x [, b] \ M ist h uf [, b] \ M stetig. D M (nch Vorussetzung) endlich viele Elemente enthält, ist f in höchstens endlich vielen Stellen in [, b] unstetig und dmit gemäß ) über [, b] integrierbr. Wie in Aufgbe 4 gesehen, gilt mit h, f R[, b] uch g = f h R[, b]. Es verbleibt h dx = zu beweisen, denn dnn liefert Aufgbe 4: g dx = f dx. Wegen h dx h dx genügt es zu zeigen: h dx =. 4

5 Es gilt h(x) > für lle x M und h(x) = für lle x [, b] \ M. D M endlich ist, folgt s h (Z) = für jede Zerlegung Z von [, b]. Demnch ist ds untere Integrl s h = und wegen h R[, b] ist h dx = s h =. Aufgbe 5 ) Sei f : [, b] [, ) stetig und es existiere ein x [, b] mit f(x ) >. Sei ε := 1 f(x ). Nch Vorussetzung ist ε > und ufgrund der Stetigkeit von f in x existiert ein δ > mit f(x) f(x ) < ε für lle x [, b] mit x x < δ. Für solche x gilt f(x) = f(x ) ( f(x) + f(x )) f(x ) f(x) f(x ) ε ε = ε. Setzt mn α := mx{, x δ} und β := min{b, x + δ}, so gilt α < β b und f(x) ε für lle x [α, β]. Zusmmen mit der Abschätzung f(x) für lle x [, b] folgt f(x) dx = α α β f(x) dx + α β dx + ε dx + α f(x) dx + β β f(x) dx dx = (β α)ε >. b) Seien f, g : [, b] R stetige Funktionen mit f(x) g(x) für lle x [, b] und f(x ) > g(x ) für ein x [, b]. Betrchte die Funktion h : [, b] R, x h(x) := f(x) g(x). Dnn ist h ls Komposition stetiger Funktionen stetig, und es gilt h(x) für lle x [, b]. Außerdem ist h(x ) = f(x ) g(x ) >. Somit sind die Vorussetzungen des )-Teils für die Funktion h erfüllt. Dieser liefert worus mit Aufgbe 3 folgt. h(x) dx >, f(x) dx > g(x) dx 5