Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Frühjahrssemester Übung März 2014

Transkript

1 Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Frühjahrssemester 204 Übung März 204 Aufgabe 3. Messwertpaare Wir bearbeiten die Messwertpaare: i x i y i Ergebnis y x Messwertpaare als Punkte. Regressionsgerade

2 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 2 i x i y i x i! x y i! y ( x i! x )( y i! y ) ( x i! x ) 2 ( y i! y ) !! 3 2 3!4! !! Summe Wir erhalten der Reihe nach: Mittelwerte: x = 6, y = 5 Empirische Kovarianz: c x,y = 4 Empirische Varianzen: s x 2 = 8.4, sy 2 = 3.2 Steigung der Regressionsgeraden: a = = 0 2! Regressionsgerade: y = 0 2 x + 5 7! x Korrelationskoeffizient: r x,y = !

3 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 3 Aufgabe 3.2 Normetanephrin Es wurden 32 Patienten sowohl vom Labor des Spitals A wie auch des Spitals B untersucht. Dabei ergaben sich die unten angegebenen Daten. Der Datensatz ist auch auf dem Netz (Datensatz ). Bearbeiten Sie diesen Datensatz. a) Streudiagramm b) Korrelationskoeffizient c) Ist eine Regressionsgerade (lineare Trendlinie) sinnvoll? Datensatz: Korrelation Normetanephrin Pat Nr. Normeta. Normeta. µmol/l (A) µmol/l (B)

4 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 4 a) Streudiagramm Streudiagramm b) Korrelationskoeffizient = c) Eine Trendlinie ist nicht sinnvoll. Es besteht keine kausale Abhängigkeit von den Daten des Spitals A zu den Daten des Spitals B. Aufgabe 3.3 Großvaters Lexikon Großvater hat ein Lexikon in vier Bänden. Leider stehen sie nicht immer in der richtigen Reihenfolge auf dem Buchgestell. Was ist die richtige Reihenfolge? Was ist die falscheste Reihenfolge? Wie groß ist bei einer falschen Reihenfolge der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient, verglichen mit der Reihenfolge, 2, 3, 4? Für zum Beispiel die Reihenfolge 3,, 2, 4 erhalten wir: Richtige Reihenfolge Falsche Reihenfolge Rangdifferenz Quadrat davon Summe 6 Korrelationskoeffizient nach Spearman 0.4

5 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 5 Für die totale Übersicht ergibt sich: Es gibt 4! = 24 Rangreihenfolgen. Die Korrelationskoeffizienten variieren zwischen + ( richtige Reihenfolge) und - (total verkehrte Reihenfolge). Reihenfolge Rangkorrelationskoeffizient

6 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 6 Aufgabe 3.4 Ranking von Gymnasien Die Gymnasien im Kanton Zürich sind 2008/09 einerseits von den eigenen Schülerinnen und Schülern und andererseits von der ETH-Zürich beurteilt worden. Die Tabelle gibt Auskunft über die beiden Rangierungen. Datensatz auf dem Netz (Datensatz 2). Quelle: Bildungsdirektion Kanton Zürich. Kantonsschule Rang Schülerbeurteilung ETH Ranking Limmattal 3 Hohe Promenade 2 2 KME 3 8 Rämibühl MNG 4 5 Zürcher Unterland 5 4 Stadelhofen 6 6 Zürcher Oberland 7 5 Glattal 8 7 Büelrain 9 2 Enge 0 7 Oerlikon Im Lee 2 8 Rämibühl RG 3 0 Rychenberg 4 Rämibühl LG 5 9 Wiedikon 6 4 Freudenberg 7 6 Hottingen 8 3 Korrelieren die beiden Beurteilungen? Wir berechnen den Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman. Rang Schülerbeurteilung ETH Ranking d d^2 Limmattal Hohe Promenade KME Rämibühl MNG Zürcher Unterland 5 4 Stadelhofen Zürcher Oberland Glattal 8 7 Büelrain Enge Oerlikon 0 0 Im Lee Rämibühl RG Rychenberg Rämibühl LG Wiedikon Freudenberg Hottingen

7 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 7 Summen Spearman Wir haben praktisch keine Korrelation. Aufgabe 3.5 Randomized response - Technik Mittels moderner Interviewmethoden, den so genannten randomized response- Techniken, kann man heute den Befragten auch peinliche Wahrheiten entlocken. Die Befragten wählen zufällig eine aus drei Fragen aus und beantworten diese mit ja oder nein. Der Interviewer weiß nicht, welche Frage jeweils ausgelost wurde, er erhält lediglich die Antwort ja oder nein. Die drei Fragen lauten: Essen Sie gerne Spinat? Waren Sie schon einmal in London? Haben Sie unversteuertes Vermögen auf einer Bank im Fürstentum Liechtenstein? Es interessiert nur die Antwort auf die dritte Frage. In zwei unabhängigen Separatumfragen wird der Anteil der Spinatliebhaber (63%) und der Londontouristen (85%) ermittelt. Für die eingangs geschilderte Umfrage ergeben sich 52% ja. Gesucht ist ein Schätzwert für den Anteil der Steuerbetrüger. Ergebnis 8% Lösung 3! ! ! x = 0.52 x = 0.08 = 8% Aufgabe 3.6 Vererbbare Krankheit Die sehr seltene Krankheit C sei eine einfach autosomal dominant vererbte Krankheit. Dies bedeutet, dass die Nachkommen eines Betroffenen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50 % ebenfalls betroffen sein können je nachdem, ob das kranke Elternteil ein oder zwei mutierte Allele besitzt (zwei mutierte Allele = 00 % Wahrscheinlichkeit für eine Erkrankung). In den folgenden Überlegungen gehen wir davon aus, dass das kranke Elternteil nur ein mutiertes Allel besitzt. Die Krankheit kann auch vor ihrem Ausbruch durch einen Test festgestellt werden. Wir nehmen an, dass der Test 00% korrekt reagiert.

8 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 8 Bemerkung: Im Prinzip entspricht diese Krankheit C der Chorea Huntington. Es gibt aber Abweichungen in Einzelheiten. Szenario : Astrid erfährt von ihrer Schwester Anne, dass bei Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid auch krank? Szenario 2: Astrid teilt ihren beiden Töchtern Bea und Birgit mit, dass bei deren Tante Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Bea entschließt sich für einen Test, dieser ist negativ. Bea ist also nicht krank. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid krank? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Birgit krank? Szenario 3: Astrid teilt ihren beiden Töchtern Bea und Birgit mit, dass bei deren Tante Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Bea entschließt sich für einen Test, dieser ist positiv. Bea ist also krank. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid krank? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Birgit krank? Szenario 4: Astrid teilt ihren beiden Töchtern Bea und Birgit mit, dass bei deren Tante Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Beide Töchter entschließen sich für einen Test. Beide Testresultate sind negativ. Keine der beiden ist krank. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid trotzdem krank? Szenario : Astrid erfährt von ihrer Schwester Anne, dass bei Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid auch krank? Ein Elternteil von Anne und Astrid ist krank (genau: mindestens ein Elternteil. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Elternteile krank sind, ist aber so gering, dass sie in unseren Überlegungen vernachlässigt wird). Astrid ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% krank. Szenario 2: Astrid teilt ihren beiden Töchtern Bea und Birgit mit, dass bei deren Tante Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Bea entschließt sich für einen Test, dieser ist negativ. Bea ist also nicht krank. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid krank? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Birgit krank? Kombinatorische Übersicht: Astrid Bea Birgit P nicht krank nicht krank nicht krank 50% nicht krank nicht krank krank 0% nicht krank krank nicht krank 0% nicht krank krank krank 0% krank nicht krank nicht krank 2.5% krank nicht krank krank 2.5% krank krank nicht krank 2.5% krank krank krank 2.5%

9 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 9 Beim negativen Testresultat von Bea sind noch die folgenden Fälle relevant: Astrid Bea Birgit P nicht krank nicht krank nicht krank 50% nicht krank nicht krank krank 0% krank nicht krank nicht krank 2.5% krank nicht krank krank 2.5% Die Wahrscheinlichkeit, dass Astrid krank ist, beträgt also: P( Astrid krank Bea nicht krank) = 2.5%+2.5% 50%+0%+2.5%+2.5% = 3 Das lässt sich auch an einem Baum illustrieren: Astrid krank 2 Astrid nicht krank 2 Bea krank 2 Bea nicht krank 2 Bea krank 0 Bea nicht krank Wir lesen daraus ab: Baum P( Astrid krank Bea nicht krank) = Die Wahrscheinlichkeit, dass Birgit krank ist, beträgt: P( Birgit krank Bea nicht krank) = 0%+2.5% 50%+0%+2.5%+2.5% = 6 Das zweite Resultat lässt sich einfacher herleiten: Die Wahrscheinlichkeit, dass Birgit krank ist, ist halb so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass Astrid krank ist. Szenario 3: Astrid teilt ihren beiden Töchtern Bea und Birgit mit, dass bei deren Tante Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Bea entschließt sich für einen Test, dieser ist positiv. Bea ist also krank. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid krank? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Birgit krank? = 3

10 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 0 Bei positivem Testresultat von Bea sind folgende Fälle zu untersuchen: Astrid Bea Birgit P nicht krank krank nicht krank 0% nicht krank krank krank 0% krank krank nicht krank 2.5% krank krank krank 2.5% Astrid ist also auf jeden Fall krank (00%). Die Wahrscheinlichkeit, dass Birgit krank ist, beträgt 2 = 50%. Szenario 4: Astrid teilt ihren beiden Töchtern Bea und Birgit mit, dass bei deren Tante Anne die Krankheit C diagnostiziert worden ist. Beide Töchter entschließen sich für einen Test. Beide Testresultate sind negativ. Keine der beiden ist krank. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Astrid trotzdem krank? Aus der kombinatorischen Übersicht bleibt: Astrid Bea Birgit P nicht krank nicht krank nicht krank 50% krank nicht krank nicht krank 2.5% Die Wahrscheinlichkeit, dass Astrid krank ist, beträgt also 5 = 20%. Aufgabe 3.7 Doppelter HIV Test Im Lande X sind 0.5% der Bevölkerung HIV positiv. Ein HIV-Test reagiert bei HIVpositiven Personen mit 99% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV-negativen Personen gibt er mit 3% Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives Resultat. Das Testverfahren geht nun so vor sich, dass zunächst jede Person mit diesem Test getestet wird. Da es bekanntlich in denjenigen Fällen mit einem positiven Testresultat viele Fehlalarme hat, wird bei positivem Testresultat der Test wiederholt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, bei der auch der zweite Test ein positives Resultat ergibt, tatsächlich HIV-positiv ist? b) Wie viele Tests müssen bei einer flächendeckenden Untersuchung mit diesem Testverfahren im Mittel pro Person durchgeführt werden? Verwenden Sie die volle Genauigkeit Ihres Rechners.

11 Mathematik 2 für Naturwissenschaften a) Für die erstmalige Durchführung des Tests gilt folgender Baum: Test HIV Test HIV Test Test Baum Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit einem positiven Testresultat beim ersten Test nun tatsächlich HIV-positiv ist, erhalten wir: P = = = ! 4% Für den Nachtest gilt somit der Baum: HIV Test Test HIV Test Test Baum 2 Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit einem positiven Testresultat auch beim zweiten Test tatsächlich HIV-positiv ist, erhalten wir: P 2 = = = ! 85%

12 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 2 b) Im ersten Test erhalten = =3.48% ein positives Testresultat und müssen ein zweites Mal getestet werden. Somit müssen im Mittel.0348 Tests pro Person durchgeführt werden. Aufgabe 3.8 Rot-grün-farbenblind In der Bevölkerung von Stochastikan sind 45% Männer. Unter den 3% rot-grünfarbenblinden Mitgliedern dieser Bevölkerung sind allerdings 85% Männer. a) Wie viel Prozent der Männer sind rot-grün-farbenblind? b) Wie viel Prozent der Frauen sind rot-grün-farbenblind? Ergebnis a) 5.6% b) 0.8% a) Es sei x der Anteil der rot-grün-farbenblinden Männer an der Gesamtbevölkerung. Dann ist: 0.45x = 0.03! 0.85 x = 0.03!0.85 = b) Es sei y der Anteil der rot-grün-farbenblinden Frauen an der Gesamtbevölkerung. Dann ist: 0.55y = 0.03! 0.5 y = 0.03! = 0.008

13 Mathematik 2 für Naturwissenschaften 3 Aufgabe 3.9 Mittlerer Gewinn? Freiwillige Aufgabe Spiel mit Münzenwurf. Wenn Sie ganz oben oder ganz unten ankommen, ist das Spiel zu Ende. Mit welchem Reingewinn können Sie rechnen? Fr. 3.- Gewinn Kopf Zahl Zahl Eingang Kopf Fr..- Verlust Game of life Ergebnis µ = 3 P( Verlust) = ! = 2 P( Gewinn) = # P( Verlust) = 3! " ( 4 ) k = 2 k=0 # 4 = 2 3 µ = #$ P( Verlust) + 3$ P( Gewinn) = #$ $ 3 = 3