Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr (1. Termin)

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1 Studiengang: Matrikelnummer: Z Punkte Note Prüfungsklausur A zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr 1. Termin Zugelassene Hilfsmittel: A4-Blätter eigene, handschriftliche Ausarbeitungen aber keine Vorlesungs- oder Übungsmitschriften, Formelsammlungen aber keine Lehrbücher, die vorgegebene Tabelle von Grenzwerten, Reihen, Grundintegralen und Integrationsformeln, Taschenrechner auch grafikfähig aber ohne Computer-Algebra-System CAS. Bearbeiten Sie bitte jede Aufgabe auf einem separaten Blatt bzw. auf separaten Blättern. Das Aufgabenblatt ist mit abzugeben. Vergessen Sie bitte nicht, auf dem Aufgabenblatt und jedem Lösungsblatt Ihre Matrikelnummer gut leserlich anzugeben. Der Lösungsweg ist stets anzugeben, er sollte in allen Schritten durch eigene Rechnungen deutlich erkennbar, begründet und nachvollziehbar sein. Das gilt insbesondere für auftretende Integrale, die durch Anwendung geeigneter Integrationsmethoden zu lösen sind. Nur dann kann nach detaillierter Bewertung die volle Punktzahl erreicht werden. Viel Erfolg! Aufgabe 1: 8 Punkte a Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge der komplexen Zahlen z x + iy, für die gleichzeitig die beiden Bedingungen z Re z Im z und 4z 8 erfüllt sind. 5i b Berechnen Sie alle z C, für die gilt: z iz + i. Geben Sie die i Ergebnisse in arithmetischer algebraischer und exponentieller Form an. Runden Sie auf Nachkommastellen. a Mit z x + iy x, y R führt die erste Bedingung z Re z Im z auf x + iy x y iy y y y Für y > lautet y y < y 1 Für y < lautet y y 1 y <. Offenbar ist auch y Lösung von, so dass sich als Lösung zur ersten Bedingung der Streifen 1 y 1 ergibt.

2 Die zweite Bedingung 4z 8 4 z 8 z beschreibt eine Kreisscheibe einschließlich des Randes vom Radius um den Ursprung. Die Lösung der Gesamtaufgabe ist der Durchschnitt beider Mengen: b z iz + i 5i i z i 5i + i i + i z + 1 i 1 z i. 5 1i + 1 i 1 Wir stellen die rechte Seite a i in trigonometrischer oder exponentieller Form dar: Betrag: r a + 8, Argument: tan ϕ 1, da die Zahl im 3. Quadranten liegt, ist ϕ arg a arctan Damit haben wir z 8 e 5 4 +ki mit den beiden Lösungen z k 4 8 e 5 8 +ki, k, 1, also z 4 8 e 5 8 i 4 8 z e 13 8 i 4 8 cos i sin 5 8 cos i sin i, i.

3 Aufgabe : Gegeben sei die reellwertige Funktion 9 Punkte f a x x 4 x a mit dem Parameter a R, a >. a Bestimmen Sie den Definitionsbereich, die Nullstellen sowie das Symmetrieverhalten von f a. Ermitteln Sie die Unstetigkeitsstellen und klassifizieren Sie deren Art mit Hilfe der links- und rechtsseitigen Grenzwerte von f a an diesen Stellen. b Ermitteln Sie die Monotonieintervalle und danach die Lage und Art aller lokalen Extremstellen von f a. c Bestimmen Sie f ax und geben Sie den Wertebereich von f a an. x ± a Definitionsbereich: Nullstellen: x a D fa : x R, x ±a f a x x ± Symmetrie: f a x x 4 x a x 4 x a f a x, gerade Funktion Symmetrie zur y-achse Grenzwerte an Unstetigkeitsstellen mit z : x a : f ax f ax a 4 x a + x a }{{} > z 1 f ax f ax a 4 x a x a + }{{} > z + 1 z z b Man beachte, dass die mit bezeichneten Gleichheitszeichen jeweils aus der Symmetrie von f a folgen. Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei x ±a. Ableitung: f ax x x a x x 4 x a x 4 a x a

4 c Monotonie: f ax x 4 a x a x 4 a x Bei Beachtung der Polstellen ergeben sich daher folgende Monotonieintervalle: Die Funktion f ist monoton wachsend auf, a und auf a, und monoton fallend auf, a und auf a,. An der Stelle x mit dem Funktionswert f 4 liegt daher ein lokales a Maximum vor. Grenzwerte: f x 4 ax x ± x x a Wertebereich: x 1 4 x 1 a x 1 W fa : f a x R\ 4 a, 1 ], 4 a ] 1, Folgt aus Grenzwerten, Monotonie und Funktionswert am Maximumstelle. Aufgabe 3: Bestimmen Sie, falls sie existieren, 6 Punkte a den Folgengrenzwert n n n 1 n b den rechtsseitigen Funktionsgrenzwert x a+ x a lnx a mit a >. a n n n n 1 n n n n n n 1 n 1, n n n n 1 n 1 1n n wobei die Stetigkeit der Wurzelfunktion ausgenutzt wurde. Man beachte, dass 1 n n gegen geht, weil es zwischen 1 n und 1 n liegt. Ein Lösungsversuch mit der L Hospitalschen Regel ist hier nicht angezeigt, da man dafür den Folgengrenzwert auf den Grenzwert einer Funktion einer reellen Veränderlichen zurückführen müsste, bei der insbesondere Zähler und Nenner differenzierbar sind. Das ist wegen des Ausdrucks 1 n nicht ohne Weiteres möglich.

5 b x a x a+ lnx a [ ] lnx a x a+ 1 x a a xx x a+ x a [ ] L Hosp. x a+ a xx x a+ x + a x x a 1 x a a a. Aufgabe 4: Gegeben sei die Funktion fx ln4 x, x <. 6 Punkte a Berechnen Sie f x und stellen Sie eine Partialbruchzerlegung der erhaltenen Funktion her. b Berechnen Sie, ausgehend vom Ergebnis von Aufgabe a, einige weitere Ableitungen, bis Sie eine allgemeine Formel für f n x erkennen können. Geben Sie diese an! c Stellen Sie die Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt x auf. a Wir finden f x x 4 x x x x +. Also lautet der Ansatz für die Partialbruchzerlegung x x x + A x + B x +. Nach Multiplikation mit dem Hauptnenner erhalten wir x Ax + + Bx A + Bx + A B, so dass ein Koeffizientenvergleich auf die Gleichungen A + B, A B führt. Alternativ kann man auch in x bzw. x einsetzen, um A und B zu erhalten. Sie haben die Lösungen A B 1, so dass wir erhalten. f x 1 x x

6 b Wir leiten weiter ab: f 1 x x + 1 x f x x x 3 f 4 x 3 x x 4. Wir erkennen das allgemeine Schema, nach dem diese Ableitungen gebildet werden und folgern f n x 1n 1 n 1! x + n + 1n 1 n 1! x n. c Speziell ist f ln 4 und 1 f n 1 n 1 n 1! + 1 n n k 1!, n k, k 1, n k 1, k 1,,.... Damit lautet die Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt : n f n x n ln 4 n! k1 k 1! k 1 k! xk ln 4 k1 x k k k. Aufgabe 5: Gegeben sei die -periodische Funktion fx mit, x <, fx 1, x,, < x <. a Skizzieren Sie die Funktion auf dem Intervall [, ]. 6 Punkte b Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten der Funktion f, geben Sie die ersten vier von verschiedenen Koeffizienten an und schreiben Sie die Fourierreihe von f auf. c Geben Sie f an. Wogegen konvergiert die Fourierreihe von f an der Stelle? a Skizze:

7 b Fourierkoeffizienten: Weil fx f x gilt, ist die Funktion gerade bzw. achsensymmetrisch und deshalb gilt b k für alle k 1,,.... Weiterhin ist die Funktion -periodisch. Für Fourierkoeffizienten a k gilt: a 1 a k 1 fx dx oder alternativ: a 1 fx coskx dx sinkx k k sink fx dx 1 fx dx 1 dx 1 1 dx 1, fx coskx dx a k 1 fx coskx dx 1 coskx dx 1 sinkx k 1 sink k sin k 1 1, oder alternativ: a 1 fx dx 1 1 dx + 1 dx , a k 1 fx coskx dx 1 coskx dx + 1 sinkx k + 1 sinkx k 1 k Für gerade k l, l 1,..., gilt sin l sin l 3 k sink 3 coskx dx coskx dx sink sink 3. und sin l 3 sin 3l. Damit erhält man, dass a l für alle l N ist. Für ungerade k l + 1, l, 1,,..., gilt sin l + 1 sin l + 1 l und sin l sin 3l + 3 sin sin l + l + + l l+1.

8 Folglich gilt a l+1 1l l l, l, 1,,.... l + 1 Die ersten 4 von Null verschiedenen Fourierkoeffizienten sind damit a 1, a 1, a 3 3, a 5 5. Das hätte man auch ohne allgemeine Formel für die Fourierkoeffizienten ausrechnen können. Die Fourierreihe ist F f x 1 + l 1 l cosl + 1x. l + 1 c Der Funktionswert an der Stelle ist f 1 und die Fourierreihe konvergiert an der Stelle gegen den Mittelwert aus rechts- und linksseitigem Grenzwert der Funktion f, d. h. F f Aufgabe 6: Gegeben seien die Matrix A r und der Vektor b s Punkte a Berechnen Sie die Determinante von A in Abhängigkeit von r. Für welche Werte von r ist A invertierbar? b Für welche Werte von r und s besitzt das lineare Gleichungssystem A x b i keine, ii unendlich viele und iii genau eine Lösung? c Stellen Sie für r s 1 den Vektor b als Linearkombination der Spalten a 1, a und a 3 der Koeffizientenmatrix A dar. d Geben Sie die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems für r 3 an. a Als Determinante ergibt sich z. B. mit der Regel von Sarrus det A r + 3. A ist genau dann invertierbar, wenn det A gilt, d. h. für r 3. b x 1 x x 3 r 3 s r s r + 3 s + 3 Somit hat das System für i r 3 s keine Lösung, ii r s 3 unendlich viele Lösungen,

9 iii r 3 genau eine Lösung. c Die Koeffizienten der Linearkombination sind nichts anderes als die Koordinaten des Lösungsvektors. Einsetzen von r s 1 in die -Zeilen ergibt x 1 x + x 3 3 x 3x 1 + x 3 6 x 3 3 4x 1 4 x 1 1 Also ist b a 1 + a + 3 a 3. d Für das homogene Gleichungssystem setzen wir in obigem Gauß-Schema die rechte Seite und erhalten für r 3 die Lösung 1 x t 1, t R. 3 Zusatz - Aufgabe: 4 arctan x Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integral dx 1 + x konvergiert. Geben Sie im Falle der Konvergenz seinen Wert an. 3 Punkte 4 arctan x A 4 arctan x dx dx 1 + x A 1 + x tarctan x, dt dx 1+x A arctan A arctan A 4t dt A t arctan A A, d. h. das uneigentliche Integral konvergiert und hat den Wert.