Bearbeiten Sie 6 der 8 Aufgaben nach Ihrer Wahl.

Transkript

1 Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL (Prof. Dr. Lutz Arnold) Sommersemester Bitte gut leserlich ausfüllen: Name: Vorname: Matr.-nr.: Wird vom Prüfer ausgefüllt: Aufgabe Punkte Wichtige Hinweise: Bearbeiten Sie 6 der 8 Aufgaben nach Ihrer Wahl. In jeder der Aufgaben sind maximal je 10 Punkte erreichbar. Machen Sie bei Ihren Antworten von allen Zahlenangaben Gebrauch (keine allgemeinen Lösungen oder Zwischenschritte!). Notation und Symbole sind aus der Vorlesung übernommen. Die Bearbeitungszeit beträgt für die Klausurteile Dynamische Methoden und Quantitative Methoden zusammen 90 Minuten. Zugelassenes Hilfsmittel: nicht-programmierbarer Taschenrechner. Bitte überprüfen Sie vor Beginn der Bearbeitung, ob Ihr Aufgabenteil alle Seiten enthält. Er beginnt mit Seite 1 und endet mit Seite 9. 1

2 Aufgabe 1: Lineare DGLs 1. Ordnung Betrachten Sie die DGL x t = 3 x t 1 2. Welcher konstante Mittelwert erfüllt diese DGL? Eliminieren Sie die Konstante, und geben Sie die DGL in x t an, die die Abweichungen von x t vom in Aufgabenteil berechneten Mittelwert angibt. Probieren Sie eine Lösung der Form x t = Aλ t als Lösung der DGL aus Aufgabenteil. Bestimmen Sie den Eigenwert λ und die allgemeine Lösung der DGL aus Aufgabenteil. Sei x 0 = 2 gegeben. Berechnen Sie x 0. Wie lautet die spezielle Lösung der DGL in x t aus Aufgabenteil? Berechnen Sie x 6 und x 6. 2

3 Aufgabe 2: Stabilität in linearen DGLs 1. Ordnung Wie lautet die allgemeine Lösung der DGL x t = ax t 1 (versuchen Sie es mit x t = Aλ t )? Skizzieren Sie die Entwicklung von x t im Zeitablauf in den folgenden Fällen (in jeweils einem Diagramm mit t und x t an den Achsen). a > 1 und A > 0; 0 < a < 1 und A < 0; 1 < a < 0 und A > 0; a < 1 und A < 0. 3

4 Aufgabe 3: Multiplikatorprozess Betrachten Sie die Gütermarktgleichgewichtsbedingung Y t = C + cy t 1 + I + G, 0 < c < 1. Illustrieren Sie die Dynamik des BIPs in einem Diagramm, in dem Sie die Güternachfrage (den Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung) und Y t = Y t 1 über Y t 1 abtragen. Berechnen Sie den Steady-state-Wert des BIPs Y. Konvergiert Y t gegen Y oder nicht? Ausgehend von einem Steady state mit BIP Y 0 = Y, werden in t = 1 die Staatsausgaben um G erhöht. Berechnen Sie Y 1. Um wieviel ist Y 1 höher als Y aus Aufgabenteil? Berechnen Sie aus Ihrer Antwort zu Aufgabenteil Y / G, d.h. den langfristigen Anstieg des BIPs. 4

5 Aufgabe 4: Nichtlineare DGLs 1. Ordnung Betrachten Sie die DGL x t = f(x t 1 ) = 1 2 ln(1 + x t 1). Berechnen Sie f(0). Berechnen Sie f (x t 1 ) und f (0). Wie lautet gemäß Ihren Antworten zu den Aufgabenteilen und die linearisierte Version der DGL? Konvergiert oder divergiert die Lösung dieser linearisierten DGL? Veranschaulichen Sie die nichtlineare DGL anhand einer Grafik, in der Sie x t = f(x t 1 ) und x t = x t 1 über x t 1 abtragen (berücksichtigen Sie auch negative Werte für x t 1 ). Illustrieren Sie mit Pfeilen, wie sich x t im Zeitablauf entwickelt. Zeigen Sie, dass für x 0 1 keine Lösung existiert. 5

6 Aufgabe 5: Lineare DGLs 2. Ordnung Wie lautet die lineare DGL 2. Ordnung ohne Konstante? Mit Lösungen welcher Form probiert man es? Leiten Sie die quadratische Gleichung her, die die Eigenwerte λ der DGL bestimmt. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit man zwei reale Eigenwerte erhält? Zeigen Sie, dass eine Linearkombination der zu den beiden Eigenwerten gehörigen Lösungen ebenfalls eine Lösung (die allgemeine Lösung) ist. Wie lautet, gegeben die Bedingung aus Aufgabenteil, die Bedingung für eine stabile Lösung? 6

7 Aufgabe 6: Monetaristisches Grundmodell Wie lauten die beiden Gleichungen, aus denen das monetaristische Grundmodell mit konstantem Geldmengenwachstum (d.h. mit 2 m t = 0) besteht? Lösen Sie die Quantitätsgleichung aus Aufgabenteil nach p t auf, und bilden Sie zwei Mal Differenzen. Setzen Sie 2 p t aus der Phillips-Kurve ein. Formen Sie Ihr Ergebnis zu Aufgabenteil so um, dass Sie eine lineare DGL 2. Ordnung in y t (in der Form y t + = 0) erhalten. Zeigen Sie, dass die Eigenwerte λ die charakterteristische Gleichung erfüllen. λ 2 2φ γ + φ λ + φ γ + φ = 0 Zeigen Sie, dass es für beliebige positive Werte von γ und φ keine realen Eigenwerte gibt. 7

8 Aufgabe 7: Aktienkurs-Bubbles Seien x t und ε t der Kurs bzw. die (noch in der Kaufperiode ausgezahlte und sicher wiederangelegte) Dividende einer Aktie und r der risikolose Zins. Formulieren Sie die Gleichung, die besagt, dass ein gleiches erwartetes Vermögen aus Anlage von ex t in festverzinslichen Titeln bzw. bei Anlage in Aktien resultiert. Nehmen Sie an, dass die Dividende konstant ist: ε t = ε. Welcher konstante Kurs x t löst die DGL aus Aufgabenteil? Dieser konstante Kurs wird als Fundamentalkurs f t definiert. Die Abweichung zwischen einem Kurs x t und f t ist eine Bubble b t. Ermitteln Sie aus Ihrer Antwort zu Aufgabenteil die Erwartungs-DGL, die eine Bubble erfüllen muss, damit x t = f + b t ein Gleichgewichtskurs ist. Wie hängt b t+1 von b t ab, wenn die Bubble mit Wahrscheinlichkeit p um den Faktor (1 + r)/p wächst und mit der Gegenwahrscheinlichkeit platzt? Zeigen Sie, dass die Bubble aus Aufgabenteil die Erwartungs-DGL aus Aufgabenteil erfüllt. 8

9 Aufgabe 8: Cake eating Betrachten Sie das folgende dynamische Optimierungsproblem (ohne Diskontierung): mit gegebenem x 0. max {c t+i,x t+i } 11 i=0 11 i=0 ln c t+i u.d.n.: x t+1 = x t c t Stellen Sie die Bellman-Gleichung für dieses Problem auf (mit Nebenbedingung). Leiten Sie aus der Bellman-Gleichung die beiden notwendigen Optimalitätsbedingungen her. Leiten Sie aus den notwendigen Bedingungen aus Aufgabenteil eine DGL in c t her. Wie hoch ist c t für t = 0,..., 11? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabenteil. Interpretieren Sie das Problem als Cake-eating -Problem. Was besagt in dieser Interpretation die Lösung aus Aufgabenteil? 9