Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik
|
|
- Rosa Kranz
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
2 17. April 2012 VORLESUNG 1 Einführung 2
3 Motivation! Graphen wichtige abstrakte Datenstrukturen! Mächtiges Werkzeug zur Modellierung komplexer Probleme! Allgegenwärtig in täglichen Anwendungen! Routenplanung! Suchmaschine! Matching: Partnersuche! Netzwerkauslastung und -analyse! Energieversorgung! Zunehmende Komplexität è Parallele Verarbeitung! Herausforderung: Implementierung von Graphenalgorithmen mit guter paralleler Performanz! Analyse mit Methoden der Matrixalgebra häufig sehr nützlich 3
4 Lernziele! Verständnis für Zusammenhang zwischen Graphen und Matrizen! Auftretende Fragestellungen aus der Graphentheorie auf ihren algorithmischen Kern reduzieren! Analyse und/oder Lösung mit Techniken der linearen Algebra! Effiziente praktische Lösung der behandelten Probleme ist wichtiger Bestandteil der Übungen! Geht auch auf Aspekte der Parallelverarbeitung ein! Vorgestellte Methoden selbstständig auf verwandte Fragestellungen anwenden 4
5 Vorlesungsübersicht! Dualität von Graphen und Matrizen! Zusammenhangskomponenten, kürzeste Wege! Zentralitäten, Clusteranalyse! Tensoren! Teilgrapherkennung! Optimierung von Matrixstrukturen für Graphenalgorithmen! Spektrale Graphentheorie! Lastbalancierung mit Diffusion! Visualisierung von Graphen 5
6 Organisatorisches! Vorlesung und Übung kombiniert, dienstags ab 14:45 Uhr! Sprechstunde: Nach Vereinbarung ( )! Betreuung von Studien-/Bachelor- sowie Diplom- und Masterarbeiten! Webseite zur Vorlesung: Literatur: 10
7 Abschnitt 1: EINLEITUNG UND MOTIVATION 11
8 Was ist ein Algorithmus?! Definition: Ein Algorithmus ist eine eindeutige Beschreibung eines Verfahrens zur Lösung einer bestimmten Klasse von Problemen. Schlüsselworte: Genauer: Ein Algorithmus ist eine Menge von Regeln für ein! Verfahren, Eindeutige um Beschreibung aus gewissen Eingabegrößen bestimme! Ausgabegrößen eines Verfahrens herzuleiten. Dabei muss! zur 1. Lösung Das Verfahren in einem endlichen Text beschreibbar sein. 2. Jeder Schritt des Verfahrens auch tatsächlich ausführbar sein. 3. Der Ablauf des Verfahrens zu jedem Zeitpunkt eindeutig definiert sein.! einer Klasse von Problemen 12
9 Kriterien für Algorithmen Ø Algorithmen müssen korrekt sein. Benötigen Korrektheitsbeweise. Ø Algorithmen sollen zeit- und speichereffizient sein. Benötigen Analysemethoden für Zeit- und Speicherbedarf. Ø Analyse basiert in der klassischen Algorithmik nicht auf empirischen Untersuchungen, sondern auf mathematischen Analysen. Man nutzt hierfür Pseudocode und Basisoperationen. Ø Algorithmentechnik: Zyklus von Entwurf, Analyse, Implementierung und Experiment 13
10 Definition: Multimenge! Eine Menge E mit einer Vielfachheit # E : E 0 ihrer Elemente heißt Multimenge.! Die Kardinalität von E ist E = # E e E (e).! Kurzschreibweise:! # e für # E (e) e k E e E!, falls und # e = k 14
11 Definition: Graph, Multigraph! Ein mglw. gerichteter Graph (bzw. Multigraph) ist ein Paar G = (V, E) aus einer endlichen Menge V von Knoten und einer Menge (bzw. Multimenge) E V V von Kanten.! Kanten e {(v, v) v V} nennen wir Schleifen.! Kanten e E in einem Multigraphen mit k > 1 (Mehrfachauftreten) heißen Multikanten.! Ein Graph ist schlicht (simple), wenn er weder Schleifen noch Multikanten hat. 15
12 Beispiel! V={1, 2, 3,4}! E={(1,2), (1,4),(2,3), (3,3),(4,1)}mit #(2,3)=2 und #e=1 für e E \ {(2,3)}! (2,3) ist eine Multikante! (3,3) ist eine Schleife! 1 ist Vorgänger von 2! 2 ist Nachfolger von 1! 1 ist adjazent zu 2! (1, 2) ist inzident zu 1 (bzw. 2) 16
13 Jetzt sind Sie dran:! Frage: Welche Matrizen kennen Sie, um einen Graphen zu repräsentieren?! Adjazenzmatrix! Laplacematrix! (Knoten-Kanten-Inzidenzmatrix) 17
14 Historie! Dualität zwischen einem schlichten Graphen (ohne weitere Information) und einer Adjazenzmatrix lange bekannt! Matrixalgebra etabliertes Werkzeug in der Graphentheorie! Allerdings: In algorithmischer Software wurden meist andere Repräsentationen gewählt! Frage: Mögliche Gründe?! Speichereffizienz! Semantische Informationen! Anschaulichkeit 18
15 Vorteile der Nutzung der Dualität! Reduktion der syntaktischen Komplexität:! Manche Graphenalgorithmen sind kompakter und einfacher verständlich, wenn sie Array-basiert aufgeschrieben werden! Personenkreise mit Kenntnissen in linearer Algebra haben leichteren Zugang zur Graphentheorie (Ingenieure, Physiker,...)! Einfache Implementierung:! Nutzung der existierenden Software-Infrastruktur für parallele Berechnungen auf dünn besetzten Matrizen! Weniger Fehler durch Wiederverwendung! Bessere Optimierung durch Spezialisten! Geschwindigkeit:! Array-basierte Algorithmen heben stärker das Muster des Datenzugriffs hervor! Dadurch bessere Optimierung möglich 19
16 Nachteile der Nutzung der Dualität! Frage: Was fällt Ihnen ein?! Mangelnde Anschaulichkeit bei manchen Problemen! Bibliotheken ggf. nicht kostenlos erhältlich 20
17 Beispielalgorithmen und -anwendungen! APSP: Vorverarbeitung bei der Routenplanung! Partitionierung und Lastbalancierung: Effizientes paralleles Rechnen! Netzwerkanalyse: Hauptakteure in einem (sozialen) Netzwerk! Tensorzerlegungen: Dokumente klassifizieren! Visualisierung von Graphen: Technische Zeichnungen, Geschäftsdatenanalyse 21
18 ZUSAMMENHANG 22
19 Zusammenhangskomponenten! Anwendung: Aufteilung eines Web-Graphen in kleinere Teile! Mögliche Aufteilung: Starke Zusammenhangskomponenten! Mögliche Gründe:! Analyse des Graphen mit Algorithmus, der Zusammenhang erfordert! Der gesamte Graph ist zu groß für die Analyse!... [ content/image/1-s2.0-s gr4.jpg] 23
20 Zusammenhang Definition (Zusammenhang):! Ein Multigraph G=(V,E) heißt stark zusammenhängend, falls er für jedes Paar u,v V sowohl einen (u,v)-weg als auch einen (v,u)-weg enthält.! G heißt (schwach) zusammenhängend, wenn der symmetrische Multigraph (Kanten doppelt gerichtet) zu G stark zusammenhängend ist. 24
21 Mehrfacher Zusammenhang! Ein ungerichteter Multigraph G heißt k-fach knotenzusammenhängend, falls jeder durch Entfernen von höchstens k-1 beliebigen Knoten (und aller inzidenten Kanten) entstehende Teilgraph von G zusammenhängend ist.! G heißt k-fach kantenzusammenhängend, falls jeder durch Entfernen von höchstens k-1 beliebigen Kanten entstehende Teilgraph von G zusammenhängend ist. 25
22 Komponenten Definition (Komponenten): Zu einem schlichten Multigraphen G heißt ein maximaler! stark! schwach! k-fach knotenzushgd.! k-fach kantenzushgd. zusammenhängender Teilgraph! starke! schwache! k-fache knotenzusammenhängende! k-fach kantenzusammenhängende Zusammenhangskomponente. 26
23 Beispiel Starke ZHK Quelle: 27
24 Algorithmus zum Finden der starken ZHK! Wollen nun starke ZHK in einem gerichteten Graphen finden! Beispiel: s. Tafel! Frage: Gibt es Vorschläge? 28
25 Die wesentliche Idee! Theorem: A k (i, j) ist die Zahl der Wege der Länge k zwischen i und j! Beweis: s. Tafel! Definition ZHK: Es gibt einen Weg...! Frage (MG): Wie könnte ein Ansatz aussehen? 29
26 Auf dem Weg zum Algorithmus! C = I A A 2 A 3 A 4...! Nach Vorüberlegung: C(i,j) > 0 gdw. ein Weg zwischen i und j existiert! Beispiel: s. Tafel! Jetzt sind wir noch nicht ganz am Ziel! Frage: Was fehlt noch?! Wie verhält sich das bei ungerichteten Graphen? 30
27 Schnelle Berechnung von C! Statt der Oder-Operation verwenden wir die Addition: D = I + A + A 2 + A 3 + A ! Beide Matrizen C und D haben dasselbe Muster von Nichtnulleinträgen! Sei F := (I - A) D, dann gilt: F = D - AD = I + A + A 2 + A 3 + A A - A 2 - A 3 - A = I = (I A) D! Also: D = (I A) -1! Problem: Reihe konvergiert häufig nicht! Frage (MG): Lösungsvorschläge? 31
28 Konvergenz! Idee: Skalar 0 < α < 1 wird mit der Matrix A multipliziert: D = I + αa + (αa) 2 + (αa) 3 + (αa) ! Effekte:! Das Muster der Nichtnulleinträge verändert sich nicht.! Sei nun F := (I - A) D.! F = I + αa + (αa) 2 + (αa) 3 + (αa) αa - (αa) 2 - (αa) 3 - (αa) = I = (I αa) D! Also: D = (I αa) -1! Wenn α klein genug gewählt wird, dann konvergiert unsere unendliche Folge! Übung: Codebeispiel in Matlab! Übung: Welches Kriterium für unsere Zwecke? 32
29 Zusammenfassung! Starke ZHK ist maximaler stark zusammenhängender Teilgraph (jeder Knoten erreicht jeden anderen in der ZHK)! Mit einer potenzierten Adjazenzmatrix lassen sich Wege zählen! Reihe von potenzierten Matrizen liefert uns (fast) die Lösung! Konvergenz wird durch zusätzliches Skalar erzwungen! Unterschied zwischen gerichteten und ungerichteten Graphen 33
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Master Informatik
Vorlesung für den Bereich Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes Baden-Württemberg
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des
MehrKonzepte der Informatik
Konzepte der Informatik Vorkurs Informatik zum WS 2011/2012 26.09. - 30.09.2011 17.10. - 21.10.2011 Dr. Werner Struckmann / Christoph Peltz Stark angelehnt an Kapitel 1 aus "Abenteuer Informatik" von Jens
MehrAlgorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung für den Bereich Master Informatik
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung für den Bereich Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR
MehrAlgorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung für den Bereich Master Informatik
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung für den Bereich Master Informatik Dozent: Prof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrInformationsblatt Induktionsbeweis
Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln
MehrDas Briefträgerproblem
Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche
Mehr1 topologisches Sortieren
Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrÜbung Theoretische Grundlagen
Übung Theoretische Grundlagen Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit Nico Döttling November 26, 2009 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory
MehrAlgorithmen II Vorlesung am 15.11.2012
Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales
MehrOECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland
OECD Programme for International Student Assessment Deutschland PISA 2000 Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest Beispielaufgaben PISA-Hauptstudie 2000 Seite 3 UNIT ÄPFEL Beispielaufgaben
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesungen 5 und 6 Programm
MehrAlgorithmische Mathematik
Algorithmische Mathematik Wintersemester 2013 Prof. Dr. Marc Alexander Schweitzer und Dr. Einar Smith Patrick Diehl und Daniel Wissel Übungsblatt 6. Abgabe am 02.12.2013. Aufgabe 1. (Netzwerke und Definitionen)
Mehr1 Mathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.
MehrApproximation durch Taylorpolynome
TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni
Mehr8 Diskrete Optimierung
8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von
MehrWie Google Webseiten bewertet. François Bry
Wie Google Webseiten bewertet François Bry Heu6ge Vorlesung 1. Einleitung 2. Graphen und Matrizen 3. Erste Idee: Ranking als Eigenvektor 4. Fragen: Exisi6ert der Eigenvektor? Usw. 5. Zweite Idee: Die Google
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008
1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?
Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V
MehrAlgorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund
MehrModellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele
Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Was hat Modellbildung mit der Schule zu tun? Der Bildungsplan 1994 formuliert: "Die schnelle Zunahme des Wissens, die hohe Differenzierung und
MehrWürfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
MehrGliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten
Gliederung Zusammenhang von Graphen Stark Zusammenhängend K-fach Zusammenhängend Brücken Definition Algorithmus zum Finden von Brücken Anwendung Zusammenhangskomponente Definition Wichtige Aussagen und
MehrWir machen neue Politik für Baden-Württemberg
Wir machen neue Politik für Baden-Württemberg Am 27. März 2011 haben die Menschen in Baden-Württemberg gewählt. Sie wollten eine andere Politik als vorher. Die Menschen haben die GRÜNEN und die SPD in
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrLernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah
Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah www.schema-f-hagen.de Sie erhalten hier einen Einblick in die Dokumente Aufgaben und Lösungen sowie Erläuterungen Beim Kauf erhalten Sie zudem
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder
MehrGleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen
Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term
MehrFachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum
Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume
MehrLU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.
Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems
MehrKapitel 6: Graphalgorithmen Gliederung
Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen
Mehr1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie
Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. äume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/5, olie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/bI
MehrLineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)
Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst
MehrAlgorithmen und Berechnungskomplexität I
Institut für Informatik I Wintersemester 2010/11 Organisatorisches Vorlesung Montags 11:15-12:45 Uhr (AVZ III / HS 1) Mittwochs 11:15-12:45 Uhr (AVZ III / HS 1) Dozent Professor für theoretische Informatik
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen
MehrSemestralklausur zur Vorlesung. Web Mining. Prof. J. Fürnkranz Technische Universität Darmstadt Sommersemester 2004 Termin: 22. 7.
Semestralklausur zur Vorlesung Web Mining Prof. J. Fürnkranz Technische Universität Darmstadt Sommersemester 2004 Termin: 22. 7. 2004 Name: Vorname: Matrikelnummer: Fachrichtung: Punkte: (1).... (2)....
MehrAbschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1
B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen,
MehrAlles zu seiner Zeit Projektplanung heute
Alles zu seiner Zeit Projektplanung heute Nicole Megow Matheon Überblick Projektplanung Planen mit Graphentheorie Maschinenscheduling Ein 1 Mio. $ Problem Schwere & leichte Probleme? Zeitplanungsprobleme?
MehrLineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
MehrGeld Verdienen im Internet leicht gemacht
Geld Verdienen im Internet leicht gemacht Hallo, Sie haben sich dieses E-book wahrscheinlich herunter geladen, weil Sie gerne lernen würden wie sie im Internet Geld verdienen können, oder? Denn genau das
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv
MehrInformation Systems Engineering Seminar
Information Systems Engineering Seminar Algorithmische Prüfung der Planarität eines Graphen Marcel Stüttgen, 22.10.2012 FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 1 Planarität - Definition Ein Graph heißt
MehrLernerfolge sichern - Ein wichtiger Beitrag zu mehr Motivation
Lernerfolge sichern - Ein wichtiger Beitrag zu mehr Motivation Einführung Mit welchen Erwartungen gehen Jugendliche eigentlich in ihre Ausbildung? Wir haben zu dieser Frage einmal die Meinungen von Auszubildenden
MehrDie reellen Lösungen der kubischen Gleichung
Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................
MehrFormale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt David Farago, Christoph Scheben, Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
MehrKonzentration auf das. Wesentliche.
Konzentration auf das Wesentliche. Machen Sie Ihre Kanzleiarbeit effizienter. 2 Sehr geehrte Leserin, sehr geehrter Leser, die Grundlagen Ihres Erfolges als Rechtsanwalt sind Ihre Expertise und Ihre Mandantenorientierung.
MehrV 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,
Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen
MehrKapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume
Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Björn Steffen Timur Erdag überarbeitet von Christina Class Binäre Suchbäume Kapiteltests für das ETH-Leitprogramm Adressaten und Institutionen Das Leitprogramm
MehrWelche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?
Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt
MehrDie Komplexitätsklassen P und NP
Die Komplexitätsklassen P und NP Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 3. Dezember 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und
MehrSoftwareentwicklungspraktikum Sommersemester 2007. Grobentwurf
Softwareentwicklungspraktikum Sommersemester 2007 Grobentwurf Auftraggeber Technische Universität Braunschweig
MehrMaximaler Fluß und minimaler Schnitt. Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de
Maximaler Fluß und minimaler Schnitt Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de Maximaler Fluß und minimaler Schnitt Wasist das? Maximaler Fluss Minimaler Schnitt Warumtut man das? Logistische
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHISCHE UIVERSITÄT MÜCHE Zentrum Mathematik PRF. R.R. JÜRGE RICHTER-GEBERT, VAESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHFER Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 003/004) Aufgabenblatt 1 (4. ktober 003)
MehrSkript und Aufgabensammlung Terme und Gleichungen Mathefritz Verlag Jörg Christmann Nur zum Privaten Gebrauch! Alle Rechte vorbehalten!
Mathefritz 5 Terme und Gleichungen Meine Mathe-Seite im Internet kostenlose Matheaufgaben, Skripte, Mathebücher Lernspiele, Lerntipps, Quiz und noch viel mehr http:// www.mathefritz.de Seite 1 Copyright
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
MehrStatistische Untersuchungen zu endlichen Funktionsgraphen
C# Projekt 1 Name: Statistische Untersuchungen zu endlichen Funktionsgraphen Aufgabe: Basierend auf dem Abschnitt 2.1.6. Random mappings, Kap.2, S 54-55, in [1] sollen zunächst für eine beliebige Funktion
MehrAlgorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse
Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk
MehrAnmerkungen zur Übergangsprüfung
DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung
MehrSerienbrieferstellung in Word mit Kunden-Datenimport aus Excel
Sehr vielen Mitarbeitern fällt es schwer, Serienbriefe an Kunden zu verschicken, wenn sie die Serienbrieffunktion von Word nicht beherrschen. Wenn die Kunden mit Excel verwaltet werden, genügen nur ein
MehrSichere E-Mail Anleitung Zertifikate / Schlüssel für Kunden der Sparkasse Germersheim-Kandel. Sichere E-Mail. der
Sichere E-Mail der Nutzung von Zertifikaten / Schlüsseln zur sicheren Kommunikation per E-Mail mit der Sparkasse Germersheim-Kandel Inhalt: 1. Voraussetzungen... 2 2. Registrierungsprozess... 2 3. Empfang
Mehr7 Rechnen mit Polynomen
7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn
Mehr2.1 Präsentieren wozu eigentlich?
2.1 Präsentieren wozu eigentlich? Gute Ideen verkaufen sich in den seltensten Fällen von allein. Es ist heute mehr denn je notwendig, sich und seine Leistungen, Produkte etc. gut zu präsentieren, d. h.
MehrKompetitive Analysen von Online-Algorithmen
Kompetitive Analysen von Online-Algorithmen jonas echterhoff 16. Juli 004 1 Einführung 1.1 Terminologie Online-Algorithmen sind Algorithmen, die Probleme lösen sollen, bei denen Entscheidungen getroffen
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 12.01.2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 12.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Tutorium 27 29..24 FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Definition
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrInformatik I WS 07/08 Tutorium 24
Info I Tutorium 24 Informatik I WS 07/08 Tutorium 24 3.2.07 astian Molkenthin E-Mail: infotut@sunshine2k.de Web: http://infotut.sunshine2k.de Organisatorisches / Review is zum 2.2 müssen alle Praxisaufgaben
MehrZahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009)
Zahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009) Probleme unseres Alltags E-Mails lesen: Niemand außer mir soll meine Mails lesen! Geld abheben mit der EC-Karte: Niemand außer mir soll
MehrMedia Teil III. Begriffe, Definitionen, Übungen
Media Teil III. Begriffe, Definitionen, Übungen Kapitel 1 (Intermedia- Vergleich: Affinität) 1 Affinitätsbewertung als Mittel des Intermedia-Vergleichs Um die Streugenauigkeit eines Werbeträgers zu bestimmen,
MehrR ist freie Software und kann von der Website. www.r-project.org
R R ist freie Software und kann von der Website heruntergeladen werden. www.r-project.org Nach dem Herunterladen und der Installation von R kann man R durch Doppelklicken auf das R-Symbol starten. R wird
MehrONLINE-AKADEMIE. "Diplomierter NLP Anwender für Schule und Unterricht" Ziele
ONLINE-AKADEMIE Ziele Wenn man von Menschen hört, die etwas Großartiges in ihrem Leben geleistet haben, erfahren wir oft, dass diese ihr Ziel über Jahre verfolgt haben oder diesen Wunsch schon bereits
MehrKevin Caldwell. 18.April 2012
im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig
MehrZwischenablage (Bilder, Texte,...)
Zwischenablage was ist das? Informationen über. die Bedeutung der Windows-Zwischenablage Kopieren und Einfügen mit der Zwischenablage Vermeiden von Fehlern beim Arbeiten mit der Zwischenablage Bei diesen
MehrZahlenwinkel: Forscherkarte 1. alleine. Zahlenwinkel: Forschertipp 1
Zahlenwinkel: Forscherkarte 1 alleine Tipp 1 Lege die Ziffern von 1 bis 9 so in den Zahlenwinkel, dass jeder Arm des Zahlenwinkels zusammengezählt das gleiche Ergebnis ergibt! Finde möglichst viele verschiedene
MehrAbschnitt 2 Vier Fragen, jeweils 5 Punkte pro Frage erreichbar (Maximal 20 Punkte)
Abschnitt 1 2. Listen Sie zwei Abschnitte von ISO 9001 (Nummer und Titel) auf. die das Qualitätsmanagementprinzip Systemorientierter Ansatz unterstützen. (2 Punkte) Abschnitt 2 Vier Fragen, jeweils 5 Punkte
MehrSkalierung des Ausgangssignals
Skalierung des Ausgangssignals Definition der Messkette Zur Bestimmung einer unbekannten Messgröße, wie z.b. Kraft, Drehmoment oder Beschleunigung, werden Sensoren eingesetzt. Sensoren stehen am Anfang
MehrInformation zum Projekt. Mitwirkung von Menschen mit Demenz in ihrem Stadtteil oder Quartier
Information zum Projekt Mitwirkung von Menschen mit Demenz in ihrem Stadtteil oder Quartier Sehr geehrte Dame, sehr geehrter Herr Wir führen ein Projekt durch zur Mitwirkung von Menschen mit Demenz in
MehrInformatikgrundlagen (WS 2015/2016)
Informatikgrundlagen (WS 2015/2016) Klaus Berberich (klaus.berberich@htwsaar.de) Wolfgang Braun (wolfgang.braun@htwsaar.de) 0. Organisatorisches Dozenten Klaus Berberich (klaus.berberich@htwsaar.de) Sprechstunde
MehrIhr Handwerk im Aufschwung Chancen erkennen und nutzen
Ihr Handwerk im Aufschwung Chancen erkennen und nutzen - 1 - A. Ihr Handwerk wie ein Schiff auf hoher See! B. Mit dem Handwerk auf hoher See 1. Risikolandschaft im Handwerk 2. Der Unternehmer als Kapitän
MehrPhysik 4, Übung 11, Prof. Förster
Physik 4, Übung 11, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt ieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls
Mehr1 Part-of-Speech Tagging
2. Übung zur Vorlesung NLP Analyse des Wissensrohstoes Text im Sommersemester 2008 Dr. Andreas Hotho, Dipl.-Inform. Dominik Benz, Wi.-Inf. Beate Krause 28. Mai 2008 1 Part-of-Speech Tagging 1.1 Grundlagen
MehrWeiterbildungen 2014/15
Weiterbildungen 2014/15 Kurs 1 Das Konzept Lebensqualität In den letzten Jahren hat sich die Lebensqualität im Behinderten-, Alten-, Sozial- und Gesundheitswesen als übergreifendes Konzept etabliert. Aber
MehrWas meinen die Leute eigentlich mit: Grexit?
Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Grexit sind eigentlich 2 Wörter. 1. Griechenland 2. Exit Exit ist ein englisches Wort. Es bedeutet: Ausgang. Aber was haben diese 2 Sachen mit-einander zu tun?
MehrLange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege
Lange Nacht der Wissenschaft Ein Klassiker Die Mathematik der Kürzesten Wege 09.06.2007 schlechte@zib.de Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB) http://www.zib.de/schlechte 2 Überblick
Mehra n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:
Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend
MehrProfessionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
MehrFit für die Prüfung Elektrotechnik Effektives Lernen mit Beispielen und ausführlichen Lösungen
Jan Luiken ter Haseborg Christian Schuster Manfred Kasper Fit für die Prüfung Elektrotechnik Effektives Lernen mit Beispielen und ausführlichen Lösungen 18 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke det(a 2 )
MehrAnspruchsvolle Dreierausdrücke zum selbstständigen Lernen
Anspruchsvolle Dreierausdrücke zum selbstständigen Lernen von Frank Rothe Das vorliegende Übungsblatt ist als Anregung gedacht, die Sie in Ihrer Klasse in unterschiedlicher Weise umsetzen können. Entwickelt
MehrQTrade GmbH Landshuter Allee 8-10 80637 München 089 381536860 info@qtrade.de Seite 1
QCentral - Ihre Tradingzentrale für den MetaTrader 5 (Wert 699 EUR) QTrade GmbH Landshuter Allee 8-10 80637 München 089 381536860 info@qtrade.de Seite 1 Installation A Haben Sie auf Ihrem PC nur einen
MehrSpeicher in der Cloud
Speicher in der Cloud Kostenbremse, Sicherheitsrisiko oder Basis für die unternehmensweite Kollaboration? von Cornelius Höchel-Winter 2013 ComConsult Research GmbH, Aachen 3 SYNCHRONISATION TEUFELSZEUG
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Hauptprüfung Abiturprüfung 205 (ohne CAS) Baden-Württemberg Wahlteil Analysis Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com März 205 Aufgabe A
Mehr