Zufallsvariable X. 30 e. 40 e = 33,33...% 6

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Alexandra Stein
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Zufallsvariable Wir führen ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum Ω durch. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem möglichen Ergebnis einen Zahlenwert zu.

Dieses Spiel können wir mathematisch als Zufallsexperiment mit einer Zufallsvariablen modellieren: Zufall Ω={ mo gliche Ergebnisse Zufallsvariable X } z. B.

Fülle die Tabelle aus: ωi P ({ωi }) X(ωi ) 0 e 0 e 30 e 40 e 50 e 0 e Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei diesem Spiel genau 50 e zu gewinnen?

P (X > 4 e ) = P ({ }) = } + = = 3333...% Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei diesem Spiel höchstens 0 e zu gewinnen? P (X 0 e ) = P ({ }) = = 3333.

0 + 0 + 30 + 40 + 50 + 0 = 35 e Erwartungswert Eine Zufallsvariable X kann n verschiedene Werte x x... xn annehmen.

1 Zufallsvariable Wir führen ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum Ω durch. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem möglichen Ergebnis einen Zahlenwert zu. Eine Zufallsvariable ist also eine Funktion X : Ω R. Laplace-Experiment Würfle mit einem fairen -seitigen Würfel und gewinne das 0-fache der gewürfelten Augenzahl in e. Dieses Spiel können wir mathematisch als Zufallsexperiment mit einer Zufallsvariablen modellieren: Zufall Ω={ mo gliche Ergebnisse Zufallsvariable X } z. B. X ( ) = 50 e Ergebnis des Zufallsexperiments Die Zufallsvariable X gibt in unserem Spiel also den Gewinn in e an. Fülle die Tabelle aus: ωi P ({ωi }) X(ωi ) 0 e 0 e 30 e 40 e 50 e 0 e Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei diesem Spiel genau 50 e zu gewinnen? X = 50 e ist formal das Ereignis dass X den Wert 50 e annimmt: { P (X = 50 e ) = P ({ }) = =...% Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei diesem Spiel mehr als 4 e zu gewinnen? P (X > 4 e ) = P ({ }) = } + = = % Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei diesem Spiel höchstens 0 e zu gewinnen? P (X 0 e ) = P ({ }) = = % Welchen durchschnittlichen Gewinn erwartest du nach vielen Wiederholungen des Spiels? = 35 e Erwartungswert Eine Zufallsvariable X kann n verschiedene Werte x x... xn annehmen. Der Erwartungswert von X wird mit folgender Formel berechnet: E(X) = x P (X = x ) + x P (X = x ) + + xn P (X = xn ) Bei der Berechnung des Erwartungswert sind die Wahrscheinlichkeiten wie Gewichte: Je größer die Wahrscheinlichkeit dass X den Wert xi annimmt desto höher ist xi gewichtet. Gleiche Gewichte Berechne den Erwartungswert von X im Würfelbeispiel oben: E(X) = = = 35 e Treten alle Werte von X mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf dann ist E(X) das arithmetische Mittel der Werte. Datum:. Februar 09

2 Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Zufallsvariable X kann die Werte und 5 annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Werte sind im Säulendiagramm dargestellt. ) Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten. P (X > 5) = 0 % + 5 % = 45 % P (X 0) = 0 % + 5 % = 35 % P (0 < X 3) = 0 % + 0 % = 40 % ) Berechne den Erwartungswert von X. E(X) = = 5 Zwei Wege zum Erwartungswert Du würfelst mit einem gezinkten -seitigen Würfel mit Augenzahlen bis : Ω = { } Die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ergebnisse sind in folgender Tabelle zusammengefasst. P ({ω i }) 8 % 0 % 5 % 5 % 0 % 4 % Bei einer geraden Augenzahl gewinnst du 5 e. Bei einer ungeraden Augenzahl gewinnst du e. Wie viel Geld würdest du für einen Wurf maximal zahlen? Die Zufallsvariable X gibt deinen Gewinn bei einem Wurf an. Berechne den Erwartungswert von X. Lösungsmöglichkeit : Wir erstellen eine Tabelle mit den möglichen Werten der Zufallsvariable. x i 5 e e P (X = x i ) 7 % 33 % Der Erwartungswert von X ist also E(X) = = 40 e. Lösungsmöglichkeit : Wir ergänzen die Tabelle um eine Zeile mit den Werten der Zufallsvariable. P ({ω i }) 8 % 0 % 5 % 5 % 0 % 4 % X(ω i ) e 5 e e 5 e e 5 e Der Erwartungswert von X ist also E(X) = i= X(ω i) P ({ω i }) E(X) = = 40 e.

Glücksrad In einem Casino gibt es beim dargestellten Glücksrad drei mögliche Ergebnisse.

Abhängig vom Ergebnis zahlt das Casino den rechts angegebenen Betrag aus. Die Zufallsvariable X gibt die Auszahlung abhängig vom gedrehten Ergebnis an.

Die erwartete Auszahlung pro Drehung beträgt E(X) = e P (X = e ) + e P (X = e ) + 0 e P (X = 0 e ) = 4 8 + 3 8 + 0 8 = 50 e.

Roulette Beim Roulette gibt es 37 durchnummerierte Felder mit den Zahlen von 0 bis 3. Davon sind 8 Felder rot 8 Felder schwarz und ein Feld ist grün.

Wenn die Kugel auf einem Feld mit der getippten Farbe landet erhält man das Doppelte des Einsatzes zurück. Andernfalls verliert man den Einsatz.

3 Glücksrad In einem Casino gibt es beim dargestellten Glücksrad drei mögliche Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Elementarereignisse sind P ( Rot ) = 4 8 P ( Blau ) = 3 8 und P ( Grün ) = 8. Abhängig vom Ergebnis zahlt das Casino den rechts angegebenen Betrag aus. Die Zufallsvariable X gibt die Auszahlung abhängig vom gedrehten Ergebnis an. Die möglichen Werte der Zufallsvariable sind x = e x = e und x 3 = 0 e. Die erwartete Auszahlung pro Drehung beträgt E(X) = e P (X = e ) + e P (X = e ) + 0 e P (X = 0 e ) = = 50 e. Interpretation des Erwartungswerts im Sachzusammenhang: Damit es auf lange Sicht Gewinn erwarten kann sollte das Casino mehr als 50 e pro Drehung verlangen. Roulette Beim Roulette gibt es 37 durchnummerierte Felder mit den Zahlen von 0 bis 3. Davon sind 8 Felder rot 8 Felder schwarz und ein Feld ist grün. Das Casino bietet folgendes Spiel an: Man setzt einen Einsatz auf Rot oder Schwarz. Wenn die Kugel auf einem Feld mit der getippten Farbe landet erhält man das Doppelte des Einsatzes zurück. Andernfalls verliert man den Einsatz. Lukas setzt 37 e auf Rot. Die Zufallsvariable X gibt seinen Gewinn nach Abzug vom Einsatz an. ) Trage die möglichen Werte von X und ihre Wahrscheinlichkeiten in die Tabelle ein. ) Berechne den Erwartungswert von X. x i 37 e 37 e P (X = x i ) 8 37 Interpretation des Erwartungswerts im Sachzusammenhang: 9 37 E(X) = ( 37) = 8 9 = e Wenn Lukas immer wieder 37 e auf Rot setzt dann sollte er auf lange Sicht einen durchschnittlichen Verlust von e pro Spiel erwarten. Versuche dein Glück also besser mit Spielgeld. 3

Faires Spiel Bei einem Spiel gibt die Zufallsvariable X den Gewinn nach Abzug vom Einsatz an. Das Spiel ist fair wenn E(X) = 0 gilt. Fair oder nicht?

Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn nach Abzug vom Einsatz an. ) Trage die möglichen Werte von X und ihre Wahrscheinlichkeiten in die Tabelle ein.

Gegen einen Einsatz von 0 e darf man blind eine Kugel aus der Urne ziehen. Ist die gezogene Kugel weiß erhält man 7 e. Das Spiel soll fair sein.

4 Faires Spiel Bei einem Spiel gibt die Zufallsvariable X den Gewinn nach Abzug vom Einsatz an. Das Spiel ist fair wenn E(X) = 0 gilt. Fair oder nicht? Wir werfen eine faire Münze: Ω = {Kopf Zahl} Dein Einsatz beträgt 5 e. Beim Ergebnis Kopf erhältst du den Einsatz und zusätzlich 5 e. Beim Ergebnis Zahl verlierst du den Einsatz. Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn nach Abzug vom Einsatz an. ) Trage die möglichen Werte von X und ihre Wahrscheinlichkeiten in die Tabelle ein. x i 5 e 5 e P (X = x i ) ) Rechne nach ob das Spiel fair ist. E(X) = 5 ( + 5 ) = 0 e = Das Spiel ist fair. Urnenmodell In einer Urne befinden sich graue Kugeln und 3 weiße Kugeln. Gegen einen Einsatz von 0 e darf man blind eine Kugel aus der Urne ziehen. Ist die gezogene Kugel weiß erhält man 7 e. Das Spiel soll fair sein. Wie viel e muss man erhalten wenn die gezogene Kugel grau ist? X... Gewinn nach Abzug vom Einsatz mögliche Werte: x = 3 e (weiß) und x (grau) E(X) = x 5 = 0 x = 45 e Damit das Spiel fair ist muss man bei einer grauen Kugel 45 e erhalten. Rubbellose In einer Losauflage Schatztruhe gibt es 3 Millionen Rubbellose. Die absoluten Häufigkeiten der Lose bei denen Geld ausgezahlt wird sind in der nebenstehenden Tabelle dargestellt. Du kaufst ein Rubbellos. Die Zufallsvariable X gibt die Auszahlung bei diesem Rubbellos an. Berechne den Erwartungswert von X E(X) = = = 5 e Der Preis pro Rubbellos beträgt e. Anzahl Auszahlung e e e e e e e e e e 4

5 Kenngrößen einer diskreten Zufallsvariablen Die Zufallsvariable X kann n verschiedene Werte x x... x n annehmen. ) Der Erwartungswert von X wird mit µ abgekürzt und folgendermaßen berechnet: n µ = x i P (X = x i ) i= ) Die Varianz von X wird mit V (X) oder σ abgekürzt und folgendermaßen berechnet: n V (X) = (x i µ) P (X = x i ) i= Die Varianz ist ein Maß für die Streuung der Werte x i um den Erwartungswert µ. Kann V (X) = 0 sein? 3) Die Standardabweichung von X wird mit σ abgekürzt und folgendermaßen berechnet: σ = V (X) Auch σ ist ein Streuungsmaß. Anders als die Varianz hat σ aber die gleiche Einheit wie die Werte x i. Bei einem Glücksspiel wirft man einen gezinkten -seitigen Würfel: Ω = { } Die möglichen Ergebnisse sind also nicht alle gleich wahrscheinlich. Als Gewinn erhält man das 0-fache der gewürfelten Augenzahl in e. Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn in e an. Im Säulendiagramm sind die Wahrscheinlichkeiten dargestellt um 0 e 0 e e zu gewinnen. ) Trage in der Tabelle die möglichen Gewinne ein. Übertrage die Wahrscheinlichkeiten aus dem Säulendiagramm in die Tabelle. Ermittle die Wahrscheinlichkeit 0 e zu gewinnen. Zeichne rechts die zugehörige Säule ein. Gezinkter Würfel Gewinn x i 0 e 0 e 30 e 40 e 50 e 0 e P (X = x i ) 0 % 5 % 0 % 5 % 5 % 5 % ) Berechne den Erwartungswert von X. E(X) = = 335 e 3) Berechne die Varianz und die Standardabweichung von X. V (X) = = 3375 σ = 3375 = e Die Zufallsvariablen X und Y können jeweils verschiedene Werte annehmen. Berechne jeweils Erwartungswert und Standardabweichung. E(X) = 0 V (X) = σ(x) = E(Y ) = 0 V (Y ) = 00 σ(y ) = 0 Risiko Dieses Werk von unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.

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