Beispiel für eine periodische Spline-Interpolationsfunktion: Wir betrachten f(x) = sin(πx) und geben die folgenden Stützstellen und Stützwerte vor:

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1 5 Splineinterpolation Beispiel für eine periodische Spline-Interpolationsfunktion: Wir betrachten f(x) sin(πx) und geben die folgenden Stützstellen und Stützwerte vor: x i 3 f i Damit ist n 5, h Forderung : Mit Q () h Q n () h Q () 6f + 6f 4hf hf Q n () 6f n 6f n + hf n + 4hf n, Division durch h und Benutzen, dass f n f und f n f gilt, ist die Forderung äquivalent zu 8f + f + f n 6 h (f f n ) Fügt man diese Gleichung oben bei (5) an, erhält man das lineare Gleichungssystem Dieses besitzt die Lösung 3 f 3 f f f 3 f Die 'exakten' Ableitungen von f(x) an diesen Stützstellen sind π,, π, Auswertung bei x 4 : Es ist i und mit h /4 ist t / Damit erhalten wir 74

2 53 Trigonometrische Interpolation und α α g β 3 β β γ γ δ ( ) [ ( Q (t) + 4 ) ( )] als Approximation für sin ( π 4) 77, dh die erste Zier ist korrekt 53 Trigonometrische Interpolation Die in diesem Abschnitt behandelte Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und schnelle oder Fast Fourier Transformation (FFT) spielen eine wichtige Rolle bei der Signalverarbeitung und Bildverarbeitung, insbesondere bei der Daten-Kompression (ezientes Speichern und Auswerten) Problemstellung: Von einer reellen π-periodischen Funktion f, dh f(x + π) f(x) für x R, seien an einer (geraden) Anzahl N Stützstellen x k : kπ N, k,,,n, die Stützwerte f k : f(x k ), k,,,n, gegeben Gesucht ist ein trigonometrisches Polynom p(x) a N/ + [a j cos(jx) + b j sin(jx)] + a N/ j so dass p(x k ) f(x k ), k,,,n ( ) N cos x, (53) Lösung der Aufgabe mit Diskreter Fourier-Transformation (komplex geschrieben): 75

3 53 Trigonometrische Interpolation Fourier-Reihe von f: f(x) j Fourier-Koezienten: c j : π π c j e ijx, c j C f(x) e ijx dx Wir approximieren das Integral durch die Trapeznäherung: b a g(x)dx h N [g(a) + g(b)] + h l g(a + lh) + O(h ) g(x) h a b l : N N x Auf diese Weise erhalten wir die approximativen Fourier-Koezienten c j : N N l f(x l )e ijx l, x l : lπ N (54) Wir denieren die folgenden Vektoren in C N : f c f (N) :, c(n) : f N c N Bemerkung: Wir lassen den oberen Index (N), der die Dimension der Vektoren angibt, bei den Komponenten weg, um die Notation zu vereinfachen 76

4 53 Trigonometrische Interpolation Die Formel (54) ist damit äquivalent zu wobei c (N) N Wf(N) (Analyse) (55) (W) jl w jl lπ ij e N, j, l,,n, w : e iπ N (N-te Einheitswurzel), bzw w w w N W w w 4 w (N ) w N w (N ) w (N ) Die N N-Matrix W ist symmetrisch Die Abbildung f (N) C N N Wf(N) C N heisst Diskrete Fourier-Transformation Da W N W ist (W ist das Konjugiert-Komplexe von W ), gilt f (N) W c (N) (Synthese) (56) Da die zu approximierende Funktion f periodisch ist, macht es Sinn, die f k und c k als periodische Folge zu betrachten für k Z: f k±n f k, c k±n c k Zudem gilt: jπ i e N (k±n) kjπ i e N e ±ijπ }{{} Die Synthese (56) lässt sich also wie folgt schreiben: f k f(x k ) f ( ) kπ N N j N/ j kπ ij c j e N N/ j N/+ kπ ij c j e N + cn/ }{{} e ikπ + cos kπ ( ) c j e ijx k N + c N/ cos x k N kπ ij c j e N jn/+ }{{} P i(l+n) kπ ec l N/+ l+n e N 77

5 53 Trigonometrische Interpolation Also gilt: Das (komplex geschriebene) trigonometrische Polynom p(x) : N/ j N/+ ( ) N c j e ijx + c N/ cos x (57) erfüllt p(x k ) f(x k ), k Z, und ist damit die eindeutige Lösung unserer Interpolationsaufgabe Da die Ausgangsfunktion f reell ist, wollen wir p(x) auch reell schreiben, nämlich in der Form (53) Da e ±ijx cos(jx) ± isin(jx), ist c j e ijx + c j e ijx ( c j + c j ) cos(jx) + (i c j i c j ) sin(jx), }{{}}{{} :a j :b j und wir erhalten damit p(x) a N/ + [a j cos(jx) + b j sin(jx)] + a N/ j ( ) N cos x Für f reell sind alle Koezienten a j, b j reell, da nach (54) gilt: c j c j (58) Zum Beispiel folgt aus c α + iβ, c α iβ mit (58), dass β ist Die (theoretische) Lösung der Interpolationsaufgabe sieht also wie folgt aus: Diskrete Fourier-Analyse (55) (ergibt c j, j,,n, bzw a j, b j, j,,n/) Auswertung von p(x) (53) Eziente Durchführung der Diskreten Fourier-Transformation mit Fast Fourier Transformation (im Komplexen) Der Aufwand für die Anaylse (55) oder die Synthese (56) ist N komplexe Multiplikationen Wir nehmen an, N sei gerade, dh N n Für w e iπ N gilt w N und w n Wir denieren γ (N) : Wf (N), was bedeutet, dass γ (N) N c (N) 78

6 53 Trigonometrische Interpolation Wir betrachten zuerst die geraden approximativen Fourier-Koezienten Es gilt: γ k N j j w kj f j n n w kj f j + w kj f j n w kj f j + j jn n j +nn w k(j +n) f j +n Mit w k(j +n) w kj w}{{} kn ergibt sich daraus γ k n (w ) kj (f j + f j+n ) j Dies ist eine diskrete Fourier-Transformation der Ordnung n N f j + f j+n angewandt auf Für die ungeraden approximativen Fourier-Koezienten gilt analog: γ k+ n (w ) kj (f j f j+n )w j j Dies bedeutet, dass die diskrete Fourier-Transformation der Ordnung n in zwei diskrete Fourier-Transformationen der Ordnung n zerlegt werden kann Für N m lässt sich das Verfahren iterieren Es gilt: Die Anzahl komplexer Multiplikationen für eine diskrete Fourier- Transformation der Ordnung N m (unter der Annahme, dass die Elemente der Matrix W schon berechnet und abgespeichert wurden) beträgt N log N Beweis: (mit vollständiger Induktion) Sei µ(n) die Anzahl komplexer Multiplikationen für die diskrete Fourier-Transformation der Ordnung n Induktionsverankerung: Für N ist n und W mit w w Also ist µ() Induktionsvoraussetzung: Die Aussage gilt für N 79

7 53 Trigonometrische Interpolation Induktionsschritt von N auf N: µ(n) µ(n) + N Nach der Induktionsvoraussetzung gilt also: µ(n) N log N + N N N log + }{{} log N log N Was wir komponentenweise durchgeführt haben, kann auch in Matrix-Vektor- Schreibweise vereinfacht dargestellt werden Wir betrachten als Beispiel den Fall N 8 3, n 4 Dann gilt für w e iπ N, dass w 8 und w 4 Wir bilden γ (N) W (N) f (N) mit W (N) ( w kl), k, l < N, und denieren den Vektor γ (N), indem wir zuerst die Komponenten mit geradem Index von γ (N) nehmen, dann die mit ungeradem Index Dann gilt: γ γ w w 4 w 6 w w 4 w 6 γ 4 w 4 w 4 w 4 w 4 γ (N) γ 6 w 6 w 4 w w 6 w 4 w f (N) : Ŵ (N) f (N) γ w w w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 γ 3 w 3 w 6 w w 4 w 7 w w 5 γ 5 w 5 w w 7 w 4 w w 6 w 3 γ7 w 7 w 6 w 5 w 4 w 3 w w 8

8 53 Trigonometrische Interpolation Die Matrix Ŵ (N) lässt sich wie folgt faktorisieren: w w 4 w 6 w 4 w 4 Ŵ (N) w 6 w 4 w w w 4 w 6 w 4 w 4 w 6 w 4 w w w w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 bzw Ŵ (N) : W (n) W (n) D (N) Die Matrixmultiplikation D (N) f (N) : z (N) kann einfach durchgeführt werden: z y + y 4 z 4 (y y 4 )w z y + y 5 z 5 (y y 5 )w z y + y 6 z 6 (y y 6 )w z 3 y 3 + y 7 z 7 (y 3 y 7 )w 3 Damit ist γ (N) W (n) W (n) z (N) auf zwei diskrete Fourier-Transformationen der Ordnung N n 4 zurückgeführt Diese zwei Fourier-Transformationen der Ordnung n 4 können analog auf 4 Fourier- Transformationen der Ordnung und diese dann auf 8 Fourier-Transformationen der Ordnung zurückgeführt werden, womit man fertig ist Die richtige Zuordnung der Daten der Fourier-Tranformationen der Ordnung zu den γ j (bzw c j ) lässt sich einfach und ezient mit Binärdarstellung der Indizes j und ihrer Bitumkehr durchführen Für diese algorithmische Durchführung der Fast Fourier Transformation sei auf H R Schwarz [], Absch 4, verwiesen Dort ndet sich auch ein Beispiel für N 6 Bemerkung: Eine eziente Realisierung der diskreten Fourier-Transformation ist auch für eine allgemeinere Ordnung N möglich (siehe auch H R Schwarz [], Absch 4) 8

9 53 Trigonometrische Interpolation Bemerkungen: In MATLAB gibt es für die Fast Fourier Transformation die Funktion fft für die Analyse und die Funktion ifft für die Synthese Der Zusammenhang zu dem, was wir in diesem Abschnitt hergeleitet haben ist der folgende: Nach (55) ist die Analyse gegeben als Wf (N) γ (N) N c (N) bzw N Wf(N) c (N) ; in MATLAB wird dies realisiert als t ( f (N)) ( ) γ (N) bzw t N f(n) c (N) Nach (56) ist die Synthese gegeben als N Wγ(N) f(n) bzw W c (N) f (N) ; in MATLAB wird dies realisiert als it(γ (N) ) f (N) bzw N it ( c (N)) f (N) Wichtige Feststellung: Während das trigonometrische Interpolationspolynom (57) (komplex geschrieben) eine Approximation der (komplex geschriebenen) Fourierreihe von f(x) zwischen j N + und j N darstellt, ist die Anordnung in MATLAB ein Vektor mit Indizes j,,n Für glatte Funktionen f klingen die Fourier-Koezienten nach aussen schnell ab Die diskreten approximativen Fourier-Koezienten c j haben also, da c j c j gilt, das folgende Verhalten: c j N N 8

10 53 Trigonometrische Interpolation In MATLAB ist die Anordnung die folgende: c j 3 N N N + Schnelle Daten-Kompression mit Fast Fourier Transformation in der Signal- und Bildverarbeitung Gegeben sei ein (periodisches) Signal Die Fourier-Analyse (55) ergibt die ersten N (komplexen) approximativen Fourier-Koezienten c (N) Da wir am wesentlichen Spektrum intressiert sind, speichern wir die vordersten Fourier-Koezienten und lassen die hinteren, kleinen weg (Rauschen) Mit diesen M N Koezienten haben wir eine Daten-Kompression erreicht, da man daraus die Ausgangsdaten f,,f N wieder schnell (Aufwand O(N log N)) approximieren kann mit der Fourier-Synthese (56) wie folgt: Wir denieren den N-Vektor c (N) : c, c,,,,,, c }{{} M N M wo wir in der Mitte der M gespeicherten Koezienten (N M) Nullen einfügen, und erhalten so ) (N) N it ( c f (N) 3 Die Interpolations-Aufgabe Gegeben sei die π-periodische Funktion f(x) an den N Stützstellen x j, j,,,n Gesucht sei der Funktionswert an einer Zwischenstelle x x Auch diese Aufgabe kann einfach mit diskreter Fourier-Transformation und damit ezient mit Fast Fourier Transformation gelöst werden: i) Analyse (55) mit Fast Fourier Transformation ergibt c (N) ii) Synthese (56) von M N Daten c (N) (Einfügen von M N Nullen in c (N) ) mit Fast Fourier Transformation (dh M-te nicht N-te Einheitswurzel) Wählt man M m N, erhält man je m Zwischenpunkte in den ursprünglichen N Teilintervallen iii) Lineare Interpolation im Intervall, das x enthält T, 83