Beweise. Gymnasium Immensee SPF PAM: Basiskurs Mathematik. Bettina Bieri

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1 Beweise Gymnasium Immensee SPF PAM: Basiskurs Mathematik Bettina Bieri 19. November 2011

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen: Beweise Beweistechniken Beispiel Schachbrett Vier Beweistechniken Direkter Beweis Beispiel: Satz von Pythagoras Beispiel: Quersumme Aufgaben Indirekter Beweis Beispiel: Es gibt unendlich viele Primzahlen Beispiel: 2 ist irrational Aufgaben Vollständige Induktion Allgemeines Vorgehen bei vollständiger Induktion Beispiel: Formel von Gauss Beispiel zur Teilbarkeit Aufgaben Summen Der Aufbau des Summenzeichens Aufgaben Beweise mit Summenzeichen Beispiele zu Beweisen mit Summenzeichen Aufgaben Zahlenfolgen Was ist eine Zahlenfolge?

3 6.2 Definition von Folgen Die explizite Definition Die rekursive Definition Aufgaben Beweise zu Zahlenfolgen Beispiel Beispiel Aufgaben Unterhaltung falsche Beweise Rotkäppchen auf mathematisch

4 Kapitel 1 Grundlagen: Beweise In der Mathematik darf nichts verwendet werden, das nicht bewiesen wurde. Nur so kann man sicher sein, dass die verwendeten mathematischen Werkzeuge nicht zu Fehler führen. Ein nicht ganz ernster Beweis Ein Krokodil ist länger als breit. Lemma 1 Ein Krokodil ist länger als grün. Beweis zu Lemma 1 Man betrachte ein Krokodil. Es ist oben lang und unten lang aber nur oben grün. Also ist es länger als grün. Lemma 2 Ein Krokodil ist grüner als breit. Beweis zu Lemma 2 Man betrachte wieder ein Krokodil. Es ist grün entlang der Länge und entlang der Breite, aber nur breit entlang der Breite. Also ist ein Krokodil grüner als breit. Aus Lemma 1 und Lemma zwei folge die Behauptung. 1

5 1.1 Beweistechniken Durch ausprobieren kann man im Allgemeinen nur einfache, konkrete Beispiele beweisen. Für allgemeine Aussagen, braucht man andere Techniken Beispiel Schachbrett Stell dir ein Schachbrett vor (8x8 Felder). Nun stellst du auf zwei gegenüberliegende Eckfelder einen Turm. Diese Felder sind damit besetzt. Zusätzlich hast du beliebig viele Dominosteine zur Verfügung. Diese sind von der Grösse her genau so gearbeitet, dass ein Dominostein zwei nebeneinanderliegende Schachbrettfelder überdecken kann. Frage: Können mit den Dominosteinen alle verbleibenden Felder (ohne die mit den Türmen besetzten) überdeckt werden? (Begründe deine Antwort.) Das Beispiel hat gezeigt, dass Ausprobieren in vielen Fällen nicht klappt. Damit wir systematischer vorgehen können, lernen wir die vier wichtigen Beweistechniken kennen: 2

6 1.1.2 Vier Beweistechniken Es gibt vier wichtige Beweistechniken. 1. Beweis durch Beispiel Diese Art von Beweisen ist sehr einfach, klappt nur bei ganz bestimmten Aussagen. Z.B.: Aussage: Es gibt Zahlen, die nicht durch zwei teilbar sind. Beweis: 3 ist eine Zahl und nicht durch zwei teilbar. Da diese Technik so einfach ist, werden wir sie nicht mehr weiter besprechen. 2. Direkter Beweis Beim direkten Beweis wird von bereits bekannten Dingen aus schrittweise auf die Aussage geschlossen. 3. Indirekter Beweis Beim indirekten Beweis nimmt man das Gegenteil der Aussage an und beweist, dass dieses nicht sein kann. 4. Vollständige Induktion Diese Beweistechnik werden wir im Folgenden kennenlernen. 3

7 Kapitel 2 Direkter Beweis Beim direkten Beweis beginnt man bei den Bedingungen und arbeitet sich schrittweise auf die Behauptung vor. Wichtig dabei ist, dass keine Schritte gemacht werden, die nicht bewiesen werden können. 2.1 Beispiel: Satz von Pythagoras Ein einfaches Beispiel für einen Direkten Beweis ist der Satz von Pythagoras. Wir zeichnen ein rechtwinkliges Dreieck beliebiger Grösse mit Kathetenlängen a und b und Hypothenusenlänge c und zeichnen vier solcher Dreiecke in folgender Anordnung: Den Flächeninhalt des gesamten Quadrates können wir nun auf zwei verschiedene Arten berechnen: 1. A Q = 4 A d + A q = 4 ab 2 + c2 = 2ab + c 2 2. A Q = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 4

8 Da zweimal die gleiche Fläche berechnet wurde gilt: 2ab + c 2 = a 2 + 2ab + b 2. Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten 2ab und erhalten: c 2 = a 2 + b 2, was dem Satz von Pythagoras entspricht. 2.2 Beispiel: Quersumme Behauptung Wenn die Quersumme einer beliebigen fünfstelligen natürlichen Zahl durch 9 teilbar ist, dann gilt dies auch für die Zahl selbst. Beweis 5

9 2.3 Aufgaben Beweise folgende Aussagen direkt: 1. Das Quadrat aus einer geraden Zahl ist wieder gerade. 2. Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist wieder ungerade. 3. Wenn eine gerade Zahl vervierfacht wird und man dann noch vier dazuaddiert, ist das Ergebnis das Vierfache einer ungeraden Zahl. 4. Die Summe der Innenwinkel beträgt in jedem Dreieck

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11 Kapitel 3 Indirekter Beweis Bei einem Indirekten Beweis nimmt man zuerst das Gegenteil von dem an, was man beweisen möchte - und zeigt dann, dass dieses Gegenteil nicht sein kann, indem man einen Widerspruch herbeiführt. Allerdings ist dies kein Beweis durch Widerspruch: Das ist so. Widerspricht mir jemand? Nein? Gut, dann ist es also bewiesen! 3.1 Beispiel: Es gibt unendlich viele Primzahlen Wir wollen beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dazu nehmen wir das Gegenteil von der Behauptung an: Annahme Es gibt nur endlich viele Primzahlen, p 1, p 2,...p n mit p 1 p 2... p n. p n ist also die grösste, exisitierende Primzahl. Beweis Wir betrachten nun die Zahl p = p 1 p 2... p n + 1. Da jede Zahl eine eindeutige Primzahlzerlegung besitzt, ist auch p wieder eine Primzahl. Dies ist ein Widerspruch zur Annahmen, da p grösser ist als p n. 8

12 3.2 Beispiel: 2 ist irrational Behauptung 2 ist irrational. Beweis 9

13 3.3 Aufgaben Beweise folgende Aussagen indirekt: 1. Die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl ist gerade. 2. Die Wurzel aus einer ungeraden natürlichen Zahl ist ungerade. 3. Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade. 4. a+b 2 a b, a, b, R +. 10

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15 Kapitel 4 Vollständige Induktion Diese Beweistechnik wird immer dann angewendet, wenn man etwas für alle natürlichen Zahlen beweisen will. 4.1 Allgemeines Vorgehen bei vollständiger Induktion Nennen wir die für eine natürliche Zahl n gemachte Aussage A n. Falls es gelingt zu zeigen, dass A 1 wahr ist und dass für alle natürlichen Zahlen n die Richtigkeit A n+1 aus der angenommenen Richtigkeit von A n gefolgert werden kann, dann ist der folgende Satz bewiesen: A n ist wahr für alle natürlichen Zahlen n. 4.2 Beispiel: Formel von Gauss Behauptung Für alle natürlichen Zahlen n gilt die folgende Formel: n i=1 i = n(n+1) 2. Solche Summen heissen arithmetische Summen. 12

16 Beweis n=1 1 i=1 i = 1 = 1(1+1) 2 n n+1 Wir können nun annehmen, dass die Behauptung für n gilt. Unter dieser Voraussetzung müssen wir nun beweisen, dass die Behauptung auch für n=n+1 richtig ist. Es ist also noch zu zeigen: n+1 i=1 i = (n+1)((n+1)+1) 2. Dazu gehen wir folgendermassen vor: n+1 i=1 i = n n(n+1) i=1 i+(n+1) = +(n+1) = n(n+1) + 2(n+1) = n(n+1)+2(n+1) = n2 +n+2n+2 2 = n2 +3n+2 2 = (n+1)(n+2) 2 = (n+1)((n+1)+1) 2 (Das zweite Gleichheitszeichen ist korrekt, da wir ja annehmen dürfen, dass die Behauptung für n gilt.) 13

17 4.3 Beispiel zur Teilbarkeit Behauptung 9 n 4 n ist für jede natürliche Zahl n durch 5 teilbar. 14

18 4.4 Aufgaben Beweise folgende Behauptungen mit Hilfe der Vollständigen Induktion: 1. 8 n 1 ist für jede natürliche Zahl n durch 7 teilbar n + 15 ist für jede natürliche Zahl n durch 24 teilbar. 3. n 3 + 2n ist für jede natürliche Zahl n durch 3 teilbar. 15

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20 Kapitel 5 Summen Ganz am Anfang des Basiskurses haben wir das Summenzeichen kennengelenrnt. Wie wir bei der Formel von Gauss gesehen haben, eigen sich Summen speziell gut für Beweise mit Vollständiger Induktion. Wir werden also kurz das Summenzeichen repetieren und dann einige Beweise dazu machen: 5.1 Der Aufbau des Summenzeichens Wenn man lange Summen aufschreiben will, benutzt man das Summenzeichen. Beispiel 4 i=1 (2i i) = (2 1 1) + (2 2 2) + (2 3 3) + (2 4 4) = Natürlich kann man bei diesem Beispiel die Summe auch ausschreiben. Wenn wir uns nun aber vorstellen, dass wir alle ungeraden Zahlen bis 99 summieren möchten, würde dies sehr mühsam. Mit dem Summenzeichen geht auch das sehr einfach: 50 i=1 (2i 1). Allgemeine Definition Seien a 1,..., a n reelle Zahlen und n 2 eine natürliche Zahl. Die Summe der Zahlen a 1,..., a n wird bezeichnet mit: n i=1 a i = a 1 + a 2 + a a n. 17

21 Erklärung Das ist ein grosser, griechischer Buchstabe und heisst Sigma. Wenn wir ihn aber wie oben beschrieben verwenden, nennen wir ihn Summenzeichen. i=1 bedeutet, dass wir beim Summieren mit 1 beginnen. Danach wird das i bei jedem Summanden um eins erhöht, bis wir bei derjenigen Zahl angelangt sind, welche oberhalb des Summenzeichens steht. Dort hören wir mit dem Summieren auf. Die Summenzeichendarstellung besteht aus folgenden Elementen: 1. Bildungsgesetz der Summanden (im Beispiel: 2 i i) 2. Summationsvariable oder Laufindex mit Werten aus N (im Beispiel: i) 3. Summationsanfang oder untere Summationsgrenze (im Beispiel: i = 1) 4. Summationsende oder obere Summationsgrenze (im Beispiel: 4) 18

22 5.1.1 Aufgaben Aufgabe 1 Rechne die folgenden Ausdrücke aus: a) 3 i=1 4i b) 6 i=2 i c) 500 i=1 2i d) 2 i=1 log 2(i) e) 7 i=1 ( 1 i 1 i+1 ) f) n i=1 i g) n i=0 i Aufgabe 2 Schreibe die folgenden Summen mithilfe des Summenzeichens: a) b) c) d)

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24 5.2 Beweise mit Summenzeichen Beispiele zu Beweisen mit Summenzeichen Beispiel 1 Behauptung Es gilt n N: n i=1 i2 = n(n+1)(2n+1) 6. 21

25 Beispiel 2 Behauptung Die Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis 2a-1 ist gleich dem Quadrat von a. 22

26 5.2.2 Aufgaben 1. Sei c R. Dann gilt n N: n i=1 c = n c. 2. Es gilt n N: n k=1 k3 = ( 1 n(n + 1))2 2 23

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28 Kapitel 6 Zahlenfolgen 6.1 Was ist eine Zahlenfolge? Eine reelle Zahlenfolge a 1, a 2, a 3,,... abgekürzt (a n ), ist eine Funktion, welche die natürlichen Zahlen von eins bis unendlich auf reelle Zahlen abbildet. Anders gesagt ist eine reelle Zahlenfolge eine Nummerierung von unendlich vielen, reellen Zahlen. Definition Eine reelle Zahlenfolge a 1, a 2, a 3,,... abgekürzt (a n ), ist eine Funktion n a n mit n N und a n R. Beispiel Schreibe zu jeder der unten stehenden Folgen weitere 4 Glieder: a) 1, 4, 7, 10, 13, b) 3, 33, 333, 3333, c) 6, 12, 24, 48, d) 1, 2, 6, 24, 120, 720, e) 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, f) 1 2, 3 4, 1, 5 4, 3 2, 7 4, 2, g) 343, 216, 125, 64, h) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 25

29 6.2 Definition von Folgen Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, eine Folge zu definieren, nämlich explizit oder rekursiv Die explizite Definition Ist das allgemeine Glied a n durch einen Term in einer Variablen n gegeben, so heisst die Funktion explizit definiert. Beispiel a n = n 2 4n Berechne die ersten vier Glieder dieser Folge. a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = Die rekursive Definition Oft wird eine Folge dadurch festgelegt, indem man das erste (oder mehrere) Glied(er) nennt und ausserdem angibt, wie man von einem (oder mehreren) Glied(ern) zum nächsten kommt. Man spricht dann von einer rekursiven Definition einer Folge. Beispiele Berechne jeweils die nächsten drei Glieder der folgenden Folgen: 1. a n = 3a n 1, a 1 = 7 2. a n+ 1 = 7a n, a 1 = 0 26

30 6.2.3 Aufgaben Aufgabe 1 Berechne die ersten 5 Glieder der folgenden Folgen: a) a n = 4n 1 b) b n = 2n + 3 c) c n = n 2 3n d) d n = (n + 1) 1 Aufgabe 2 a) Berechne a 5 : a n = a n , a 1 = 5. b) Berechne b 5 : b n+1 = 4b n, b 1 = 3. c) Berechne c 1 und c 7 : c n+1 = c n + n, c 3 = 7. d) Berechne d 0, d 1 und d 6 : d n+1 = (n + 1)d n, d 2 = 2. e) Berechne e 6 : e n+1 = e n 1 + e n, e 1 = 1 und e 2 = 3. Aufgabe 3 Definiere die folgenden Folgen sowohl explizit, als auch rekursiv: a) 2 2, 2 3, 2 4, 2 5,... b) 3, 33,, ,... c) 6, 24, 120, 720, 5040,... Aufgabe 4 Definiere die folgenden Zahlenfolgen rekursiv: a) 5, 11, 23, 47, 95,... b) 7, 20, 59, 176, 527,... c) 2, 4, 16, 256,... d) d n = n 2 e) e n = n 2 2n 27

31 6.2.4 Beweise zu Zahlenfolgen Wenn man die rekursive Definition einer Zahlenfolge kennt und eine Vermutung für die explizite Definition hat, lässt sich mit Hilfe von Vollständiger Induktion einfach beweisen, ob die Vermutung stimmt Beispiel 1 Behauptung Sei a n+1 = a n + 2n, a 1 = 3 die rekursive Definition einer Zahlenfolge, dann ist a n = n 2 n + 3 die explizite Definition dazu. Beweis n=1 3 = a 1 = n n+1 Wir können nun annehmen, dass die Behauptung für n gilt. Unter dieser Voraussetzung müssen wir nun beweisen, dass die Behauptung auch für n=n+1 richtig ist. Es ist also noch zu zeigen: a n+1 = (n + 1) 2 (n + 1) + 3. Dazu vereinfachen wir zunächst unter einbezug der Induktionsannahme die linke Seite (Das zweite Gleichheitszeichen ist korrekt, da wir ja annehmen dürfen, dass die Behauptung für n gilt.): a n+1 = a n + 2n = (n 2 n + 3) + 2n = n 2 + n + 3 Nun vereinfachen wir noch die rechte Seite: a n+1 = (n + 1) 2 (n + 1) + 3 = n 2 + 2n + 1 n Damit sehen wir, dass die linke und die rechte Seite identisch sind. 28

32 6.2.6 Beispiel 2 Behauptung Sei a n+1 = 10a n + 3, a 1 = 3 die rekursive Definition einer Zahlenfolge, dann ist a n = 10n 1 3 die explizite Definition dazu. 29

33 6.2.7 Aufgaben 1. Sei a n+1 = 2a n, a 1 = 4 die rekursive Definition einer Zahlenfolge, dann ist a n = 2 n+1 die explizite Definition dazu. 2. Sei a n+1 = a n + (2n + 1)(2n + 2), a 1 = 2 die rekursive Definition einer Zahlenfolge, dann ist a n = 1 n(n + 1)(4n 1) die explizite Definition 3 dazu. 30

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35 Übungsmaterial zu vollständiger Induktion Falls ihr noch mehr üben möchtet, findet ihr Material auf verschiedenen Internetseiten. Drei Beispiele gebe ich hier an. Erklärungen der Theorie mit Beispielen findet ihr unter: http : //delphi.zsg rottenburg.de/vollstind.html und unter: http : // ragenantworten/erstehilf e/induktion /induktion.html. Viele Aufgaben mit Lösungen findet ihr unter: http : // erate/induktion auf gaben loesungen.pdf 32

36 Kapitel 7 Unterhaltung Im Folgenden sind einige offensichtlich falsche Aussagen bewiesen. Finde die Fehler in den Beweisen! (Dieses Kapitel wird nicht Prüfungsstoff sein - es dient eher der Unterhaltung.) 7.1 falsche Beweise Behauptung: Alle Zahlen sind = 0. Beweis: Wir dürfen annehmen, dass es zu jeder beliebigen Zahl a eine Zahl b gibt mit: a = b. Durch Umformen dieser Gleichung erhalten wir: a = b / a a 2 = ab / b 2 a 2 b 2 = ab b 2 /3. Binomische Formel (a + b)(a b) = b(a b) / : (a b) a + b = b / b a = 0. Da a beliebig war, folgt daraus die Behauptung. 33

37 Behauptung: 2 = 1 Beweis Wir dürfen annehmen, dass für zwei Zahlen a und b gilt: a = b. Durch umformen dieser Gleichung erhalten wir: a = b / a a 2 = ab / + (a 2 2ab) a 2 + a 2 2ab = ab + a 2 2ab 2a 2 2ab = a 2 ab 2(a 2 ab) = a 2 ab / : (a 2 ab) 2 = 1. Behauptung: 4 > 12 Beweis Offensichtlich gilt: 7 > 5. Durch Umformen dieser Ungleichung erhalten wir: 7 > 5 / > > 3 / ( 4) ( 1)( 4) > ( 3)( 4) 4 > 12. Behauptung: Das Quadrat einer beliebigen, natürlichen Zahl ist = 1. Beweis Sei m eine beliebige, natürliche Zahl. Weiter setzen wir: x = y = m2 4. Damit kommen wir auf folgende Gleichung: 34

38 x = y / x = y / ( 1) x = y / + x x x = x y /da x = y x x = y y / + x y x y = x y /3. Binomische Formel ( x y)( x + y) = x y / : ( x y) x + y = 1 /da x = y x + x = 1 2 x = 1. Wir ersetzen nun in der letzten Gleichung x durch m2 und erhalten damit: 4 1 = 2 x = 2 m 2 4 = 2m 2 = m. Die beliebig gewählte Zahl m ist also = 1 und damit ist auch das Quadrat dieser beliebigen Zahl = 1. Behauptung: 1 Fr. = 1 Rp. Beweis 1 Fr. = 100 Rp. = (10 Rp.) 2 = (0.1 Fr.) 2 = 0.01 Fr. = 1 Rp. Behauptung: 0 = 1. Beweis 20 = = / + ( 9 2 ) ( 9 2 )2 = ( 9 2 ) ( )2 = ( )2 /2. Binomische Formel (5 9 2 )2 = (4 9 2 )2 / 5 9 = 4 9 / = 4 / 4 1 = 0 35

39 Behauptung: Das Gewicht eines Elefanten ist gleich dem Gewicht einer Mücke. Beweis Sei x das Gewicht des Elefanten und y das Gewicht der Mücke. Sei d der Unterschied dieser beiden Gewichte. Dann gilt: x = y + d / (x y) x(x y) = (y + d)(x y) x 2 xy = xy y 2 + xd yd / xd x 2 xy xd = xy y 2 yd x(x y d) = y(x y d) / : (x y d) x = y Damit haben wir gezeigt, dass x = y gelten muss und damit das Gewicht des Elefanten gleich ist, wie das der Mücke. 36

40 ... und hier noch eine kleine Geschichte, die nichts mit Beweisen zu tun hat. 7.2 Rotkäppchen auf mathematisch Es war einmal ein Mädchen, dem wurde eindeutig eine rote Kappe zugeordnet, wodurch es als Rotkäppchen definiert wurde. Kind, argumentierte die Mutter, werde kreativ, mathematisiere die kürzeste Verbindung des Weges zur Grossmutter, analysiere aber nicht die Blumen am Wege, sondern formalisiere deinen Weg in systematischer Ordnung. Rotkäppchen vereinigte einen Kuchen, eine Wurst und eine Flasche Wein zu einer Menge, hinterfragte noch einmal den Weg und ging los. Im Walde schnitt seinen Weg den eines Wolfes. Er diskutierte mit ihr über die Relevanz eines Blumenstrausses und motivierte es, einen geordneten, höchstens abzählbaren Strauss zu verknüpfen. Inzwischen machte der Wolf die Grossmutter zu einer Teilmenge von sich. Als Rotkäppchen dann dort ankam, fragte es: Grossmutter, warum hast du so grosse Augen? Ich habe gerade eine Modulprüfung abgelegt. Grossmutter, warum hast du so grosse Ohren? Ich habe versucht, die Prüfungsfragen durch die Tür zu erlauschen! Grossmutter, warum hast du so ein grosses Maul? Ich habe gerade versucht, das Mensa-Essen zu schlucken. Darauf machte der Wolf sich zur konvexen Hülle von Rotkäppchen. Ein Jäger kam, sah eine leere Menge von Grossmüttern im Haus und problematisierte die Frage, bis sie ihm transparent wurde. Dann nahm er sein Messer und machte aus dem Wolf eine Schnittmenge. Die im Wolf integrierten Personen wurden schleunigst von im subtrahiert. Zum Wolf wurde eine mächtige Menge von Steinen addiert. Er fiel in einen zylinderförmigen Brunnen, bis seine Restmenge nicht mehr lebte. 37

41 Literaturverzeichnis E. Cramer, J. Ne slehová, Vorkurs Mathematik, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2009 H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, B. G. Teubner, Stuttgard,