Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 5 Seite 1 von 10. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

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1 Seite von 0 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 0 Mathematik, Leistungskurs. Aufgabenart Lineare Algebra/Geometrie mit Alternative (Abbildungsmatrizen). Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 0. Inhaltliche Schwerpunkte Lineare Gleichungssysteme für n >, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Lineare Abhängigkeit von Vektoren, Parameterformen von Geraden- und Ebenengleichungen Standard-Skalarprodukt mit den Anwendungen Orthogonalität, Winkel und Länge von Vektoren Normalenformen von Ebenengleichungen, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Abstandsprobleme (Abstand Punkt Ebene) Alternative : Abbildungsmatrizen, Matrizenmultiplikation als Abbildungsverkettung, inverse Matrizen und Abbildungen, Eigenwerte und Eigenvektoren. Medien/Materialien entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab.

2 Seite von 0 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6. Modelllösungen Modelllösung a) () Aus AB und AC ergibt sich AB AC 0. Damit ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei A, da das Skalarprodukt der beiden obigen Vektoren gleich 0 ist. () Berechnung der Ortsvektoren der Bildpunkte: 0,6 0,8 0 3,8 0,6 0,8 0, 0,8 0,6 0 0,4 0,8 0,6 0 0, ,6 0,8 0 0,8 0, ,6 0,8. Aus 0,4 A ' B',8 und,8 A 'C' 0,4 ergibt sich AB ' ' AC ' ' 0. Damit ist auch das Bilddreieck rechtwinklig. (3) Die Dreiecke ABC sowie A B C liegen in einer Ebene parallel zur x x -Ebene mit der Gleichung x3. [Alternative Formulierungen sind hier vorstellbar.]

3 Seite 3 von 0 Modelllösung b) Aus der gegebenen Ebenengleichung folgt x x bei beliebigem x 3. Damit ergibt sich das Bild sämtlicher Ebenenpunkte unter f durch: 0,6 0,8 0 0,8 0,6 0 0 x 0 x x3 0,6x,6x 0,8x,x x3 x x x3 Folglich werden sämtliche Punkte der Ebene E durch f auf sich selbst abgebildet. Modelllösung c) () ist genau dann ein Eigenwert der Abbildung f, wenn das folgende LGS eine Lö- x sung x x 3,6 0,8 0 x 0 0 besitzt: 0,8 0,4 0 x 0. Dieses LGS ist äquivalent zu: 0 0 0x 3 0 x x 0. Die Menge M der Eigenvektoren zu sind also die Ortsvektoren aller Punkte der Ebene E, die vom Koordinatenursprung verschieden sind. ist genau dann ein Eigenwert der Abbildung f, wenn das folgende LGS eine x Lösung x x 3 3 0,4 0,8 0x 0 0 besitzt: 0,8,6 0 x 0. Dieses LGS ist äquivalent zu: 0 0 x 3 0 x x 0x 0. Die Menge der Eigenvektoren zu ist demnach M t : tir \. 0 () Es ist E M 0 nach c) (). M 0 ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung mit dem Richtungsvektor. Diese ist orthogonal zu der Ebene E.

4 Seite 4 von 0 Modelllösung d) Nach b) bildet f jeden Punkt der Ebene E erfüllt. Zu jedem Punkt P, der nicht in E auf sich selbst ab. Damit ist Eigenschaft () für E liegt, gibt es einen Lotfußpunkt FP P in der Ebene E, so dass F P P orthogonal zu E ist und damit ein Vielfaches von darstellt. FP P 0 ist nach c) ein Eigenvektor von f zum Eigenwert. Damit gilt f F P F P. Sei P der Bildpunkt von P bzgl. der Abbildung f. Dann erhält man P P f F P f x x f x f x x x F P, da f durch eine Matrix gegeben ist. P P FP P FP P FP P Somit gilt FP P = F P P. Damit sind die Eigenschaften () und (3) erfüllt. Insgesamt gesehen ist die Abbildung f eine Spiegelung an der Ebene [Alternative Begründungen sind vorstellbar.] E. Modelllösung e) Bei der Spiegelung f E an der Ebene E, die den Ursprung enthält, wird jeder Richtungsvektor von E auf sich selbst abgebildet. Wählt man zwei nicht kollineare Richtungsvektoren, so folgt: Der Eigenwert besitzt zwei linear unabhängige Eigenvektoren. [Andere Formen der Begründung sind hier vorstellbar.]

5 Seite 5 von 0 6. Teilleistungen Kriterien Teilaufgabe a) () zeigt, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist. 4 () berechnet die Koordinaten der Bildpunkte A, B, C. 3 3 () untersucht das Bilddreieck ABC auf Rechtwinkligkeit. 4 4 (3) prüft, ob die Dreiecke ABC sowie ABC eine besondere Lage einnehmen. 3 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe b) E durch die Abbildung f auf sich selbst ab- weist nach, dass jeder Punkt der Ebene gebildet wird. Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. 7 Teilaufgabe c) () zeigt, dass und Eigenwerte der Abbildung f sind. 4 () bestimmt sämtliche Eigenvektoren zu den beiden Eigenwerten. 6 3 () untersucht die Zusammenhänge zwischen der Ebene E und den Eigenvektoren. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet.

6 Seite 6 von 0 Teilaufgabe d) begründet die Gültigkeit der Eigenschaft () einer Spiegelung an einer Ebene. 3 begründet die Gültigkeit der Eigenschaften () und (3) einer Spiegelung an einer Ebene. Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. 8 Teilaufgabe e) begründet die Aussage aus der Aufgabenstellung. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet.

7 Seite 7 von 0 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilaufgabe a) () zeigt, dass das 4 () berechnet die Koordinaten 3 3 () untersucht das Bilddreieck 4 4 (3) prüft, ob die 3 sachlich richtige Alternativen: (4) Summe Teilaufgabe a) 4 EK ZK DK Teilaufgabe b) weist nach, dass 7 sachlich richtige Alternativen: (7) Summe Teilaufgabe b) 7 EK ZK DK EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur

8 Seite 8 von 0 Teilaufgabe c) () zeigt, dass 4 EK ZK DK () bestimmt sämtliche Eigenvektoren 6 3 () untersucht die Zusammenhänge 4 sachlich richtige Alternativen: (4) Summe Teilaufgabe c) 4 Teilaufgabe d) begründet die Gültigkeit 3 begründet die Gültigkeit 8 sachlich richtige Alternativen: () Summe Teilaufgabe d) EK ZK DK Teilaufgabe e) begründet die Aussage. 4 sachlich richtige Alternativen: (4) Summe Teilaufgabe e) 4 EK ZK DK Summe insgesamt 50

9 Seite 9 von 0 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der dritten bearbeiteten Aufgabe 50 der gesamten Prüfungsleistung 50 aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß 3 Abs. APO-GOSt EK ZK DK Paraphe ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: Die Klausur wird abschließend mit der Note: ( Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum

10 Seite 0 von 0 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den en ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus 7 0 gut 9 3 gut minus 0 05 befriedigend plus befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend ausreichend minus mangelhaft plus mangelhaft mangelhaft minus ungenügend 0 9 0