Grundlagen der Technischen Informatik. 4. Übung

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1 Grundlagen der Technischen Informatik 4. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit

2 4. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: IEEE Format Zahlenumwandlung Addition und Subtraktion von Gleitkommazahlen Multiplikation von Gleitkommazahlen Assoziativität von Operationen in Fließkommadarstellung

3 4. Übungsblatt Aufgabe 1 Die Zahlendarstellung im IEEE Standard 754 (single precision): Allgemein gilt: Z = (-1) V * (1 + M) * 2 (E - BIAS) a) Konvertieren Sie die folgenden nach obigem Standard codierten Zahlen in das Dezimalsystem: I) II)

4 4. Übungsblatt Aufgabe 1 a) Konvertieren Sie die folgenden nach obigem Standard codierten Zahlen in das Dezimalsystem: I) V = 0 E = = = 153 BIAS = 2 #E-1-1 = = = 127 M = (1 + M) = = /2 12 (-1) 0 ( ) 2 ( ) D D

5 4. Übungsblatt Aufgabe 1 a) Konvertieren Sie die folgenden nach obigem Standard codierten Zahlen in das Dezimalsystem: II) V = 1 E = = = 25 BIAS = 2 #E-1-1 = = = 127 M = (1 + M) = = / (-1) ( ) 2 (25 127) D D

6 4. Übungsblatt Aufgabe 1 b) Wandeln Sie die folgenden Zahlen in den obigen IEEE-Standard um: I) - 6,25 * 10-3 D = - 0, II) 3,14159 D = 11,

7 4. Übungsblatt Aufgabe 1 I) - 6,25 * 10-3 D = - 0,00625 D = - 0, ,00625 * 2 = - 0, ,0125 * 2 = - 0, ,025 * 2 = - 0,05 0-0,05 * 2 = - 0,1 0-0,1 * 2 = - 0,2 0-0,2 * 2 = - 0,4 0-0,4 * 2 = - 0,8 0-0,8 * 2 = - 1,6 1-0,6 * 2 = - 1,2 1-0,2 * 2 = - 0,4 0...

8 4. Übungsblatt Aufgabe 1 I) - 6,25 * 10-3 D = - 0,00625 D = - 0, , , * 2-8 M = 1, E + BIAS = = 119 E = : 2 = 59 R1 59 : 2 = 29 R1 29 : 2 = 14 R1 14 : 2 = 7 R0 7 : 2 = 3 R1 3 : 2 = 1 R1 1 : 2 = 0 R1-6,25 * 10-3 D = B

9 4. Übungsblatt Aufgabe 1 II) 3,14159 D = 11, ,14159 * 2 = 0, ,28318 * 2 = 0, ,56636 * 2 = 1, ,13272 * 2 = 0, ,26544 * 2 = 0, ,53088 * 2 = 1, ,06176 * 2 = 0, ,12352 * 2 = 0, ,24704 * 2 = 0, ,49408 * 2 = 0,

10 4. Übungsblatt Aufgabe 1 II) 3,14159 D = 11, , , * 2 1 M = 1, E + BIAS = = 128 E = ,14159 D = B 128 : 2 = 64 R0 64 : 2 = 32 R0 32 : 2 = 16 R0 16 : 2 = 8 R0 8 : 2 = 4 R0 4 : 2 = 2 R0 2 : 2 = 1 R0 1 : 2 = 0 R1

11 4. Übungsblatt Aufgabe 1 b) Auf wie viele dezimale Nachkommastellen genau kann die Zahl Pi angegebenen werden? Von der Mantisse werden 23 Bit zur Speicherung der Nachkommastellen verwendet. Der maximale Fehler ist in diesem Fall 2-23 = 0.12 * 10-6 Pi kann also auf 6 dezimale Nachkommastellen genau angegeben werden

12 4. Übungsblatt Aufgabe 1 c) Warum kann einer float-variablen der Wert 1*10-42, nicht aber der Wert 1*10 42 zugewiesen werden? Die betragsmäßig kleinsten darstellbaren normalisierten Zahlen wären im IEEE-Standard 754 einfacher Genauigkeit und Um die Auflösung zu erhöhen, gibt man dem Exponenten -127 eine besondere Bedeutung. Statt 1,M wird dann implizit 0,M * angenommen. Die sogenannte denormalisierte Darstellung. Diese erlaubt die Darstellung kleinerer Zahlen durch Schieben und Auffüllen von Nullen der Mantisse nach rechts. Dieses Verfahren verringert allerdings die Genauigkeit. Eine Expansion in positiver Richtung kann so nicht erreicht werden, so dass eine Variable den Wert 1*10-42, nicht aber den Wert 1*10 42 besitzen kann.

13 4. Übungsblatt Aufgabe 2 Seien folgende Zahlen im IEEE-Standard 754 einfacher Genauigkeit gegeben: x 1 = x 2 = x 3 = a) Berechnen Sie x 4 = x 1 + x 2 b) Berechnen Sie x 5 = x 1 + x 3

14 4. Übungsblatt Aufgabe 2 Vorgehensweise zur Addition/Subtraktion: 1. Transformiere durch Rechtschieben der kleineren Zahl auf den Exponenten der Größeren 2. Falls nötig 2er-Komplement bilden 3. Addieren/Subtrahieren der Mantissen (falls Ergebnis < 0: setze Vorzeichenbit und bilde 2er-Komplement) 4. Normalisiere Ergebnis 4.1 Falls Ergebnis 2: schiebe Ergebnis um eins nach rechts und inkrementiere den Exponenten 4.2 Falls Ergebnis < 0: schiebe Ergebnis um eins nach links und dekrementiere den Exponenten 4.3 Wiederhole 4.1 bzw. 4.2 bis Ergebnis == 0 1 Ergebnis < 2 5. Behandlung von Sonderfällen (Überlauf, Unterlauf, Null)

15 4. Übungsblatt Aufgabe 2 a) Berechnen Sie x 4 = x 1 + x 2 E(x 1 ) = E(x 1 ) = = 153 E(x 2 ) = E(x 2 ) = = 153 E(x 1 ) = E(x 2 )

16 4. Übungsblatt Aufgabe 2 a) Berechnen Sie x 4 = x 1 + x 2 M(x 1 ) : 1, M(x 2 ) : 1, M(x 4 ) = 11, M(x 4 ) = 1, * 2 1 E(x 4 ) = E(x 1 ) + 1 = V(x 4 ) = M(x 4 ) 11,

17 4. Übungsblatt Aufgabe 2 a) Berechnen Sie x 4 = x 1 + x 2 V(x 4 ) = 0 E(x 4 ) = M(x 4 ) = 1, x 4 = x 1 + x 2 =

18 4. Übungsblatt Aufgabe 2 a) Berechnen Sie x 5 = x 1 + x 3 E(x 1 ) = E(x 1 ) = = 153 E(x 3 ) = E(x 3 ) = = 148 E(x 1 ) > E(x 3 ) x 3 durch Rechtsschieben um E(x 1 ) - E(x 3 ) = 5 Stellen transformieren

19 4. Übungsblatt Aufgabe 2 a) Berechnen Sie x 5 = x 1 + x 3 M(x 3 ) = 1, x 3 durch Rechtsschieben um E(x 1 ) - E(x 3 ) = 5 Stellen transformieren M (x 3 ) = 0,

20 4. Übungsblatt Aufgabe 2 a) Berechnen Sie x 5 = x 1 + x 3 V(x 3 ) = 1 x 5 = x 1 + (-x 3 ) M (x 3 ) : 00, M (x 3 ) : 11, M (x 3 ) 11, M(x 1 ) 01, M(x 5 )

21 4. Übungsblatt Aufgabe 2 a) Berechnen Sie x 5 = x 1 + x 3 M(x 5 ) = 00, V(x 5 ) = 0 M (x 5 ) = 1, * 2-1 E(x 5 ) = E(x 1 ) 1 = x 5 = x 1 + x 3 =

22 4. Übungsblatt Aufgabe 3 Sei folgendes Format für Gleitkommazahlen gegeben, das analog zum IEEE-Standard 754 definiert ist: Multiplizieren Sie nun folgende Gleitkommazahlen dieses Formats miteinander: x 1 = x 2 =

23 4. Übungsblatt Aufgabe 3 Vorgehensweise: 1. Mantissen multiplizieren: 1,M(x 1 ) * 1,M(x 2 ) 2. Exponenten addieren, aber einmal den Bias abziehen 3. Mantisse eventuell normalisieren 4. Das Vorzeichen getrennt behandeln

24 4. Übungsblatt Aufgabe 3 M 1 = 1, M 2 = 1, , * 1, , M(x 1 * x 2 ) = 11,

25 4. Übungsblatt Aufgabe 3 x 1 = x 2 = E(x 1 ) = E(x 2 ) = E(x 1 ) = = 72 E(x 2 ) = = 74 E(x 1 ) - BIAS = = 9 E(x 2 ) - BIAS = = 11 E(x 1 * x 2 ) = BIAS = =

26 4. Übungsblatt Aufgabe 3 M(x 1 * x 2 ) = 11, (0111 1) <- Verlust M(x 1 * x 2 ) = 11, = 1, * 2 1 E(x 1 * x 2 ) = BIAS = = E(x 1 * x 2 ) = = V(x 1 * x 2 ) = V(x 1 ) XOR V(x 2 ) = 0 XOR 1 = 1

27 4. Übungsblatt Aufgabe 3 V(x 1 * x 2 ) = 1 E(x 1 * x 2 ) = = M(x 1 * x 2 ) = 11, = 1, x 1 * x 2 =

28 4. Übungsblatt Aufgabe 4 Addition und Multiplikation von Operanden in einer Gleitkommadarstellung sind im Allgemeinen nicht assoziativ. Belegen Sie dies, indem Sie mit einem PC-Tabellenkalkulationsprogramm experimentieren. Bestimmen Sie dadurch auch die Anzahl der Bits, die zur Speicherung der Mantisse verwendet wird.

29 4. Übungsblatt Aufgabe 4 Beispiel: Excel 2013 Man sieht, dass die Zahlen im 64Bit IEEE 754 Format abgespeichert werden

30 4. Übungsblatt Danke für die Aufmerksamkeit