Tutorium zur Vorlesung Differential und Integralrechnung II Bearbeitungsvorschlag

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1 MAHEMAISCHES INSIU DER UNIVERSIÄ MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 206 Bltt utorium zur Vorlesung Differentil und Integrlrechnung II Berbeitungsvorschlg 45. ) Für die beiden Rechtecke R = [ 3, 3] [, ] und R 2 = ], [ ] 3, 3[ ergibt sich zum einen ds Qudrt X = R R 2 = ], [ [, ] und zum nderen ds Kreuz X 2 = R R 2 = ( [ 3, 3] [, ] ) ( ], [ ] 3, 3[ ), und wir erhlten die folgenden Skizzen: R 2 R X 2 X

2 Die Rechtecke R und R 2 sowie ds Qudrt X sind konvex und dmit insbesondere zusmmenhängend; für ds Kreuz X 2 beobchtet mn: Für die beiden Punkte x = ( 3, 0) X 2 und y = (0, 2) X 2 verläuft die Verbindungsstrecke nicht komplett in X 2 ; dmit ist X 2 nicht konvex. X 2 ist zusmmenhängend, d es für je zwei Punkte x, y X 2 eine Kurve f : [, b] R 2 mit f() = x und f(b) = y gibt, die gnz in X 2 verläuft. Wir wählen etw den Streckenzug, der x X 2 über den Ursprung (0, 0) X 2 mit y X 2 verbindet. b) Wir betrchten die folgende Skizze: R R 2 R R 2 X 2 X X X 2 Dmit ergibt sich: Ds Rechteck R = [ 3, 3] [, ] besitzt den Rnd R = ( { 3, 3} [, ] ) ( [ 3, 3] {, } ) sowie ds Innere R = ] 3, 3[ ], [ und den Abschluß R = [ 3, 3] [, ] = R ; wegen R = R ist R bgeschlossen. Ds Rechteck R 2 = ], [ ] 3, 3[ besitzt den Rnd R 2 = ( {, } [ 3, 3] ) ( [, ] { 3, 3} ) sowie

3 ds Innere R 2 = ], [ ] 3, 3[ = R 2 und den Abschluß R 2 = [, ] [ 3, 3]; wegen R 2 = R 2 ist R 2 offen. Ds Qudrt X = [, ] ], [ besitzt den Rnd X = ( {, } [, ] ) ( [, ] {, } ) sowie ds Innere X = ], [ ], [ und den Abschluß X = [, ] [, ]. Wegen X X und X X ist X weder offen noch bgeschlossen. Ds Kreuz X 2 = ( [ 3, 3] [, ] ) ( ], [ ] 3, 3[ ) besitzt den Rnd X 2 = ( { 3, 3} [, ] ) ( {, } ( [ 3, ] [, 3] )) ( [, ] { 3, 3} ) (( [ 3, ] [, 3] ) {, } ) sowie ds Innere X 2 = ( ] 3, 3[ ], [ ) ( ], [ ] 3, 3[ ) und den Abschluß X 2 = ( [ 3, 3] [, ] ) ( [, ] [ 3, 3] ). Wegen X 2 X 2 und X 2 X 2 ist X 2 weder offen noch bgeschlossen. 46. ) Als innerer Punkt von X kommt nur ein Element von X, lso ein Stmmbruch für ein n N in Frge; für jedes r > 0 enthält ber ds Intervll n ( K ) ] r n = r; + r[ n n uch irrtionle Zhlen, und dmit ist K r ( ) X. Folglich besitzt X keine n inneren Punkte, es ist lso X =. b) Zunächst kommt kein Element von X ls äußerer Punkt von X in Frge. Ferner gibt es zu jedem r > 0 nch dem rchimedischen Axiom ein n N mit n < r, so dß sich n X K r(0) und dmit X K r (0) ergibt; folglich ist uch 0 kein äußerer Punkt von X. Wir zeigen nun, dß jeder Punkt R, der nicht in X {0} liegt, ein äußerer Punkt der Menge X ist: Für < 0 wähle mn r = > 0, und es ist K r () = ] r; + r[ = ]2; 0[ und dmit X K r () =. Für > wähle mn r = > 0, und es ist und dmit X K r () =. K r () = ] r; + r[ = ]; 2 [

4 Für 0 < < mit / X gibt es ein n N mit < <. Mn n+ n betrchte die Abstände d = und d n+ 2 = von zu den beiden n benchbrten Stmmbrüchen und und wähle r = min{d n+ n, d 2 } > 0; dmit gilt X K r () = nch Whl von r. Insgesmt gilt lso X = X {0} mit X = und X = X. 47. Bei der zu betrchtenden Menge {( X = x, sin ) } x R + R 2 x hndelt es sich um den Grphen der Funktion dbei gilt f : R + R, f(x) = sin x ; f(x) = 0 sin x = 0 x>0 x = kπ, lso x = kπ für ein k N. K r () X Sei = (0, 0) R 2. Für jedes r > 0 betrchten wir die offene Kreisscheibe K r () um den Mittelpunkt mit dem Rdius r: Es ist K r (), und wegen X R + R ist / X. Folglich gilt K r () X. Wegen lim = 0 gibt es ein k k kπ 0 N mit x 0 = < r, lso (x k 0 π 0, 0) K r (), und wegen x 0 R + mit f(x 0 ) = sin x 0 = sin (k 0 π) = 0 ist (x 0, 0) X. Folglich ist K r () X. Dmit ist ein Rndpunkt von X. 48. ) Die für den Prmeter > 0 gegebene Kurve f : R R 2, f (t) = ( e t cos t, e t sin t ) = e t (cos t, sin t),

5 ist stetig differenzierbr, und für lle t R gilt f (t) = ( e t cos t e t sin t, e t sin t + e t cos t ) = e t ( cos t sin t, sin t + cos t) ; }{{} =:v(t) dbei ergibt sich für die Längen von f (t) und f (t) zum einen und zum nderen wegen f (t) = e t cos 2 t + sin 2 t = e t v(t) 2 = ( cos t sin t) 2 + ( sin t + cos t) 2 = ( 2 cos 2 t 2 cos t sin t + sin 2 t ) + + ( 2 sin 2 t + 2 sin t cos t + cos 2 t ) = 2 ( cos 2 t + sin 2 t ) + ( sin 2 t + cos 2 t ) = 2 +, lso v(t) = 2 +, dnn Für t R besitzt f (t) = e t 2 +. die ngente n die Kurve f im Kurvenpunkt f (t) den ngentilvektor f (t) ls Richtungsvektor und die Ursprungsgerde durch den Kurvenpunkt f (t) den Richtungsvektor f (t) selbst; für den Schnittwinkel α(t) ergibt sich demnch mit lso cos α(t) = f (t) f (t) f (t) f (t) f (t) f (t) = e t ( cos t sin t, sin t + cos t) e t (cos t, sin t) = ( e t) 2 ( ( cos t sin t) cos t + ( sin t + cos t) sin t ) cos α(t) = = ( e t) 2 ( ( cos 2 t sin t cos t) + ( sin 2 t + cos t sin t) ) = ( e t) 2 ( cos 2 t + sin 2 t ) = ( e t) 2, f (t) f (t) f (t) f (t) = (e t ) 2 e t 2 + e = t 2 +. Folglich ist cos α(t) und dmit uch der Schnittwinkel α = α(t) selbst unbhängig von t; für diesen gilt ferner ( ) 2 sin 2 α = cos 2 α = = = 2 +,

6 wegen α [0; π] lso sin α = 2 + und dmit cot α = cos α sin α =. b) Mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse erhält mn für die Bildmenge K der Kurve f für den Prmeterwert = die folgende Skizze: π 6 y x c) Gemäß ) ist die f uf dem Intervll [ ; 0] mit < 0 rektifizierbr, und für ihre Bogenlänge gilt 0 0 L ( ) = f (t) dt = e t 2 + dt = 2 + e t dt = = [ ] e t = 2 + (e 0 e ) = 2 + ( e ) ; dmit ergibt sich wegen > 0 für den Grenzwert lim L ( ) = lim 2 + ( e }{{} 0 0 ) = 2 +.