Dynamische Geometrie & Komplexitätstheorie. Céline Schöne und Gunther Kraut

Transkript

1 Dynamische Geometrie & Komplexitätstheorie Céline Schöne und Gunther Kraut

2 Wir haben gelernt... Es gibt freie und abhängige Punkte. Mit Snapshot ist eine bestimmte Position der freien Elemente bezeichnet. Eine stetige Bewegung der freien Elemente soll zu einer stetigen Bewegung der abhängigen Elemente führen. Problem: Zweideutigkeit kann Sprünge erzeugen.

3 Geometric straight line programs Konstruktionen werden formalisiert. Ein GSP ist eine Sequenz von bestimmten geometrischen Operationen. Deterministisch, nicht-deterministisch und der Sonderfall der freien Operation. Ein GSP beschreibt keine eindeutige geometrische Situation. Ein GSP hat verschiedene Instanzen.

4 Das Problem der Stetigkeit Solange die freien Punkte auf stetigen Bahnen bewegt werden, sollten sich auch die abhängigen Elemente auf stetigen Bahnen bewegen. Parametrisierung der freien Punkte durch λ [ 0,1 ].

5 Komplexe projektive Geometrie Ein Punkt kann sich ins Unendliche bewegen und stetig auf der anderen Seite der eingebetteten euklidischen Ebene zurück kommen. Großer Vorteil: Schnittpunkte verschwinden niemals! (Komplexe) Koordinaten sind Lösungen von quadratischen Gleichungen.

6 Bewegungen im Komplexen Beide Schnittpunkte werden individuell betrachtet. Verfolge ihren Weg durch den komplexen Raum. Da die Situation am Tangentialpunkt symmetrisch ist, gibt es keine Entscheidungsregel, um den Weg festzulegen.

7 Bewegungen im Komplexen Die Symmetrie wird durch einen komplexen Umweg künstlich durchbrochen. Auf dem komplexen Umweg fallen die Punkte nie zusammen.

8 Vom Mausklick zur Funktion Der Benutzer eines Geometrie- Programms gibt keinen Pfad vor. Die Bewegung des Cursors liefert eine diskrete Folge von Punkten. Im nicht-singulären Fall ist es möglich, diese Punkte durch stückweise stetige Pfade zu verbinden.

9 Der automatische Beweiser Um klare Datenstrukturen zu erzeugen, untersucht Cinderella das GSP auf geometrische Gesetzmäßigkeiten. Es werden ausreichend viele zufällige Varianten einer Konfiguration erzeugt, um die Gesetzmäßigkeit zu überprüfen. Dies geschieht bis ein Gegenbeispiel gefunden ist oder bis die Gesetzmäßigkeit nach sehr vielen Überprüfungen mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit als wahr angesehen wird.

10 P NP PSPACE P bezeichnet die Klasse der allgemeinen Entscheidungsprobleme, die mit einem polynomialen Algorithmus (in der Kodierungslänge der Inputdaten) gelöst werden können.

11 P NP PSPACE NP bezeichnet die Klasse der allgemeinen Entscheidungsprobleme, bei denen für jeden Input, für den die Entscheidung ja lautet, eine Lösung existiert, von der dieses polynomial in der Größe des Inputs festgestellt werden kann.

12 P NP PSPACE PSPACE bezeichnet die Klasse der allgemeinen Entscheidungsprobleme, die von einer Turing-Maschine mit polynomialem Speicherplatzbedarf in unbegrenzter Zeit lösbar sind. Diese Definition ist unabhängig davon, ob die Turing-Maschine deterministisch ist oder nicht.

13 NP-schwer / NP-vollständig Ein Entscheidungsproblem heißt NPschwer, falls sich alle Probleme aus NP polynomial darauf reduzieren lassen. Ist das Problem aus NP und NP-schwer, dann heißt es NP-vollständig.

14 Boolscher Ausdruck Boolsche Variable: Nimmt genau die Werte wahr und falsch an. Boolscher Ausdruck: Kombination Boolscher Variablen, verknüpft mit,,.

15 3-SAT SATISFIABILITY: Ist der Boolsche Ausdruck erfüllbar? 3-SAT: Formeln in Standardform, n d.h. C, C i i=1 i Klauseln mit genau 3 Variablen, die nur, enthalten.

16 Komplexe Fragestellungen Zwei grundsätzliche Fragen: Erreichbarkeits-Problem: Seien zwei Instanzen eines GSP gegeben. Ist es möglich, die freien Punkte so zu bewegen, dass sie stetig ineinander überführt werden können? Verfolgungs-Problem: Wie kann ein Geometrie-Programm nach einer Bewegung entscheiden, welche Instanz es für die neue Position der freien Punkte darstellen soll?

17 Theorem 1 Sei P ein GSP, das höchstens drei Winkelhalbierungen enthält und sonst nur Punkte verbindet und Geraden schneidet. Seien I und J zwei Instanzen von P, die sich nur durch die Wahl einer Winkelhalbierenden unterscheiden. Die Entscheidung, ob I durch eine stetige Bewegung der freien Punkte im Reellen in J überführt werden kann, ist NPschwer.

18 Lemma S ist erfüllbar genau dann, wenn ( x ) [ ] n 1,..., x n 0, 1 existiert mit F ( x,..., ) 0. s 1 x n =

19 Theorem 1 Sei P ein GSP, das höchstens drei Winkelhalbierungen enthält und sonst nur Punkte verbindet und Geraden schneidet. Seien I und J zwei Instanzen von P, die sich nur durch die Wahl einer Winkelhalbierenden unterscheiden. Die Entscheidung, ob I durch eine stetige Bewegung der freien Punkte im Reellen in J überführt werden kann, ist NP-schwer.

20 Theorem 2 Gegeben sei ein GSP P, das genau einen freien Punkt p enthält und zwei Instanzen A und B, so dass p in A auf Position a und in B auf Position b ist. Sei ein bestimmter Pfad von p mit p 1 = b ( ). Die Entscheidung, ob die stetige Veränderung von P unter dieser von A ausgehenden Bewegung zu B führt, ist NP-schwer. p ( t ) : [ 0,1 ] [ a, b] p ( 0) = a und

21 Reale Vorteile im Reellen Der einzige Weg, ein stetiges Verhalten der abhängigen Elemente zu erreichen, ist der hier vorgestellte. Reale Vorteile im Reellen: Analytische Funktionen Keine Sprünge Globale Konsistenz Absolute Wahrheit Eindeutige Lösungen Beweiser funktioniert Self exploring Loci Computational kinematics