Matrizen und Determinanten

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1 Mtrizen und Determinnten Im bschnitt Vektorlgebr Rechenregeln für Vektoren Multipliktion - Sklrprodukt, Vektorprodukt, Mehrfchprodukte wurde in einem Vorgriff bereits eine interessnte mthemtische Konstruktion benutzt - die Mtri Eine Mtri ist dbei ein rechteckiges Schem, dessen Elemente meist Zhlen sind Elemente der Mtri können ber uch Vrible oder Funktionen sein Eine Mtri besteht us m Zeilen und n Splten und wird m, n -Mtri gennnt Die Dimension einer Mtri mit m Zeilen und n Splten ist m n Die Position eines Elementes ij wird mit einem Doppelinde gekennzeichnet Der erste Inde i gibt dbei die Zeile, der zweite Inde j die Splte n des Elements n ij m Zeilen, Inde i Mtri m n : n Splten, Inde j mn Beispiel:, -Mtri, lso Zeilen und Splten; ds Element ist beispielsweise 6 Merkregel Indereihenfolge: zuerst die Zeile, die Splte später - ls Schreibweise ht sich eine nordnung in Zeilen und Splten zwischen großen Klmmern meist runde Klmmern durchgesetzt Die Mtri selbst wird durch Großbuchstben bezeichnet - einzelne Zeilen und Splten der Mtri werden oft ls Splten- oder Zeilenvektoren bezeichnet: Spltenvektoren: und Zeilenvektoren: und - die Dimension einer Mtri ergibt sich us der nzhl ihrer Zeilen und Splten - zb wird einer m n -Mtri die Zeilendimension m und die Spltendimension n zugeschrieben - Bei einer qudrtischen Mtri stimmen Zeilen- und Spltennzhl überein - Ht die Mtri nur eine Splte, nennt mn sie einen Spltenvektor; ht sie nur eine Zeile, nennt mn sie einen Zeilenvektor Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite

2 Besondere Mtrizen Einige Mtrizen hben eine besondere Gestlt und werden mit ihrer besonderen Struktur gern in Rechnungen benutzt: qudrtische Mtri besitzt die gleiche nzhl von Zeilen und Splten m n häufig benutzt werden die - und -Mtri die Elemente mit i j bilden die Huptdigonle der Mtri Nullmtri lle Elemente der Mtri sind gleich Null - hier: -Nullmtri Einheitsmtri die Elemente der Huptdigonlen sind gleich Eins und lle nderen Elemente sind Null Digonlmtri lle Elemente - ußer den Elementen der Huptdigonlen sind gleich Null Einheitsmtri und Nullmtri sind spezielle Formen der Digonlmtri obere Dreiecksmtri lle Elemente unterhlb der Huptdigonlen sind gleich Null untere Dreiecksmtri lle Elemente oberhlb der Huptdigonlen sind gleich Null Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite

3 Determinnte einer Mtri - Häufig finden wir im Zusmmenhng mit dem Begriff Mtri uch den Begriff Determinnte Determinnten sind reelle oder uch komplee Zhlen, die eindeutig einer qudrtischen Mtri zugeordnet sind - So ist die Determinnte n-ter Ordnung der Mtri vom yp m, m zugeordnet mn Determinnte einer Mtri - die Zuordnung geschieht folgendermßen: det Beispiel: det Bemerkungen: Für nichtqudrtische Mtrizen ist die Determinnte nicht definiert Die Determinnte ist eindeutig, dh jeder qudrtischen Mtri wird genu eine Determinnte Zhl zugeordnet Determinnte einer Mtri - die Zuordnung geschieht folgendermßen: det Mit der Regel von Srrus wird der Versuch unternommen, mittels eines Schems dieses usmultiplizieren übersichtlicher zu gestlten: - die Produkte der Huptdigonlen rot gehen positiv, die der Nebendigonlen blu negtiv in ds Ergebnis ein Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite

4 Determinnte einer m m -Mtri hier ist die Zuordnung komplizierter: det m m m m mm hier hilft der LPLCEschen Entwicklungsstzes: - Durch Entwicklung in Unterdeterminnten reduziert mn den Rng, bis die Berechnung zb für eine -Mtri möglich ist Dzu legt mn eine Zeile oder Splte ws immer bequemer ist fest, welche die sogennnten Pivot-Elemente enthält Legen wir beispielsweise die Zeile fest, sind,,, m diese Pivot-Elemente Die Unterdeterminnten zu diesen Pivot-Elementen erhält mn, indem mn in der usgngsmtri jeweils die entsprechende Splte und Zeile streicht So heißt beispielsweise die Unterdeterminnte zum Pivot-Element : det m m m m mm Die Determinnte von lässt sich nun us einer Summe von Produkten drstellen Jeder Summnd setzt sich dbei folgendermßen zusmmen: Summnd ij = Pivot-Element ij vorzeichenbestimmender Fktor Unterdeterminnte ij Entwickelt mn nch der i -ten Zeile i wird festgehlten ergibt sich die Determinnte zu: det m i j ij ij j Entwickelt mn nch der j -ten Splte j wird festgehlten ergibt sich die Determinnte zu: det m i j ij ij i Die Strtegie bei der Berechnung der Determinnte einer m m -Mtri m ist lso die Entwicklung nch einer Splte bzw Zeile, um die Dimension der Mtri, deren Determinnte mn berechnen soll, sozusgen Schritt für Schritt zu reduzieren nmerkungen: Der Wert einer Determinnte ist unbhängig von der uswhl der Entwicklungszeile/-splte Eine Determinnte ist gleich Null, wenn - eine Zeile/Splte us luter Nullen besteht Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite

5 - zwei Zeilen/Splten gleich sind - eine Zeile/Splte eine Linerkombintion nderer Zeilen/Splten ist det det - die Determinnten der Mtri und der trnsponierten Mtri sind gleich Vertuschung zweier benchbrter Zeilen oder Splten ändert ds Vorzeichen der Determinnte Flls k eine Zhl ist und vom yp m, m, dnn gilt: det k k m det Nützlich sind Determinnten in vielfältiger Weise Beispiel: Lösung eines Gleichungssystems mit n unbhängigen Gleichungen und n Unbeknnten Solche Gleichungssysteme kommen beispielsweise bei der nlyse von Stromkreisen mit den Kirchhoffschen Gesetzen vor Crmersche Regel Im wichtigen Spezilfll, in dem die nzhl der Unbeknnten mit der nzhl der Gleichungen in n n n n nn n n n n übereinstimmt und die Koeffizienten-Determinnte nicht verschwindet, dh D det n n n n nn knn die Lösung des inhomogenen Gleichungssystems eplizit und eindeutig ngegeben werden: D D D ; D ; ; n Dn ; D D, D,, D n bezeichnet dbei Determinnten, die entstehen, wenn jeweils die i -te Splte der usgngsdeterminnte D durch den Vektor mit den Komponenten der rechten Seite des Gleichungssystems ersetzt wird Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite

6 So ist beispielsweise D n n Splte ist ersetzt durch: n n nn n Ist D jedoch nicht lle D, dnn ist ds Gleichungssystem unlösbr i Im Flle D und ller D für i n, ist es möglich, dss eine Lösung eistiert Diese ist ber nicht eindeutig i Beispiel: 8 D D D D D D D D D D Hinweis: Für die prktische Lösung von lineren Gleichungssystemen höherer Dimensionen ist die CRMERsche Regel nicht geeignet Der Rechenufwnd übersteigt mit wchsender Dimension sehr schnell lle Vorstellungen Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite 6

7 Rechnen mit Mtrizen ddition / Subtrktion Vorussetzung: Mtrizen lssen sich nur ddieren bzw subtrhieren, wenn die beteiligten Mtrizen jeweils die gleiche nzhl n Zeilen und Splten besitzen Beispiel: ; b b b B b b b und B lssen sich ddieren bzw subtrhieren, d Zeilen- und Spltenzhl übereinstimmen Beispiel: b b ; B b b und B lssen sich nicht ddieren bzw subtrhieren, d Zeilen- und Spltenzhl nicht übereinstimmen Wie ddiert / subtrhiert mn Mtrizen? indem mn die sich entsprechenden Einträge der usgngsmtrizen ddiert / subtrhiert Ergebnis ist eine Summen- oder Differenzmtri Summen- oder Differenzmtri hben die gleiche Dimension, wie und B m n Beispiel: b b b b ; B ; B b b b b ; B ; B 7 9 Rechenregeln es gilt ds Kommuttivgesetz B B es gilt ds ssozitivgesetz B C B C Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite 7

8 Multipliktion Vorussetzung Mtrizen lssen sich nur dnn miteinnder multiplizieren, wenn die Spltennzhl der ersten Mtri mit der Zeilennzhl der zweiten Mtri übereinstimmt und B müssen zueinnder pssen! Beispiel: b b, B, b b b b und B lssen sich multiplizieren, d die Zeilenzhl von der Spltenzhl von B entspricht Beispiel: b b, B, b b und B lssen sich nicht multiplizieren, d die Zeilenzhl von der Spltenzhl von B nicht entspricht Wie multipliziert mn Mtrizen? Bei der Multipliktion einer Mtri mit einem Sklr werden lle Elemente der Mtri mit dem Sklr k multipliziert b b k k B k mit B k b b k k Zwei Mtrizen und B werden multipliziert C B, indem ds Element c in der i -ten Zeile und k -ten Splte vonc durch eine Produktsumme der ik i -ten Zeile von und der k -ten Splte von B gebildet wird: c ik m j ij b jk Dimensionsbetrchtung: Die Multipliktion von einer m n -Mtri mit einer l m -Mtri B Spltenzhl von ist m, Zeilenzhl von B ist m - und B pssen zueinnder! ergibt B - eine l n -Mtri Ds Mtriprodukt C B ht so viele Zeilen wie die Mtri und so viele Splten wie die Mtri B Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite 8

9 Beispiel: Multipliktion einer -Mtri mit einer -Mtri -Mtri, B, C, b b b b b b b b b b b b c c c c c c c c Multipliktion einer -Mtri mit einer -Mtri -Mtri zur Berechnung knn mn zwei Finger zu Hilfe nehmen: der linke die fährt die entsprechende Zeile von entlng, der rechte die entsprechende Splte von B ; die Summe der Produkte steht dnn uf der Position c Zeile; Splte Rechenregeln die Mtrizenmultipliktion ist nicht kommuttiv: B B die Mtrizenmultipliktion ist distributiv: B C B C B C C B C die Mtrizenmultipliktion ist ssozitiv: B C BC rnsponieren einer Mtri Vorussetzung Es gibt keine Vorussetzungen Jede beliebige Mtri lässt sich trnsponieren Wie trnsponierte mn eine Mtri? eine trnsponierte Mtri erhält mn durch Vertuschen der Zeilen und Splten der Mtri us den Zeilen mcht mn Splten oder umgekehrt: ; 6 6 ds Gleiche erreicht mn durch Spiegelung n der Huptdigonlen mit den Elementen,, Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite 9

10 Rechenregeln Zweimliges rnsponieren einer Mtri führt wieder zur ursprünglichen Mtri B B Die rnsponierte einer Summe von Mtrizen entspricht der Summe us den rnsponierten der Mtrizen B B Die rnsponierte eines Mtrizenproduktes entspricht dem Produkt der trnsponierten Mtrizen - in umgekehrter Reihenfolge! Symmetrische und ntisymmetrische Mtrizen - gilt bzw ik ki, so hndelt es sich bei um eine symmetrische Mtri - gilt bzw ik ki, so ist die Mtri ntisymmetrisch für lle Elemente uf der Huptdigonlen einer ntisymmetrischen Mtri muss dher gelten ii Vektoren - wie leicht vorzustellen, lssen sich uch Vektoren in Form einer Mtri drstellen - häufig begegnen uns dbei die Begriffe Spltenvektor bzw Zeilenvektor: y y z z ht mn Spltenvektoren und b der Länge Dimension n, so ist ein Mtriprodukt der Form b nicht definiert Die beiden Mtrizen und b pssen nicht zueinnder; die Spltennzhl von und die Zeilennzhl von b stimmen nicht überein definiert sind dgegen die Produkte b und b b b : b b b b b X b sei ein Zeilenvektor mit n Splten; b sei ein Spltenvektor mit n Zeilen die Mtrizen pssen zueinnder Ergebnis ist eine -Mtri eine Zhl, ds Sklrprodukt b b b b : b b b b b b b b b b sei ein Spltenvektor mit n Zeilen; b sei ein Zeilenvektor mit n Splten die Mtrizen pssen zueinnder Ergebnis ist eine n n -Mtri, ds dydische Produkt oder ensorprodukt Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite

11 Invertieren einer Mtri Multipliziert mn eine Zhl mit ihrem Kehrwert, lutet ds Ergebnis stets Ds sollte so uch für Mtrizen gelten! Multipliziert mn eine Mtri mit ihrer inversen Mtri, ergibt sich die Einheitsmtri Beispiel: E Wir sehen hier eine fertige inverse Mtri Leider lässt die sich nicht so einfch ermitteln, wie der Kehrwert einer Zhl Im Lichte der Mtrimultipliktion betrchtet besteht die Ermittlung der Komponenten der inversen Mtri drin, ein Gleichungssystem us 9 Gleichungen mit 9 Unbeknnten zu lösen Ds ist lngwierig Zur Berechnung ht mn sich dher Verfhren erdcht, die z noch lngwieriger sind: mit Hilfe des Guß-Jordn-lgorithmus mit Hilfe der djunkten mit Hilfe der Crmerschen Regel Vorussetzung für die Eistenz einer Inversen Nur qudrtische Mtrizen können eine Inverse besitzen nicht für jede qudrtische Mtri eistiert llerdings eine Inverse eistiert für die Inverse, so heißt die Mtri regulär - ndernflls heißt sie singulär Oft lohnt es sich, zu prüfen, ob eine inverse Mtri eistiert! Mtrizen, deren Zeilen oder Splten liner bhängig sind Determinnte = hben keine inverse Mtri; Vorussetzung lso det Wie berechnet mn eine inverse Mtri? wir betrchten ein Vorgehen nch der Crmerschen Regel Beispiel: Gegeben ist eine Mtri Berechne die Inverse! E wir schuen uns die Multipliktion n: Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite

12 Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite, E ergibt sich us:, E ergibt sich us:, E ergibt sich us: wenden mn die Crmersche Regel uf ds Gleichungssystem n, ergibt sich: ; ; ; nlog verfhren wir mit der Splte und erhlten, und sowie der Splte und erhlten, und die Komponenten der inversen Mtri berechnen sich dmit:

13 Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite Rechenregeln Die Inverse eines Mtrizenproduktes entspricht dem Produkt der jeweiligen Inversen B B Reihenfolge bei der Multipliktion bechten! Die Inverse der trnsponierten Mtri entspricht der rnsponierten der inversen Mtri Die Inverse einer Mtri ist ebenflls invertierbr Die Inverse der Inversen ist wieder die Mtri selbst Multipliziert mn die inverse Mtri mit einem Sklr k, so gilt k k

14 nwendungen; Guß-Jordn-Verfhren - oben wurde bei der Lösung verschiedener Probleme insbesondere ds Lösen von lineren Gleichungssystemen uf die Crmersche Regel zurückgegriffen - gern wird zur Lösung derrtiger Probleme uch der Guß-Jordn-lgorithmus verwendet - mit dem nch Crl Friedrich Guß und Wilhelm Jordn bennnten Verfhren lässt sich die Lösung eines lineren Gleichungssystems berechnen; es erweitert ds nch Guß bennnte Elimintionsverfhren es sei beispielsweise folgendes Gleichungssystem gegeben: y z y z 9 y z Mit den Koeffizienten wird eine sg erweiterte Koeffizientenmtri des gebildet: Splte: Fktoren von, Splte: Fktoren von y, Splte: Fktoren von z Splte: rechte Seite des Gleichungssystems 9 umformen mit dem Ziel, im linken eil die Einheitsmtri zu erhlten: zu Zeile ddieren wir Zeile ; zu Zeile ddieren wir 9 Zeile 6 8 Zeile dividieren wir durch ; zu Zeile ddieren wir Zeile / / zu Zeile ddieren wir Zeile ; zu Zeile ddieren wir / Zeile / zu Zeile ddieren wir Zeile / / Diese Mtri stellen wir wieder ls Gleichungssystem dr: / ; y / ; z Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite

15 djunkte einer Mtri Die djunkte einer Mtri ist die rnsponierte der Kofktormtri dj Cof nun wissen wir es genu! ber keine ngst - Ähnliches ist uns schon begegnet: beim Entwicklungsstz nch Lplce Die Formel für den Kofktor lutet i j D ij der Kofktor ij ij ergibt sich durch Multipliktion eines Vorzeichenfktors mit einer Unterdeterminnte D ij D ij ergibt sich, wenn mn die i -te Zeile und die j -te Splte der Mtri streicht i j djunkte berechnen Beispiel: Gegeben ist die Mtri 7 Zu berechnen ist die djunkte dj der Mtri Kofktoren berechnen: i j mit ij Dij erhlten wir D ij ist die entsprechende Unterdeterminnte: Kofktormtri ufstellen Cof 7 Kofktormtri trnsponieren Die djunkte einer Mtri ist die rnsponierte der Kofktormtri 7 dj Cof Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite

16 Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite 6 Invertieren einer Mtri mit Hilfe der djunkten die Formel zur Berechnung der inversen Mtri mit Hilfe der djunkten lutet dj die djunkte ist die rnsponierte der Kofktormtri siehe oben; es folgt lso für die Berechnung der inversen Mtri: Cof Beispiel : wir verwenden die Mtri us dem bschnitt djunkte : 7 7 det 7 Cof - siehe oben 7 Cof dj - siehe oben 7 dj Beispiel : wir verwenden die Mtri us dem bschnitt Invertieren : det Cof - selbst rechnen Cof dj - selber prüfen dj - stimmt! Lösung siehe oben

17 Orthogonle Mtri Q Eine orthogonle Mtri ist eine qudrtische, reelle Mtri, deren Zeilen- und Spltenvektoren prweise orthonorml zueinnder sind Wnn sind Vektoren orthonorml zueinnder? - die Vektoren stehen senkrecht ufeinnder - rechnerisch sind zwei Vektoren orthogonl, wenn ihr Sklrprodukt gleich Null ist - die Vektoren sind normiert; sie hben die Länge ; es sind Einheitsvektoren Es folgt lso: Bilden die Splten einer qudrtischen Mtri ein System zueinnder orthogonler Einheitsvektoren, so heißt diese Mtri orthogonle Mtri Eigentlich müsste mn die beschriebene Mtri orthonormle Mtri nennen Dieser Begriff ist ber unüblich Eigenschften - die Inverse einer orthogonlen Mtri ist gleichzeitig ihre rnsponierte Q Q - die trnsponierte Mtri Q ist ebenflls eine orthogonle Mtri - ds Produkt einer orthogonlen Mtri mit ihrer rnsponierten ergibt die Einheitsmtri Q Q E - ds Produkt zweier orthogonler Mtrizen ist wieder orthogonl - eine orthogonle Mtri ist über den kompleen Zhlen digonlisierbr - die Determinnte einer orthogonlem Mtri ht entweder den Wert + oder - - eine orthogonle Mtri mit der Determinnte + beschreibt eine Drehung Mn spricht dnn uch von einer eigentlich orthogonlen Mtri - eine orthogonle Mtri mit der Determinnte - beschreibt eine Drehspiegelung Mn spricht dnn uch von einer uneigentlich orthogonlen Mtri - eine orthogonle Mtri, die die Drehung eines Vektors beschreibt, heißt Drehmtri nwendungen Multipliktion mit einer orthogonlen Mtri dreht oder spiegelt Vektoren Länge und Winkel zwischen den Vektoren bleibt erhlten Solche bbildungen heißen Kongruenzbbildungen Beispiele orthogonler Mtrizen Die orthogonle Mtri Q beschreibt eine Spiegelung n der Gerden y Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite 7

18 Diese Spiegelung vertuscht die - und -Komponente eines Vektors: Q Gegeben ist die Mtri Prüfen Sie diese uf Orthogonlität!, y y / ; / / / / ; / / / / / / /, Die Vektoren der Mtri hben einen Betrg von sie sind normiert Die Vektoren stehen senkrecht ufeinnder die Mtri ist orthogonl uf Orthogonlität prüfen will mn prüfen, ob eine Mtri orthogonl ist, ist es m einfchsten, die Eigenschft Q Q zu prüfen Beispiel Hndelt es sich bei der Mtri um eine orthogonle Mtri? Wir prüfen E und kommen zu dem Ergebnis, dss es sich bei der Mtri um eine orthogonle Mtri hndelt E Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite 8

19 Drehmtri - bereits oben erwähnt wurde: eine orthogonle Mtri, die die Drehung eines Vektors beschreibt, heißt Drehmtri diese Drehmtri ht die Determinnte + oft nennt mn sie uch Rottionsmtri R Drehmtri im - im zweidimensionlen Rum lutet die Rottionsmtri cos sin R sin cos - die Drehung eines Vektors r im mthemtisch positiven Sinn gegen den Uhrzeigersinn um einen Winkel erreicht mn mit cos sin cos y sin ' R r r' sin cos y sin y cos y' die Komponenten des Bildvektors r ' ergeben sich demnch zu ' cos ysin y ' sin ycos Beispiel Der Vektor r soll um Grd gedreht werden cos sin R r sin cos mit ' cossin, y ' sin cos,87 Ergebnis R cos r sin sin, ' cos,87 r Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite 9

20 Drehmtri im R - eine Drehung im -D-Fll ist schwieriger zu beschreiben, ls im zweidimensionlen Fll - dreht sich der Körper nur um einen festen Punkt, so genügen zur eindeutigen Lgebeschreibung drei voneinnder unbhängige Winkel - die Drehung knn ls Hintereinnderschltung von elementren Drehungen um chsen des körperfesten Systems ufgefsst werden dbei ist die Reihenfolge der Drehungen von besonderer Bedeutung - reltiv einfch gestltet sich die Drehung um jeweils eine chse: Drehung um die -chse R cos sin sin cos Drehung um die y -chse cos sin R y sin cos Drehung um die z -chse cos sin R z sin cos die dbei verwendeten Drehwinkel werden ls Krdn-Winkel bezeichnet eine Drehung um lle rumfesten chsen ncheinnder in der Reihenfolge, y, z ergibt eine Drehmtri cos R cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos Führt mn die Elementrdrehungen ncheinnder um die momentnen chsen us - zuerst um die z -chse, dnn die gedrehte -chse und dnn wieder um die nun gedrehte z -chse, so heißen die Drehwinkel Euler-Winkel,, Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite

21 die entsprechende Drehmtri lutet: cos sin cos sin R sin cos cos sin sin cos sin cos cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin sin sin cos cos die Eulerwinkel sind lso ein Stz dreier unbhängiger Prmeter, mit denen die Orientierung eines festen Körpers im dreidimensionlen Rum beschrieben werden knn die Drehlge wird us einer beliebigen Lge durch eine bfolge dreier Drehungen um spezielle chsen erzeugt - die erste Drehchse ist eine rumfeste chse, die beiden nderen sind vorher schon mitgedrehte chsen Euler-Winkel dienen u dzu beknnten Koordinten eines Ortsvektors in die zu einem verdrehten Koordintensystem gehörenden umzurechnen Bezeichnungen: rumfestes oder Lbor-System und körperfestes oder Körper-System die Umrechnung erfolgt mit Hilfe der ober gezeigten Drehmtri, mit der der Ortsvektor zu multiplizieren ist die umgekehrte Umrechnung von körperfesten in rumfeste Koordinten wird nlog durchzuführen - die dfür notwendige Drehmtri lässt sich us der Drehmtri der Vorwärts-Drehung bestimmen - die Mtri für die Rückdrehung ist die trnsponierte zur Mtri der Vorwärts-Drehung - oft finden sich uch Begriffe wie pssiven Drehung bzw Koordintentrnsformtion dbei wird ds Koordintensystem gedreht oder ktive Drehung dbei wird der Ortsvektor gedreht; mn erhält einen neuen Ortsvektor, ds Koordintensystem bleibt dbei unverändert Wie berechnet mn eine pssive Drehung? - mn benutzt die Inverse der Drehmtri R - wegen R R E gilt: R R - wir müssen die Drehmtrizen nur trnsponieren nicht invertieren, um von einer ktiven uf eine pssive Drehung zu kommen Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite

22 Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite Bild einer Mtri - ein weitere Begriff in Verbindung mit Mtrizen ist der Begriff "Bild einer Mtri" - ws ist ds und wie wird es ermittelt? Ds Bild einer Mtri ist gleich den liner unbhängigen Splten betrchten wir die Multipliktion einer Mtri mit einem Vektor : m m mm m m m m b b b Ergebnis ist ein Vektor b dmit ergibt sich die Frge, welche Menge n Vektoren b ls Lösungen uftreten können bei Funktionen läge im Definitionsbereich, für b ergäbe sich der Wertebereich bei Mtrizen wird uns ds durch ds Bild der Mtri gegeben ds Bild gibt lso den Wertebereich der Mtri, die Menge n Vektoren b ls Lösung, n wie berechnet mn den Wertebereich der Mtri, ds Bild einer Mtri? Beispiel: 6 - wir multiplizieren diese Mtri ncheinnder mit den drei Einheitsvektoren des R : 6 ; 6 ; 6 6 wir erhlten die drei Spltenvektoren unserer Mtri diese drei Vektoren sind ein Bild, dh ein eil der Wertemenge, der Mtri ; mn schreibt: 6 ; ; img - es gibt noch mehr Bilder unendlich viele; multiplizieren wir zb mit irgendeinem Vektor: 8 6 uch dieser Vektor gehört zum Bild der Mtri

23 img ; ; ; 8 6 wir bemerken: - dss es unendlich viele Bilder einer Mtri gibt - lle Vektoren, die us der Multipliktion der Mtri mit einem beliebigen Vektor hervorgehen, gehören zum Bild der Mtri - lle Linerkombintionen dieser Vektoren gehören uch zum Bild der Mtri wir können dmit den vierten Vektor us dem Bild streichen, d der dritte Vektor diesen gewissermßen einschließt - chtung: der dritte Vektor ist ein Vielfches des ersten Vektors! wir können uch den Vektor streichen! img ; - die verbleibenden Vektoren sind liner unbhängig ds Bild lässt sich nicht weiter vereinfchen, ohne einen eil der Lösungsmenge, des Wertebereichs zu verlieren die Lösungsmenge besteht lso us Vektoren sowie ihren Linerkombintionen Ds Bild einer Mtri ist gleich den liner unbhängigen Splten siehe oben Interprettion der Lösung D sich zwei Vektoren in der Lösungsmenge befinden, ht ds Bild unserer Mtri die Dimension dmit hben wir uch direkt den Rng der Mtri berechnet; der Rng einer Mtri entspricht der Dimension des Bildes rng dim img Verfhren, um die liner unbhängigen Splten einer Mtri zu berechnen werden hier nicht vorgestellt Dzu wird uf die Litertur verwiesen Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite

24 Rng einer Mtri - eben fiel der Begriff Rng einer Mtri ; drunter versteht mn die mimle nzhl liner unbhängiger Splten- bzw Zeilenvektoren In einer Mtri ist die größte nzhl liner unbhängiger Spltenvektoren stets gleich der größten nzhl liner unbhängiger Zeilenvektoren Beispiel von oben 6 - wir htten gesehen: die Vektoren sind liner bhängig; die Splte ist ein Vielfches der Splte - die und Splte sind liner unbhängig, der Rng dieser Mtri ist gleich : rng ; Spezilfll: Rng einer qudrtischen Mtri entspricht der Rng einer qudrtischen Mtri ihrer Zeilen- oder Spltenzhl, wird sie reguläre Mtri gennnt reguläre Mtrizen sind invertierbr, dh es lässt sich eine inverse Mtri berechnen Beispiel einer regulären Mtri qudrtische Mtrizen sind regulär, wenn ihre Determinnte von Null verschieden ist 7 die qudrtische Mtri ht Zeilen bzw Splten; ihre Determinnte ungleich Null die Mtri den Rng Beispiel einer singulären Mtri ist die Determinnte einer qudrtischen Mtri gleich Null, wird sie singuläre Mtri gennnt; singuläre Mtrizen besitzen keine Inverse 6 ws ist ber mit dem Rng? - zum Rng dieser Mtri lässt sich die ussge treffen, dss er kleiner ls ist - wie ber lässt er sich ermitteln? Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite

25 ds ist nicht gnz einfch zu überschuen; vielleicht ist es einfcher, den Rng mit Hilfe des Begriffs der Unterdeterminnte festzulegen: der Rng einer Mtri ist die nzhl der Zeilen oder Splten, resp der Determinnte oder der größten Unterdeterminnte mit Nicht-Null-Wert Beispiel: der Rng einer -Mtri ist rg rnk, wenn ; flls die Determinnte, sucht mn die größte Unterdeterminnte ; ; ; sowohl, ls uch die Mtri ht den Rng ; rg rnk Spur einer Mtri ls Spur einer qudrtischen n jj j Spur n n -Mtri bezeichnet mn die Summe der Digonlenelemente: nn wozu uch noch diese Größe? - zb zur Kontrolle unserer Rechnungen - für später: die Spur einer digonlisierbren Mtri ist gleich der Summe der Eigenwerte Dr Hempel Mthemtische Grundlgen, Mtrizen und Determinnten Seite