7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme

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1 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 5 7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme 7 Lineare Abbildungen 7 Abbildungen: Eine Verallgemeinerungen des Funktionsbegriffs Bemerkung: Seien A R m n, x = x x n R n R n Dann: A x = y y m R m Also: Die Prozedur, von links A heranzumultiplizieren, liefert für jedes x R n genau ein y R m In Analogie zum früheren Funktionsbegriff (siehe 3 ) kann man sagen: Die betrachtete Prozedur definiert eine Funktion oder eine Abbildung von R n nach R m Das gibt uns die Gelegenheit, in einem kurzen Exkurs den allgemeinen Funktions- oder Abbildungsbegriff einzuführen: Definition (Allgemeiner Abbildungbegriff) Seien M, N Mengen (siehe ) Eine Abbildung von M nach N ist eine Zuordnung, die jedem x M genau ein y N zuordnet Man benutzt dieselbe Schreibweisen wie in für die Funktionen: f : M N, x f(x) für die Abbildung, f(x) für das dem x M zugeordnete Element aus N usw Auch damit zusammenhängende Begriffe und Objekte sind wie früher definiert: M =: Definitionsbereich von f, N =: Ziel von f, f(x) =: Bild von x unter f, Bild(f) := { f(x) x M } N, f(s) := { f(s) s S } für S M, f (y) := { x M f(x) = y } =: Urbild von y, für y N, f (T ) := { x M f(x) T } =: Urbild von T, für T N, ua Auch der Begriff des Graphen einer Funktion (sdef in 3) läßt sich verallgemeinern: Bezeichnung: Ein geordnetes Paar sind zwei Objekte in festgelegter Reihenfolge, ein erstes Objekt etwa x genannt und ein zweites Objekt x Für das geordnete Paar schreibt man (x, x ) Das x heißt die erste Koordinate des Paares, das x heißt die zweite Koordinate Das kartesische Produkt der Mengen M N ist definiert als die Menge aller geordneten Paare (x, x ) mit erster Koordinate aus M und zweiter Koodinate aus N

2 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 5 Ist f : M N eine Abbildung, so heißt G(f) := { (x, x ) x M, x N }! M N der Graph von f Beispiele: () Unter diesen allgemeinen Begriff der Abbildung fallen viele Sachverhalte, die wir bereits behandelt haben Zum Beispiel: Die Anfangsbemerkung führt zur Abbildung f A : R n R m, x A x ( 7 Bezeichnung ) Die Addition, etwa in R n, ist eine Abbildung + :R n R n R n, (x, y) x+y (Dabei: M ist das kartesische Produkt R n R n von R n mit sich selbst und N ist gleich R n ) Die skalare Multiplikation ist eine Abbildung des Typs R R n R n Das Skalarprodukt ist eine Abbildung des Typs R n R n R Das Transponieren von Matrizen ist eine Abbildung des Typs R m n R n m () Auch die abgeleitete Begriffe in der Definition spielen besondere Rollen, etwa: Das Urbild f A (b) von b Rm unter f A ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b! 7 Matrizen als lineare Abbildungen Wir kommen zurück zur Bemerkung in 7 : Bezeichnung : Zu A R m n sei f A : R n R m die Abbildung x A x Beispiele: In niedrigen Dimensionen kann man Beispiele solcher Abbildungen geometrisch deuten: ( ) ( ) ( ) x x () Sei A = Dann ist f A = y y Also: f A ist Spiegelung an x-achse ( ) ( ) ( ) cos α sin α x cos α x sin α y () A = Dann ist f sin α cos α A = y sin α x + cos α y Man kann sich klar machen: f A ist Drehung um den Nullpunkt) um den Winkel α Tatsache : Sei A R m n, f := f A wie in der Bezeichnung Dann gilt für alle x, y R n und alle λ R : (LA) (LA) f(x + y) = f(x) + f(y), x, y R n, und f(λx) = λ f(x), λ R

3 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 53 Beweis: Folgt aus den Rechenregeln für das Matrizenprodukt aus dem Satz in 64: (LA) aus dem Distributivgesetz (D), (LA) aus der dortigen Regel (Al) Definition: Seien V und W Vektorräume und f : V W sei eine Abbildung Dann: f heißt linear : (LA) und (LA) gelten Lineare Abbildungen von V nach R heißen auch Linearformen auf V Beispiele Die Abbildungen f A zu Matrizen A Die Transposition A A t ist eine lineare Abbildung von R m n nach R n m Das Integral f b a f(x) dx ist eine Linearform auf V := { f : [a, b] R f stetig } Die Ableitung ist eine lineare Abbildung von V := { f : [a, b] R f differenzierbar } nach { f : [a, b] R f stetig } Tatsache Zu jeder linearen Abbildung f : R n R m gibt es genau eine Matrix A R m n, so daß f = f A Anders gesagt: Jede lineare Abbildung kann durch das Heranmultiplizieren einer Matrix realisiert werden Beweis: Zu f nimmt man als A die Matrix, deren j-te Spalte gerade das Bild f(e j ) des j-ten Einheitstupels (siehe das Grundbeispiel in 645 ), so folgt die Behauptung aus dem Prinzip der linearen Fortsetzung (siehe 73 ) Bezeichnung : Das A mit f = f A heißt die Matrix von f oder die zu f gehörige Matrix Die Tatsachen und kann man so zusammenfassen: Satz (Lineare Abbildungen zwischen Tupelräumen): Die linearen Abbildungen zwischen Tupelräumen sind gerade die Abbildungen f A aus der Bezeichnung 73 Prinzip der linearen Fortsetzung Satz (Prinzip der linearen Fortsetzung): Seien V und W Vektorräume und X, X,, X n sei eine Basis von V Dann: Zu jeder Folge Y, Y,, Y n von Elementen aus W gibt es genau eine lineare Abbildung f : V W mit f(x j ) = Y j für alle j =,,, n n n Dieses f ist gegeben durch f(x) = λ j Y j, wenn x = λ j X j j= j=

4 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 54 Beweis: Man rechnet nach: Die Abbildung x = n λ j X j f(x) := j= n λ j Y j ist wohldefiniert und linear und erfüllt f(x j ) = Y j für alle j =,,, n Und: Jede Abbildung mit der im Satz geforderten Eigenschaft muß x notwendigerwise auf das angegebene f(x) abbilden j= Anwendung des Satzes auf zweierlei Weise: Erstens: Zur Definition linearer Abbildungen Der Satz besagt nämlich: Man kann lineare Abbildungen durch beliebige Vorgabe (dh in der Praxis durch gezielte Vorgabe) von Werten für die Basiselemente X j, j =,, n definieren Zweitens: Um festzustellen, ob zwei lineare Abbildungen dieselben sind Nämlich: Zwei lineare Abbildungen f, g : V W sind gleich, wenn sie auf einer Basis von V übereinstimmen Ein Anwendungsbeispiel: Der Beweis der Tatsache in 7 Man hat V := R n, W := R m, X j := e j, j =,, n (die Einheitstupel) Nehme als Matrix A diejenige (m,n)-matrix mit A j := f(e j ) für j =,, n, dh die Matrix mit den f(e j ) als j-ter Spalte Man rechnet nach: Dann ist f(e j ) = f A (e j ) für alle j Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung ist also f = f A 74 Komposition linearer Abbildungen entspricht Matrizenprodukt Seien V, W, Z Vektorräume und f : V W und g : W Z, seien lineare Abbildungen Tatsache: Die Komposition g f : V Z, x g(f(x)), ist linear Beweis: g f(λx+y) = g(f(λx+y)) = g(λf(x)+f(y)) = λg(f(x))+g(f(y)) = f linear g linear λ g f(x) + g f(y) Satz: Seien jetzt V = R n, W = R m, Z = R k Es seien f = f A : R n R m mit A R m n und g = f B : R m R k mit B R k m Dann: f B f A = f BA : R n R k In Worten: Die Komposition linearer Abbildungen zwischen Tupelräumen ist gegeben durch das Produkt der zugehörigen Matrizen Beweis: Man rechnet nach: Für die Einheitstupel e j, j =,, n ist sowohl g(f(e j )) = j-te Spalte von BA als auch f B f A (e j ) = j-te Spalte von BA Nach dem Prinzip der linearen Fortetzung ist also g f = f B f A Anmerkung: Die Aussage des Satzes ist auch eine Motivation für die Definition des Matrizenproduktes

5 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Markov-Prozesse Lineare Abbildungen werden angewandt bei der Beschreibung sogenannter linarer Prozesse Wir werde hier einen Typ solcher Pozesse beschreiben Bezeichnung: Seien x = x x m R n, A R m n } x heißt stochastisch (oder ein Wahrscheinlichkeitsvektor) x i für alle i und n i= x i = A heißt stochastisch Alle Spalten sind stochastisch (in R m R m ) Gegeben sei ein System (Beispiel siehe unten), das n Zustände annehmen kann, die sich gegenseitig ausschließen Zum Zustand i, i =,, n, sei x i die Wahrscheinlichkeit, daß sich das System im Zustandi befindet x x Man nennt x = den Zustandsvektor des Systems Das System unterliege nun einer x n Transformation Dabei sei a ij := Wahrscheinlichkeit, daß sich das System, wenn es vor der Transformation im Zustand j war, nach der Transformation im Zustand i befindet Die Matrix A := (a ij ) R n n heißt die Übergangsmatrix Die Definition der a ij ergibt: Ist x der Zustandsvektor vor der Transformation und y = Somit: y i = a i x + + a ij x j + + a in x n = y = A x ( ) n j= y y n derjenige danach, so ist a ij x j! = (A x) i Nun werde die Transformation einmal, zweimal, iteriert In dieser Situation: Bezeichnung: Ist bei allen aufeinander folgenden Transformationen die Übergangsmatrix die gleiche, so spricht man von einem Markov-Prozeß Der Prozeßverlauf ist dann der folgende: Seien x () = Zustandsvektor zu Beginn, x (k) = Zustandsvektor nach der k-ten Transformation Mit Hilfe von ( ) erhält man x () = A x (), x () = A x () = A x (), und nach Induktion

6 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 56 x (k) = A x (k ) = A x (k ) = = A k x () Ergebnis: x (k) = A k x () Dabei ist A k := A } A {{ A} die k-te Potenz von A k Faktoren Es interessiert vor allem der Zustand für große k, dh für k und dabei die Frage, ob der Zustand unter Umständen stabil wird Konkretes Beispiel Eine Firma habe drei Autoverleihfilialen Tageweise werden Autos verliehen mit abendlicher Rückgabepflicht Nachts sind alle Wagen auf die drei Filialen verteilt Es seien x x = x Wahrscheinlichkeitsverteilung der Wagen auf die Filialen x 3 a ij := Wahrscheinlichkeit, daß sich ein Wagen, der sich vor dem Verleih in Filiale j befand, danach in Filiale i befindet Dann: x (k) = A k x () = Wahrscheinlichkeitsverteilung nach k-tem Tag, wenn x () = Anfangsverteilung Konkrete Daten:, 8, 3, x () =, A = (a ij ) =,,, 6,, 5, stochastisch! stochastisch! Man rechnet aus:, 3, 533, 557 x () =,,, x (5) =, 38,, x () =, 3, 5, 9, 3 Es stellt sich heraus: x (k) = x () bis auf drei Dezimalen für k Das ist ein deutliches Indiz dafür, daß der Zustand stabil wird Tatsächlich: Information: Mit tiefer gehender Mathematik kann man in diesem Fall und in entsprechenden Fällen beweisen, daß der Zustand gegen eine stabile Verteilung konvergiert

7 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 57 7 Lineare Gleichungssysteme: Die Theorie Wir haben in 63 Beispiel (3) gesehen, daß sich lineare Gleichungssysteme (LGS e) als Matrizengleichung schreiben lassen In den folgende Abschnitten wird allgemein das LGS Ax = b ( ) behandelt, wo A R m n und b R n Parallel dazu untersuchen wir das konkrete LGS x 3 + x 4 + x 5 x 6 = x x + x 3 + x 5 x 6 = x x + x 4 + 5x 5 x 6 = x + x 3x 3 3x 4 3x 5 + x 6 = x + x x 3 4x 4 4x 5 + 3x 6 = a ( ) mit m = 5, n = 6 Dabei ist das a (rechte Seite der letzten Gleichung) ein Parameter, den wir vorerst offenhalten, um mehrere Varianten beim Lösungsweg behandeln zu können 7 Grundbemerkungen und Grundbegriffe Bezeichnung: Das A in ( ) heißt die Koeffizientenmatrix des LGS Das b in ( ) heißt die rechte Seite des LGS Die (n+)-spaltige Matrix, die man erhält, indem man hinter der letzten Spalte von A noch die Spalte b hinzufügt, wird mit (A b) oder à bezeichnet und heißt die erweiterte Koeffizientenmatrix des LGS Dieses à beschreibt das LGS vollständig Im konkreten Beispiel ( ) : A = und à = a Der senkrechte Strich rechts steht dabei nur aus suggestiven Gründen Er soll betonen, daß die letzte Spalte die hinzugefügte rechte Seite des LGS ist In Zukunft werden wir auch der Einfachheit halber die Klammern um die Matrizen weglassen Definition (des Lösungsraumes): Gegeben sei das LGS Ax = b Sein Lösungsraum ist die Teilmenge ( )

8 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 58 L( ) := { x R n Ax = b } im R n Das Gleichungssystem heißt lösbar, wenn L( ) ist Grundbemerkung Elementare Zeilenumformungen an der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b) entsprechen gerade dem üblichen erlaubten Rechnen mit den Gleichungen des LGS Beweis: Das macht man sich umittelbar klar Wir nennen die den elementaren Zeilenumformungen an (A b) entsprechenden Umformungen des Gleichungssystems elementare Umformungen des LGS ZB bedeutet die Umformung M(, λ) das Addieren des λ-fachen der zweiten Gleichung zur ersten Gleichung Grundtatsache Die Matrix à entstehe aus à durch endlich viele elementare Zeilenumformungen Dann: Das zu à gehörige LGS hat denselben Lösungsraum wie das ursprüngliche zu à gehörige LGS Beweis: Man rechnet direkt nach: Jede Lösung des durch eine elementare Umformung entstandenen Systems ist auch eine Lösung des alten Systems und umgekehrt Diese Tatsache suggeriert die Strategie beim Lösen eines LGS : Man vereinfacht das LGS durch elementare Umformungen so lange, bis ein LGS entstanden ist, das man einfach und direkt lösen kann Das Ergebnis in 65 liefert zb: Man kann das LGS elementar so umformen, daß die neue erweiterte Koeffizientenmatrix Zeilenstufenform hat (und die Lösungsmenge die gleiche geblieben ist) 7 Ein Lösbarkeitskriterium Bemerkung: Wir betrachten das LGS Ax = b als Gleichung in den Spalten Man erhält Ax = b x a a Als Folgerung ergibt sich: + x a a + + x j a j a j + + x n a n a n a m a m a mj a mn = b b m b Tatsache: Ax = b ist lösbar b ist Linearkombination der Spalten von A b Spaltenraum von A Rang A = Rang(A b) In Worten: Ein Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix gleich (und nicht größer!) ist dem Rang der (einfachen) Koeffizientenmatrix

9 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Die Struktur des Lösungsraumes Zu gegebenem A R m n und b R m betrachten wir die LGS e ( ) Ax = b und ( ) Ax = Bezeichnung : LGS e der Form Ax =, also solche mit rechter Seite b =, heißen homogene LGS e Das LGS ( ) heißt das zum LGS ( ) gehörige homogene LGS Erinnere die Tatsache in 643 : Der Lösungsraum L = L( ) ) eines homogenen LGS ist ein linearer Unterraum Der Lösungsraum eines allgemeinen LGS hat folgende Eigenschaften: Tatsache : Sei L der Lösungsraum von Ax = b und L der Lösungsraum des zugehörigen homogenen LGS Ax = Es gilt: () Für x, y L ist y x L Ist x L und z L, so ist x + z L () Sei x L Jedes y L läst sich darstellen als y = x + z mit einem z L Schreibt man kurz x + L für { x + z z L }, so ist also L = x + L Man drückt das auch so aus: { spezielle Lösung plus Lösungsraum des Lösungsraum eine LGS = zugehörigen homogenen Systems Beweis: () A(y x) = Ay Ax = b b = A(x + z) = Ax + Az = b + = () Sei z := y x Dann ist z L nach () und y = x + z Bezeichnung : Untermengen L von R n, die sich (wie die Lösungsräume von Gleichungssystemen) darstellen lassen als L = x + W (= { x + w z W } mit einem x L und einem linearen Unterraum W, heißen affine Unterräume von R n Die Dimension des affinen Unterraums L = x + W ist definiert als dim L := dim W Insbesondere: Die affinen Unterräume der Dimension sind die Punkte von R n Bisher haben wir herausgearbeitet: Die Lösungsräume linearer Gleichungssysteme sind affine Unterräume im R n Es bleibt noch die Bestimmung der Dimension Wir geben das Ergebnis an und fassen noch einmal zusammen: Satz: Die Dimension des Lösungsraumes L des homogenen LGS Ax = ist n Rang A Also: Das LGS Ax = b hat keine Lösungen oder der Lösungsraum ist der d-dimensionale affine Unterraum x + L, wo x eine (spezielle) Lösung des LGS, wo L der Lösungsraum des zugörigen homogenen LGS Ax = und wo d = n Rang A ist

10 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 6 73 Lineare Gleichungssysteme: Die Lösungspraxis 73 Lösbarkeit bei Zeilenstufenform Der Satz in 653 und die grundsätzlichen Überlegungen in 7 liefern: Tatsache Jedes LGS Ax = b kann elementar so umgeformt werden, daß die neue erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform ist (Die Lösungsmenge bleibt dabei die gleiche) In diesem Stadium läßt sich die Lösbarkeit des LGS bequem ablesen: Tatsache Ein LGS, dessen erweiterte Koeffizientenmatrix à in Zeilenstufenform ist, ist genau dann lösbar, wenn die letzte Spalte von Ã, also die (n+)-te Spalte (und neue rechte Seite), keine Pivotspalte ist Beweis: Sei k der (Stufen-)Rang von à Die k-te Gleichung lautet dann x + x + + x n = a k n+ (= b k ) Offenbar ist diese Gleichung und somit das ganze LGS nicht lösbar, wenn a k n+ dh wenn n+ Pivotindex ist Umgekehrt macht man sich ohne Mühe klar, daß im Falle a k n+ = die letzte Spalte im Spann der ersten n Spalten liegt, daß also dann das LGS gemäß der Tatsache in 7 lösbar ist 73 Normierte Zeilenstufenform Definition: Ein A K m n, A heißt in normierter Zeilenstufenform, wenn gilt: () A ist in Zeilenstufenform (s 653) Der (Stufen-)Rang von A sei k () Sind j, j,, j k die Pivot-Indizes, so gilt: Die Spalten A j, A j,, A jk sind in dieser Reihenfolge die Einheitsspalten e, e,, e k im R n Beispiel: e e e 3 e 4

11 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 6 Satz: Jedes A K m n, A, kann durch elementare Zeilenumformungen auf normierte Zeilenstufenform gebracht werden Beweis: Zuerst auf Zeilenstufenform gemäß dem Satz in 653 Dann auf normierte Zeilenstufenform nach folgendem Verfahren Algorithmus, der aus einer Matrix A in Zeilenstufenform eine Matrix in normierter Zeilenstufenform macht Die Pivot-Indizes seien j, j,, j k Setze i = k (i) Multipliziere die i-zeile mit a iji Das produziert eine an die Stelle (i, j i ) (ii) Ist i =? Wenn ja, gehe zu 3 Wenn nein, mache weiter mit (i) Für r =,, i : Subtrahiere das a rji -fache der i-ten Zeile von der r-ten Zeile (Liefert Nullen in der j i -ten Spalte oberhalb der Pivotstelle (i, j i ), unterhalb davon stehen schon Nullen Die Spalten j, j < j i, werden nicht verändert, da a ij = fur diese j ) (ii) Erniedrige i um Gehe zu 3 Verfahren zu Ende: A hat normierte Zeilenstufenform Beispiel zum Verfahren : Wir bringen die Matrix A vom Ende von 653, die in Zeilenstufenform ist, auf normierte Zeilenstufenform: 4 4

12 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Ergebnis: Das ist das A aus dem Beispiel für normierte Zeilenstufenform 733 Ablesen des Lösungsraumes bei normierter Zeilenstufenform Der Satz aus 73 und die Uberlegungen in 7 liefern bisher: Tatsache: Jedes LGS kann durch elementare Umformungen so abgeändert werden, daß die neue erweiterte Koeffizientenmatrix normierte Zeilenstufenform hat Es stellt sich heraus, daß wir bereits am Ziel eines effektiven Lösungverfahren sind Denn bei einem LGS mit einer erweiterten Koeffizientenmatrix in normierter Zeilenstufenform kann man den Lösungsraum konkret und explizit ablesen Wir beschreiben das im folgenden Satz Satz (Ablesen des Lösungsraumes) Es sei Ax = b ein LGS mit à = (A b) R m (n + ) in normierter Zeilenstufenform Das LGS sei lösbar Sei k der (Stufen-)Rang von von à und sei d := n k (Wegen der Lösbarkeit des LGS ist k auch der Rang von A ) Seien j < j < < j k die Pivot-Indizes von à (Es sind auch die von A Insbesondere ist j k n ) Seien i < i < i d n die verschiedenen Nicht-Pivot-Indizes n (Auch n + ist Nicht-Pivot-Index, spielt aber eine Extra-Rolle) Für d = ist die Menge der i j leer Man bildet folgende n-tupel X, X,, X d Für d = gibt es nur das X und keine X i i > X sei folgendes n-tupel: An den Pivot-Koordinaten j, j,, j k stehen, in dieser Reihenfolge, die Einträge der letzten, dh der (n + )-ten Spalte von à (der Reihe nach von oben nach unten genommen) Alle anderen Koordinaten sind Für r =,,, d = n k bilde X r folgendermaßen: Der Eintrag in der Koordinate i r sei In den Pivot-Koordinaten werden die negativen Werte der Einträge aus der Spalte i r (von oben nach unten bis zum k-ten Eintrag) eingetragen Die restlichen Koordinaten sind

13 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 63 Dann: X ist eine Lösug des LGS und die X, X, ; ; ;, X d sind eine Basis des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen Systems Der Lösungsraum ist also: L := X + R X + R X + R X d = {X + λ X + λ X + + λ d X d λ,, λ d R } Angewandt auf unser Beispiel für eine Matrix in normierter Zeilenstufenform: Ã = j i j j 3 i j 4 Dabei: n = 6, k = 4, d =, j =, j = 3, j 3 = 4, j 4 = 6, i =, i = 5 Es sind Die Punkte kennzeichnen die Pivot-Indizes Die kennzeichnen die en an den Nicht-Pivot- Stellen i =, i = 5 Die Lösungsmenge bei diesem Beispiel ist also L = R + R = λ 9 4 λ λ λ λ λ λ, λ R Bemerke: L ist eine Ebene im R 6

14 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Das Gaußverfahren in der Zusammenfassung Das vollständige Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmenge eines LGS, das wir kennengelernt haben, heißt Gauß-Verfahren Wir geben eine Zusammenfassung: Grundlegendes Prinzip: Man bringt das LGS Ax = b, dh die Matrix à = (A b), durch elementare Umformungen auf normierte Zeilenstufenform Dessen Lösungsmenge ist direkt abzulesen und ist auch die Lösungsmenge des Ausgangs-LGS Das Gauß-Verfahren im Schema: Problem: Bestimme die Lösungsmenge des LGS A x = b, A R m n Verfahren: Notiere die erweiterte Koeffizientenmatrix à = (A b) Bringe à auf Zeilenstufenform Der Stufenrang sei k Ist n + ein Pivot-Index, so ist Ax = b nicht lösbar und das Verfahren ist beendet Sind alle Pivot-Indizes n, so: 3 Bringe à weiter auf normierte Zeilenstufenform 4 Lies X und die X,, X d, d = n k, ab Die Lösungsmenge des Ausgangs-LGS ist L = X + RX + + RX d Gesamtbeispiel x 3 + x 4 + x 5 x 6 = x x + x 3 + x 5 x 6 = x x + x 4 + 5x 5 x 6 = x + x 3x 3 3x 4 3x 5 + x 6 = x + x x 3 4x 4 4x 5 + 3x 6 = a a a à LGS ( )

15 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME a 4 4 a 4 a + Offenbar: Letzte Spalte keine Pivot-Spalte L a = In diesem Fall, also für a =, ist man bei der Matrix, die in 73 auf normierte Zeilenstufenform gebracht worden ist Auf normierte Zeilenstufenform gebracht ergibt sie die Ausgangsmatrix für das Ablese-Beispiel in 733 Scließlich: Der abgelesene Lösungsraum ist die Ebene L am Ende von Berechnung der inversen Matrix Bemerkung: Ein A R n n ist genau dann invertierbar, wenn ihr Rang gleich n ist Gleichbedeutend damit ist: Die Matrix in normierter Zeilenstufenform, die aus A durch elementare Zeilenumformungen entsteht, ist die Einheitsmatrix E n Verfahren zum Invertieren einer n n-matrix: Bringe A auf Zeilenstufenform Ist Stufenrang von A gleich n, so bringe A weiter auf normierte Zeilenstufenform Andernfalls beende das Verfahren Parallel zu wende auf E n die gleichen elementaren Umformungen wie auf A in der gleichen Reihenfolge an Hat A die Form E n erreicht, so ist aus E n die Inverse A von A geworden

16 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 66 In der Praxis stellt man A und E n nebeneinander zu A E n Man bringt A auf normierte Stufenform Während links dann E n erscheint, erhält man rechts das A Beispiel: A = M(,) Ergebnis: = Probe! 736 Inverse Matrizen und das offene Leontief-Modell Bemerke: Ist A R n n invertierbar, so hat jedes LGS Ax = b genau eine Lösung, nämlich x = A b Für die Praxis ist dies nicht bedeutsam, weil das Invertieren einer Matrix aufwendiger ist als das Lösen eines LGS Theoretisch ist die Bemerkung die Grundlage eines einfachen kassischen volkswirtschaftlichen Modells: Das sogenannte offene Leontief-Modell: Situation: Betrachtet wird eine Volkswirtschaft, bestehend aus n Industrien I,, I n, welche die jeweiligen Produkte P,, P n herstellen Daten: x x Produktionsvektor x =, Nachfragevektor d = d, d x n Verbrauchsmatrix A = (a ij ) i=,,n j=,,n d n

17 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 67 Dabei sind x i = Gesamtoutput von I i, i =,, n, in Einheiten des Produkts P i, d i = von außen nachgefragte Einheiten des Produktes P i, a ij = Anzahl der Einheiten an P i, die von der Industrie I j gebraucht wird, um eine Einheit von P j herzustellen Der ökonomischen Interpretation entsprechend setzt man noch voraus, daß alle x i, alle a ij, alle d i und bei diesem Modelltyp mindestens ein d i > sei Man bemerkt: Die Anzahl von Einheiten von P i, die von den Industrien I,, I n insgesamt verbraucht wird, ist n! a i x + + a ij x j + + a in x n = a ij x j = i-te Koordinate von A x Die Anzahl von Einheiten an P i, die zum äußeren Verbrauch übrigbleiben, ist daher n! x i a ij x j = i-te Koordinate von x A x Ergebnis: j= j= Die verlangte Nachfrage kann genau dann ohne Abstriche und ohne Surplus erfüllt werden, wenn d = x A x, dh wenn das LGS ( ) (E n A) x = d eine Lösung x R n hat, wo alle x i sind Eine besonders zufriedenstellende Situation: Besonders zufriedenstellend ist die Situation, wenn (E n A) invertierbar ist mit einer inversen Matrix (E n A), bei der alle Einträge sind Denn dann hat ( ) für jedes d genau eine Lösung x und deren Koordinaten x i sind alle Bezeichnungen: Eine Matrix A R m n uns interessieren in erster Linie quadratische Matrizen und einspaltige Matrizen, also n-tupel heißt nicht-negativ, wenn alle Einträge a ij sind Ein nicht negatives A R n n heißt produktiv, wenn E n A invertierbar und die inverse Matrix (E n A) nicht negativ ist Tatsache (Ein hinreichendes Kriterium für Produktivität) Sei A R n n nicht negativ n Sind alle Spaltensummen kleiner als dh ist a ij < für alle j =,, n i= n oder sind alle Zeilensummen kleiner als dh für alle i ist a ij <, so ist A produktiv j= Der Beweis erfordert eine eigene Theorie Kommentar: Daß es wie die Tatsache belegt brauchbare produktive Matrizen gibt, ist mathematisch keineswegs selbstverständlich Das einfache Modell und die Tatsache demonstrieren daher den nicht

18 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 68 selbstverständlichen Sachverhalt, daß es zumindest einfache nicht triviale volkswirtschaftliche Modelle gibt, in denen ein Gleichgewicht zwischen Produktion und Verbrauch besteht Wenn das gesichert ist, kann man der Frage nach Gleichgewichtszuständen und Gleichgewichts- Pfaden in realistischeren Situationen nachgehen, wie es die fortgeschrittene Volkswirtschaftslehre tut Ein Zahlenbeispiel: A = Für d = (Nachrechnen als Übung!), E n A = , (E n A) = ist dann die eindeutige Lösung x = (E n A) d = Determinanten 74 Definition der Determinante Motivation: Gegeben a, a, a 3 R 3 Betrachte das Parallelotop P (a, a, a 3 ) im R 3 mit den Ecken, a, a, a + a, a 3, a 3 + a, a 3 + a, a 3 + a + a (Zeichnung!) Gesucht: Eine Formel für das Volumen von P (a, a, a 3 ) Eine solche Formel erhält man mittels der sogenannten Determinante Bezeichnung Sei A R n n, n Nenne für i, j n: { diejenige ((n ), (n ))-Matrix, die man erhält, indem man in A ij := A die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht Beispiel: 3 A = Dann A 3 = ( ), A = ( ) 3 usw 5 6 Definition (der Determinante einer (n, n)-matrix) Die Determinante ist eine Zuordnung, die jeder quadratischen Matrix eine reelle Zahl zuordnet Mathematischer gesprochen: Für jedes n N definieren wir eine Abbildung det n : R n n R, A det n (A) Die Definition geschieht rekursiv: Wir definieren det und dann det n für n mit

19 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 69 Hilfe des schon als definiert angenommenen det n : n = det (a) = det(a) = a n Sei det n schon definiert für n Dann sei für A R n n : n det n A := ( ) +i a i det n A i i= Zur Schreibweise: Wenn durch die betrachteten Matrizen klar ist, um welches n es sich handelt, schreibt man kurz det A für det n A Bei konkreten Matrizen A ist es auch üblich, die Determinante von A durch Betragsstriche an A zu bezeichnen, also zb a a a a := det ( a a a a ) In niedrigen Dimensionen: Für n = Für n = 3 a a a a = a a a a a a a 3 a a a a 3 = a a 3 a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a + a a 3 33 a 3 a 3 33 a a 3 33 = a ( a a 33 a 3 a 3 ) a ( a a 33 a 3 a 3 ) + a 3 ( a a 3 a a 3 ) = ( a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 ) ( a 3 a a 3 + a a 3 a 3 + a a a 33 ) Das ist die sogenannte Sarrusregel Als Gedächtnisschema: a a a 3 a a a a a 3 a a a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 Mit Plus-Zeichen: Summanden mit Faktoren auf den durchgezogenen diagonalen Linien Mit Minus-Zeichen: Summanden mit Faktoren auf den gepunkteten diagonalen Linien Beispiel: 4 = ( 4) ( ) ) = 74 Haupteigenschaften

20 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 7 Ad-hoc-Matrixschreibweise: Für A R n n schreiben wir: A = A A i A n Satz (Einige wesentliche Eigenschaften):, wo A i die i-te Zeile von A bezeichnet, i =,, n (D) Für alle i =,, n, alle λ R und alle A i, A i R n gilt: det A λ A i = λ det A A i det A n A A i + A i A n = det A n A A i A n + det A A i Man formuliert (D) auch so: Die Determinante ist linear in der i-ten Zeile A n (D) Für alle i, j n, i < j gilt: det A A j A i i j = det A A i A j i j A n A n In Worten: Vertauscht man in A zwei Zeilen, so ändert deta das Vorzeichen

21 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 7 (D3) det E n = (D4) Für alle i, j n, i j und alle λ R gilt: A A i + λ A j i det A j j A n = det A A i A j A n = det A In Worten: Elementare Zeilenumformungen des Typs M(i,j λ) ändern die Determinante nicht (D5) det A Die Zeilen von A sind linear unabhängig (D6) det A = det A t In Worten: Beim Transponieren (s Bez in 65 ) einer Matrix ändert sich die Determinante nicht Als Folgerung: Die für die Zeilen von A formulierten Eigenschaften (D), (D), (D4), (D5) gelten entsprechend auch für die Spalten (D7) det(a B) = det A det B (wichtig und erstaunlich) Daraus und aus (D3) : det A = (det A) für invertierbare A ( ) B C (D8) Ist A von der Form A = mit B R O D k k, D R r r, C R k r (man sagt: A hat obere Blocksgestalt), so gilt det A = det B det D a a n a (D9) Hat A = obere Dreiecksgestalt, so gilt det A = O a nn In Worten: Bei oberen Dreiecksmatrizen ist det A das Produkt der Diagonalelemente von A n i= a ii (D) (D) Die entsprechenden Aussagen zu (D8) und (D9) gelten auch für untere Blocksgestalt und untere Dreiecksmatrizen Entwicklung nach der j-ten Spalte: Für alle j =,, n gilt (mit den A ij wie in der Bezeichnung in 74 ):

22 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 7 det A := n ( ) i+j a ij det n A ij i= Entwicklung nach der i-ten Zeile: Für alle i =,, n gilt: n det A := ( ) i+j a ij det n A ij j= Bemerke: Die Formel aus der Definition in 74 ist die Entwicklung nach der ersten Spalte Zum Beweis des Satzes: Bei den meisten Eigenschaften muß man beim Beweis einige Arbeit investieren 743 Berechnungsvarianten Die induktive Berechnung nach Definition Allgemeiner: Man kann eine der Entwicklungsregeln in (D) anwenden Das empfiehlt sich insbesondere, wenn in einer Zeile oder Spalte mehrere Nullen vorkommen Bei Matrizen in der entsprechenden speziellen Gestalt sind die Regeln (D8), (D9), (D) zur Berechnung von det A sehr nützlich 3 Bei normalen Matrizen kann man elementare Zeilenumformungen benutzen Eine Matrix in Zeilenstufenform hat obere Dreiecksgestalt Ihre Determinante kann also nach (D9) direkt berechnet werden Außerdem: Man entdeckt bei der Herstellung der Zeilenstufenform rechtzeitig, ob die Zeilen linear abhängig sind Dann ist die Determinante gleich nach (D5) Zu beachten ist: Bei elementaren Zeilenumformungen des Typs M(i λ) und M(i,j) ändert sich die Determinante, allerdings in kontrollierter Weise: Bei einem M(i,j) ändert sie das Vorzeichen ( (D) ), bei einem M(i λ) wird sie mit λ multipliziert ( (D) ) Es sei noch einmal darauf hingewiesen, daß Umformungen des Typs M(i,j λ) die Determinante nicht ändern ( (D4) ) Berechnungsverfahren in diesem Sinne: Man bringt die Matrix A auf Zeilenstufenform A und führt Bilanz über die dabei entstandenen Veränderungen Es ist dann det A = ( ) m Λ det A, wo m die Anzahl der vorgenommenen Vertauschungen und wo Λ das Produkt aller Faktoren λ bei den getätigten Modifikationen des Typs M(i λ) ist Letztlich ergibt sich det A = ( ) m Λ det A Anmerkung: Für großes n ist dies die Berechnungsmethode mit dem geringsten Aufwand Ein Beispiel: In der Vorlesung

23 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 73 4 Es gibt auch eine Formel, welche die Sarrusformel in der Dimension 3 auf beliebiges n verallgemeinert Sie ist jedoch zum Berechnen kaum geeignet Es ist eine Summenformel mit n! Summanden, wo jeder Summand ein bestimmtes Vorzeichen hat und ein Produkt von n Einträgen der Matrix ist (Schon das Berechnen der Vorzeichen erfordert einen gewissen Aufwand) Bei n = 5 gibt es also zb Summanden (im Vergleich zu den 6 Summanden bei n = 3 ) 744 Erste Anwendungen Volumina Tatsache Das Volumen des Parallelotops (man sagt auch des Spats ) P (a, a, a 3 ) aus der Motivation in 74 ist der Betrag det(a) der Determinante derjenigen (3,3)-Matrix A, welche die a, a, a 3 als Spalten ( oder als Zeilen, s (D6) ) hat Allgemein: Mit Hilfe der Determinante kann man höherdimensionale Volumina definieren Generell spielt die Determinante bei der Berechnung von Volumina auch in der Analysis eine wichtige Rolle Ein Kriterium für lineare Unabhängigkeit Die Eigenschaft (D5) des Satzes und die analoge Eigenschaft für die Spalten liefern ein Kriterium für lineare Unabhängigkeit Danach gilt nämlich für quadratische Matrizen: det A Die Zeilen (genauso: die Spalten) von A sind linear unabhängig Beim Beispiel vor dem Satz in 74 : Die Spalten sind nach diesem Kriterium linear unabhängig Bemerke: Die Spalten sind die Tupel, die am Ende von 644 schon einmal als linear unabhängig identifiziert wurden 3 Definitheit bei symmetrischen Matrizen Bemerke: Es sei A eine (n,n)-matrix Sind x, y R n, so ist x t A y eine reelle Zahl Genauer: Es ist n x t A y = x i a ij y j i,j= Insbesondere: Durch x x t A x wird eine Abbildung R n R definiert Solche Abbildungen heißen homogen quadratisch Sie spielen zb in der Analysis bei mehreren Variablen (s Kap 4 ) die Rolle der zweiten Ableitung Diese Anwendung bereiten wir hier vor Dabei kann man sich auf symmetrische Matrizen (s 65 ) beschränken

24 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 74 Definition Sei A R n n symmetrisch Man definiert: A ist positiv definit : x t A x > für alle x R n A ist negativ definit : x t A x < für alle x R n { Es gibt x R A ist indefinit : n mit x t A x > und y R n mit y t A y < Bezeichnung Sei A R n n Für k =,,, n sei A(k) diejenige (k,k)-matrix, die aus dem Durchschnitt der ersten k Zeilen mit den ersten k Spalten von A besteht Beispiel: A = 3 3, A() = ( ), A() = ( ), A(3) = Tatsache (Das Hurwitz -Kriterium für Definitheit): A R n n sei symmetrisch Dann gilt: 3 3 A ist positiv definit det A(k) > für alle k =,,, n A ist negativ definit } deta < und A ist nicht negativ definit, A(4) = A { det A(k) < für die ungeraden k, und det A(k) > für die geraden k, k =,,, n = A ist indefinit Der Beweis ist nicht selbstverständlich und wird ausgelassen Anwendung bei der Matrix des Beispiels zuvor : det A() = <, det A() = = >, det A(3) = 3 3 und det A(4) = det A = 47 > Ergebnis: A ist negativ definit Als Übung: Berechnen Sie det A nach den in 743 vorgeschlagenen Methoden = < 4 Das charakteristische Polynom Eigenwerte Eigenvektoren Das ist ein eigenes Kapitel in der Linearen Algebra Wir werden in den folgenden beiden Nummern nur ganz kurz darauf eingehen Das sogenannte geschlossene Leontief Modell dient als Motivation

25 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Das geschlossene Leontief-Modell Die Situation sei wie in 736 : Betrachtet werden nicht-negative (s die Bezeichnung in 736 ) x R n und A = (a ij ) i=,,n j=,,n R n n Es sei jetzt d = (Daher der Name geschlossen : Es gibt keine äußere Nachfrage Die Volkswirtschaft aus den n Industrien ist nach außen abgeschottet ) Die Frage ist jetzt: Gibt es x mit ( ) x A x = (E n A) x = bzw äquivalent dazu mit A x = x? Tatsache Ist zb A eine stochastische Matrix (s75 ), so hat das homogene LGS (E n A) x = eine nicht-negative Lösung x Gibt es eine Potenz A k von A, deren Einträge alle > sind (das ist insbesondere der Fall, wenn alle a ij > sind), so ist solch eine Lösung x bis auf einen reellen Faktor eindeutig bestimmt und es ist x i > für alle Koordinaten i =,, n Der Beweis benötigt eine besondere Theorie Siehe auch den folgenden Abschnitt, 8, 3, Zahlenbeispiel: Die stochastische Matrix A = (a ij ) =,,, 6 aus 75 erfüllt auch,, 5, die Voraussetzungen des zweiten Teils der Tatsache Die Lösung ist bis auf einen Faktor eindeutig Es folgt: Es gibt genau eine stochastische Lösung Sie ist bei diesem Beispiel x = 6 3 (Nachrechnen als Übung!) Eigenwerte Eigenvektoren Das charakteristische Polynom Definition (Eigenwerte Eigenvektoren): Sei A R n n Seien λ R und x R n Gilt A x = λ x, so heißt λ ein Eigenwert von A mit Eigenvektor x und x heißt ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ Anmerkung: Mit diesen Bezeichnungen stellt sich die Frage beim geschlossenen Leontief-Modell des vorausgehenden Abschnitts folgendermaßen: Hat die Verbrauchsmatrix A den Eigenwert und gibt es zum Eigenwert einen Eigenvektor, der nicht-negativ ist?

26 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 76 Beispiele zu den Eigenwerten und Eigenvektoren:, 8, 3, (i) Für die stochastische Matrix A = (a ij ) =,,, 6 aus 745 zuvor und für das 34,, 5, 6 4 x = gilt A x = x Also: x ist ein Eigenvektor von A zum Eigenwert ( ) (ii) Für die Matrix A = ein Eigenvektor zum Eigenwert - ist x = ( ) ( ein Eigenvektor zum Eigenwert und x = ) (iii) Eine Lösung x eines homogenen LGS A x = ist ein Eigenvektor von A zum Eigenwert Geometrische Bedeutung: Ist x ein Eigenvektor von A, so führt die lineare Abbildung f A : R n R n die Gerade R x in sich über Ist x ein Eigenvektor zum Eigenwert, so ist R x eine Fixgerade : Jeder Punkt von R x bleibt fix unter f A Ist x ein Eigenvektor zum Eigenwert -, so wird jeder Punkt von R x am Nullpunkt gespiegelt Unter diesem Gesichtspunkt: Das f A zur Matrix A = aus Beispiel (ii) ist die Spiegelung an der Diagonalen R ( ) im R ( ) Das als nächstes definierte charakteristische Polynom braucht man, um die Eigenwerte einer Matrix zu bestimmen Definition (Das charakteristische Polynom): Sei A R n n Die Funktion χ A : R R, λ det (λ E n A) = det heißt das charakteristische Polynom von A λ a a a n a λ a a n an a n λ a nn, Bemerkung: Es ist leicht auszurechnen, daß χ A ein Polynom n-ten Grades in λ ist: wobei α = ( ) n det A χ A (λ) =: λ n + α n λ n + + α λ + α, Satz: Sei A R n n und sei λ R Dann: λ ist Eigenwert von A χ A (λ) =

27 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 77 Beweis: A x = λ x für ein x (λ E n A) x = für ein x Rang (λ E n A) < n det (λ E n A) = χ(λ) = (D5) Beispiele: () ( ) Für die Matrix A = aus Beispiel (ii) ist χ A (λ) = λ λ λ mit den Nullstellen λ = und λ =, 8, 3, () Für die Matrix A = (a ij ) =,,, 6 aus Beispiel (i) gilt,, 5, χ A (λ) = λ, 8, 3,, λ,, 6,, 5 λ, = λ λ + 9 λ+ = ( λ )( λ 9 5λ ) Offenbar ist Nullstelle von χ A (λ) Außer gibt es zwei weitere Eigenwerte von A, nämlich λ = ( ± 5 ) (das sind die Nullstellen von λ 5 λ 9 ) =

28 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Aufgaben Aufgabe Für welche reellen Zahlen t R bilden die folgenden Vektoren eine Basis des R 4? t, 3, t, Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungsmengen für folgende Gleichungssysteme: a) x + x = x x = 5 4x + 8x = b) x + x + x 3 = 4x + 5x + 8x 3 = 5 x + x x 3 = c) x x x 3 + 8x 4 + 4x 5 = 5 3x + x 3 4x 4 6x 5 = 3 x + 4x 3 x 4 x 5 = d) x + x 3 + 3x 4 + 5x 5 = 7 x + x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 8 Aufgabe 3 In einer Familie hat jeder Sohn dieselbe Anzahl von Schwestern wie Brüder Jede Tochter hat zweimal soviele Brüder wie Schwestern wieviele Söhne und Töchter hat die Familie? Aufgabe 4 Untersuchen sie, ob folgende Matrizen invertierbar sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls die Inversen: 4 4 A :=, B = 3, C = Aufgabe 5 Bestimmen Sie für die in Aufgabe 6b von Übungsblatt 9 angegebene Eigenbedarfsmatrix A die Matrix M := (E 3 A), sowie Produktionsvektoren zu folgenden Nachfragevektoren:, 3, Aufgabe 6 Berechnen Sie die Determinanten folgender Matrizen (es sei t R): 3 t t a) 4 3 b) c) t 3

29 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 79 d) 3 3 e) t t 8 4 f) 3 4 3t 8 4t Aufgabe 7 Welche der folgenden Matrizen sind positiv oder negativ definit? 5, 5,