ARBEITSUNTERLAGEN ZUR VORLESUNG UND ÜBUNG AN DER UNIVERSITÄT DES SAARLANDES LINEARE OPTIMIERUNG

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1 ¾ REITSUNTERLGEN ZUR VORLESUNG UND ÜUNG N DER UNIVERSITÄT DES SRLNDES LINERE OPTIMIERUNG IM SS

2 Lineare Optimierung (SS ). ufgabe (Graphische Lineare Optimierung) Nach einem anstrengenden Semester steht der wohlverdiente Urlaub an und es gilt, den Koffer zu packen. Mitnehmen wollen Sie, wie jeder andere Student ier und Kondome. illig-weg bietet zwar den günstigsten Flug, doch dürfen sie nur einen Koffer mitnehmen. Dieser bietet 8PE Raum. Päckchen Kondome nimmt, genau wie Six-Pack, PE in nspruch. Zudem ist das Gewicht auf kg beschränkt, wobei der Koffer selbst 4kg wiegt. Päckchen. Kondome hat ein Gewicht von.5kg, ein Six-Pack hingegen von kg. Zum Einkaufen der beiden rtikel stehen Ihnen 4 Euro zur Verfügung. Päckchen Kondome kostet 6 Euro, Six-Pack Euro. Sie gehen davon aus, dass ihnen ein Päckchen Kondome,5mal so viel Spaß bieten wird, wie ein Six-Pack Maximieren Sie ihren Urlaubsspaß, und lösen Sie die ufgabe graphisch!!!. ufgabe (Lineare Programme) Formulieren Sie die folgenden Optimierungsprobleme als lineare Programme. Wandeln Sie dabei Ungleichungen mittels Schlupfvariablen in Gleichungen um! a) Ein etrieb hat die Möglichkeit, zwei Werkstücke W und W zu produzieren, wozu er seine nicht voll ausgelasteten Drehbänke, Fräs- und Hobelmaschinen ausnutzen kann. In der folgenden Tabelle sind die freie Maschinenkapazität, der Gewinn und die earbeitungszeit für ein Werkstück W i angegeben. Stellen Sie das lineare Programm zur Gewinnmaximierung auf. Maschinenzeit in Minuten Maschinenkapazität für ein Werkstück der rt in Minuten W W Drehen 5 5 Fräsen 5 Hobeln 5 Gewinn in GE b) Eine Schaffabrik stellt aus Wolle, Gras und Schuhcreme schwarze und weiße Schafe her. Ein weißes Schaf enthält 3 WE Wolle, ein schwarzes WE. ufgrund eines Knebelvertrages mit der städtischen Schafscherervereinigung ist die Fabrik verpflichtet, mindestens 4 WE Wolle zu einem Preis von 5 GE/WE zu kaufen. Der Grasbedarf beträgt GrE pro schwarzem Schaf und GrE pro weißem Schaf. Eine Einheit Gras kostet.5 GE, wobei insgesamt 4 Graseinheiten zur Verfügung stehen. Schließlich wird für jedes schwarze Schaf Schuhcreme im Wert von GE benötigt. Da der esitzer der Schaffabrik auch esitzer der Schuhcremefabrik ist, will er mindestens Schafe schwarz einfärben. Sowohl weiße, als auch schwarze Schafe lassen sich für GE in beliebiger Menge absetzen. Gehen Sie davon aus, dass zwar ruchteile von Schafen aber keine negativen Schafe produziert werden können. Stellen Sie das lineare Programm auf, das i) den Gewinn maximiert ii) die produzierte Menge an Schafen maximiert iii) die Menge an schwarzen Schafen maximiert c K. Schindler SS

3 Lineare Optimierung (SS ) c) Eine Transportfirma ist beauftragt worden eine Ware von m Stellen (Quellen) zu n Zielen (Senken) zu befördern. n der i-ten Quelle (i {,..., m}) gibt es a i Wareneinheiten (WE) und es müssen mindestens b j WE zum j-ten Ziel (j {,..., n}) transportiert werden. Der uftraggeber ist bereit, c ij GE pro WE für den Transport von Quelle i zum Ziel j zu zahlen. Formulieren Sie das lineare Programm, das die Einnahmen der Firma maximiert. d) Ein Zulieferbetrieb der utomobilindustrie hat den uftrag bekommen, 5 Teile gleicher rt anzufertigen. Für die Herstellung eines dieser Teile werden drei lechplatten der Größe (, 3m, 7m) und zwei lechplatten der Größe (, 4m, 6m) benötigt. Der etrieb muss dazu die Platten aus lechtafeln der Größen I (m m) und II (, 6m, 5m) ausstanzen. Folgende Möglichkeiten sind technisch realisierbar: Tafeltyp / ausgestanzte Platten bfall [m ] Möglichkeit I/ 4,6 I/ 3,3 I/3,3 I/4 3,8 II/ 4,6 II/ II/3 3,8 Die resultierenden sieben Schnittmuster haben folgendes ussehen: I/ I/ I/3 I/4 II/ II/ II/3 Erstellen Sie ein lineares Programm, wenn bei der geplanten Produktion möglichst wenig bfall anfallen soll. 3. ufgabe ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 Seien x :=, x :=, x 3 := und x 3 4 :=. Skizzieren Sie folgende Mengen! a) KH ( {x, x } ), KH ( {x, x, x 3 } ) b) {x 4 } + KH ( {x, x, x 3 } ) c) KH ( {x, x } ) + KK ( {x 3 } ) c K. Schindler SS 3

4 Lineare Optimierung (SS ) 4. ufgabe Sei V := {f : Ê Ê f ist eine Funktion}. a) Welche der angegebenen Mengen U i sind Untervektorräume von V? U := {f V f konstant } U := {f V f stetig } U 3 := {f V f()=} U 4 := {f V f()=} U 5 := {f V f()>5} b) erechnen Sie U U i, U +U i für i= und i=4 5. ufgabe a) Sei U Untervektorraum eines Vektorraums V. erechnen Sie U + U, U U und λ U (λ Ê). Seien v, v, v 3 Vektoren aus V. Wann gilt LH ( {v, v, v 3 } ) =LH ( {v, v } )? b) Welche der folgenden Mengen sind Unterräume bzw. affine Unterräume des Ê 3 (egründung!)? erechnen Sie, falls ein Untervektorraum vorliegt, dessen Dimension. i) M := {(x, x, x 3 ) t Ê 3 3 } x i = i= ii) M := { (x, x, x 3 ) t Ê 3 x x +x 3 = } iii) M 3 := { (x, x, x 3 ) t Ê 3 x x +x 3 = } c) Gegeben sei die Menge U := {x Ê 3 x x = }. i) Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum des Ê 3 ist. ii) estimmen Sie dim(u) und geben Sie eine asis von U an. (egründung!) d) Es sei V := Ê der Raum der reellen ( )-Matrizen. U sei der von den Matrizen ( 5 4 ), ( 5 ), ( ), ( 7 5 erzeugte Untervektorraum. erechnen Sie eine asis und die Dimension von U. e) Zeigen Sie, dass die Elementarpolynome p, p, p,... mit p j (x):=x j eine asis des Vektorraums der Polynome bilden. n V := {f : Ê Ê f(x) = a j x j, n Æ, a j Ê} j= ). c K. Schindler SS 4

5 Lineare Optimierung (SS ) 6. ufgabe Die Teilmengen K i (i=,..., 5) des Ê seien definiert durch K := { } (x, y) Ê x y x K := { (x, y) Ê x x y x } K := { (x, y) Ê y } K 3 := { (x, y) Ê (x, y) x y x } K 4 := { (x, y) Ê (x, y) x y x } K 5 := K 3 K 4 K 6 := Ê \K 3 a) Untersuchen Sie die Mengen K i (i=,..., 6) auf Konvexität. b) Untersuchen Sie, ob K i (i=,..., 6) ein Kegel ist und geben Sie ggf. ein Erzeugendensystem an. c) Untersuchen Sie, ob K i (i=,..., 6) ein affiner Unterraum ist. 7. ufgabe Sei Ä ein affiner Unterraum eines Vektorraumes V. Zeigen Sie folgende ussagen! a) Ä ist genau dann ein Unterraum von V, wenn Ä gilt. b) Ist b ein Vektor aus Ä, so ist U := Ä {b} ein Unterraum von V. c) Es existiert ein Vektor b V und ein Untervektorraum U V mit Ä = {b} + U. 8. ufgabe a) Zeigen Sie, dass die Vektoren x :=, x :=, x 3 :=. eine asis des Ê 3 bilden. Stellen Sie den Vektor x := mit Hilfe dieser asis dar. b) V sei der Vektorraum der Polynome (siehe auch ufgabe 5e). Geben Sie eine asis der folgenden Unterräume an! i) LH{x +x+, x +x+3, x +x } ii) LH{x, x +x+, 3x +4x+, x +x, 73x 7, π, x +, x 7 +x 5 } c) Zeigen Sie, dass die Funktionen e x, e x und e 3x im Vektorraum aller Funktionen von Ê nach Ê linear unabhängig sind. c K. Schindler SS 5

6 Lineare Optimierung (SS ) 9. ufgabe a) Sei T : V W eine lineare bbildung zwischen den Vektorräumen V und W. Zeigen Sie, dass die Mengen Kern(T ) := { v V T (v)= }, ild(t ) := { T (v) v V } Unterräume von V bzw. W sind und dass T genau dann injektiv ist, wenn Kern(T )={} gilt. b) Für n Æ bezeichne V n die Menge aller Polynome mit einem Grad kleiner gleich n. Zeigen. ufgabe Sie, dass V n ein Unterraum von V und die bbildung D : V n V n mit D(p) := p linear ist. Untersuchen Sie D auf Injektivität und Surjektivität. erechnen Sie Kern(D) und ild(d). c) E bezeichne den Untervektorraum LH{e x, e x, e 3x } im Raum aller Funktionen von Ê nach Ê. D : E E bezeichne wie vorher den bleitungsoperator. Untersuchen Sie D auf Injektivität und Surjektivität. erechnen Sie Kern(D) und ild(d). a) Unter welcher Voraussetzung können für zwei Matrizen, die Produkte und gebildet werden? b) estimmen Sie Matrizen, mit. c) estimmen Sie Matrizen, mit = = d) Welche Eigenschaft müssen die Spaltenvektoren einer (N N)-Matrix erfüllen, damit gilt t = ½ e) Invertieren Sie die Matrizen M := und N :=.. ufgabe Gegeben seien die Vektoren a = 3, a = b, a 3 =, a 4 = a) Für welche b Ê sind a und a linear abhängig? b) Für welche b Ê sind a und a orthogonal? c) Zeigen Sie, dass a, a 3 und a 4 linear unabhängig sind., a 5 = π 7 5, a 6 = d) erechnen Sie den Rang der Matrix M, deren Spalten aus den Vektoren a, a 3 und a 4 bestehen. (, e) Liegt a 5 in LH{a, a 3, a 4 }? erechnen Sie die Orthogonalräume LH{a, a 3, a 4 }) {a, a 3, a 4 } sowie deren Dimension. f) erechnen Sie den Orthogonalraum von {a 6 } und dessen Dimension. Liegt a 5 in {a 6 }?. c K. Schindler SS 6

7 Lineare Optimierung (SS ). ufgabe (Lineare Gleichungssysteme) Gegeben sei das Gleichungssystem: x + x 3 = λx + λx + x 3 = 4 3x + x + λx 3 = 4 a) Für welche Werte λ Ê ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar? b) Für welche Werte λ existieren unendlich viele Lösungen? c) Für welche Werte λ existieren keine Lösungen? 3. ufgabe Gegeben seien die Matrizen = und die Vektoren 3 4 v = (,, 3, 4, 5) t, v = (,, 3, 4) t., = ( 3 a) estimmen Sie den Rang der Matrizen,. ) b) Zerlegen Sie für i=, die Matrix i in einen asis- bzw. Nichtbasisanteil und geben Sie für v i die resultierende Zerlegung in asis- bzw. Nichtbasisanteil an. c) Lösen Sie das Gleichungssystem i x = b i für b = (,, 3) t bzw. b = (, ) t mit Hilfe der Zerlegung aus Teil b). 4. ufgabe Gegeben seien die (4 7)-Matrix bzw. der Spaltenvektor b durch := a) Ist die Matrix entschlüsselt? bzw. b := b) Ist das Gleichungssystem x = b lösbar? c) Geben Sie eine asismatrix und eine Nichtbasismatrix N für an. Wie lauten in diesem Fall die Menge der asis bzw. Nichtbasisindizes I und I N (zur Notation siehe Satz 5.7)? d) erechnen Sie mit Ihrer Zerlegung aus Teil c) die zugehörige asislösung und Fundamentalbasis des Gleichungssystems x = b.. c K. Schindler SS 7

8 Lineare Optimierung (SS ) 5. ufgabe Gegeben seien die Matrix := 3 3 und der Vektor b := (,, )t. a) erechnen Sie ein zu x = b äquivalentes Gleichungssystem (r) x = b (r) mit einer entschlüsselten Matrix (r). b) Geben Sie für das Gleichungssystem (r) x = b (r) eine asislösung und sämtliche Fundamentallösungen an. c) Geben Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems x = b an. 6. ufgabe (Lineare Gleichungssysteme, Inverse von Matrizen) a) estimmen Sie alle Lösungen x = (x,..., x 7 ) t Ê 7 der Gleichung x + x + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5 + 6x 6 + 7x 7 =. b) erechnen Sie die Lösungsmenge Ä = { x Ê x + x = 3 }. c) erechnen Sie die Inverse der Matrix M :=. 7. ufgabe Der Zulässigkeitsbereich X eines (LP) sei gegeben durch die Ungleichungen 3x + y 4 x + y 4 x + y 6 3x + y 8 y x, y a) Stellen Sie das Ungleichungssystem durch Einführung von Schlupfvariablen als Gleichungssystem in der Form x = b dar und begründen Sie mit dieser Darstellung, dass der Punkt (, 5) eine Ecke von X ist. b) Pivotieren Sie zuerst nach dem Element a 5, und dann nach dem Element a, der Matrix, um zu einer entschlüsselten Matrix zu gelangen. Wählen Sie die Einheitsvektoren als asismatrix und zeigen Sie, dass die zugehörige asislösung eine Ecke von X liefert. c) Pivotieren Sie nun sukzessive nach allen Elementen der letzten Spalte (Pivotspalte) und bestimmen Sie die zugehörige asislösung, indem Sie jeweils die Einheitsmatrix als asismatrix wählen. Liefern die Lösungen immer Ecken von X? Warum ist es nicht sinnvoll nach negativen Dies vermeidet den FuNf. c K. Schindler SS 8

9 Lineare Optimierung (SS ) Elementen der Pivotspalte zu pivotieren, um zu einer anderen Ecke zu gelangen? Versuchen Sie eine Regel aufzustellen, um in einer Pivotspalte das (positive) Element zu finden, das zu einer neuen Ecke führt. Dividieren Sie hierzu erst jede Zeile durch das positive Element der Pivotspalte und konzentrieren sich auf die Inhomogenität! d) erechnen Sie nun mit der in Teil c) hergeleiteten Regel alle Ecken von X und skizzieren Sie X damit. 8. ufgabe (Punkte, Ecken, Kegelerzeugende) Gegeben sei der Zulässigkeitsbereich X = {x Ê 7 x = b, x } durch = Geben Sie für jeden der folgenden Vektoren x := 3, x := 3 5, b =, x 3 :=., x 4 := 4 5 6, x 5 := an, ob er i) Punkt ii) Eckpunkt iii) Kegelerzeugende von X ist. 3 3, x 6 := 3 9. ufgabe (Eckpunkte, Simplexalgorithmus) estimmen Sie alle Eckpunkte der folgenden Ungleichungssysteme mit Hilfe des Simplexalgorithmus. Untersuchen Sie, ob ausgeartete Ecken existieren und ob der Zulässigkeitsbereich beschränkt ist. Geben Sie im Fall der Unbeschränktheit die Kegelerzeugenden an. Starten Sie in beiden Fällen im Eckpunkt (x, x ) = (, ). a) x + x 7 x + 3x 9 x + x 3 x 5 x 4 x, x b) 3x + x x + x x 3x 3 x, x. ufgabe (Simplexalgorithmus) Ermitteln Sie die Lösungsmenge der folgenden linearen Optimierungsaufgaben mit Hilfe des Simplexalgorithmus und veranschaulichen Sie sich das Ergebnis mittels einer Graphik. erechnen und lösen Sie eines der Probleme in dualer Form. c K. Schindler SS 9

10 Lineare Optimierung (SS ) a) Z := x + 3x max bzw. Z := x 3x + 5 max u.d.n. x + x 5 x + 3x = 6 x + 6x 9 x, x b) Z := 3x + x max bzw. Z := x + x max bzw. Z 3 := 4x + 6x max u.d.n. x + 3x 6 x + 6x 3 x, x c) Z := 3x x max u.d.n. x 3x 7 x 3x 5 x + x = x, x d) Z := 5x + x min u.d.n. 3x + x 9 x + x 5 x + 8x 8 x, x. ufgabe (Simplextableau) estimmen Sie (egründung!) anhand der folgenden Simplextableaus jeweils die optimale Lösungsmenge X und den jeweils optimalen Zielfunktionswert Z des zugehörigen linearen Maximierungsproblems (a, b, c, d Ê). a) Z a b) Z b c K. Schindler SS

11 Lineare Optimierung (SS ) c) Z c d) Z d ufgabe (Zweiphasenverfahren) Verifizieren Sie den eweis des Zweiphasenverfahrens (Satz 7.4) im Skript. 3. ufgabe (Zweiphasenverfahren) Untersuchen Sie mit Hilfe des Zweiphasenverfahrens, ob der Zulässigkeitsbereich X={x Ê n + x=b} nicht leer ist und berechnen Sie ggf. eine nicht ausgeartete zulässige asislösung. a) = 3, b = b) = 5 3 3, b = 4. ufgabe (Parametrische lineare Optimierung) estimmen Sie den optimalen Zielfunktionswert Z und die optimale Lösungsmenge X des zum folgenden Simplextableau gehörenden linearen Maximierungsproblems in bhängigkeit vom Parameter t Ê und skizzieren Sie die Funktion Z (t). t c K. Schindler SS