Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am

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1 Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am Arbeitszeit: 150 min Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe 1 3 erreichbare Punkte erreichte Punkte Bitte tragen Sie Name, Vorname und Matrikelnummer auf dem Deckblatt ein,... rechnen Sie die Aufgaben auf separaten Blättern, nicht auf dem Angabeblatt,... beginnen Sie für eine neue Aufgabe immer auch eine neue Seite,... geben Sie auf jedem Blatt den Namen sowie die Matrikelnummer an,... begründen Sie Ihre Antworten ausführlich und... kreuzen Sie hier an, an welchem der folgenden Termine Sie zur mündlichen Prüfung antreten könnten: Mo., Di., Viel Erfolg!

2 1. Die folgenden Aufgaben können getrennt voneinander bearbeitet werden. 11 P. a) Gegeben ist die folgende Übertragungsfunktion: G(z) = 1z + z 39 8z z + Berechnen Sie für ein allgemeines Ω 0 die zugehörige q-übertragungsfunktion G # (q). b) Für eine Abtastzeit von T a = 1s ergibt sich die q-übertragungsfunktion P. G # (q) = Entwerfen Sie für (1) einen Regler der Form 1 + 0q q + q +. (1) R # z R (q) (q) = V R q γ (1 + qt R ) δ so, dass die konjugiert-komplexen Polstellen von G # (q) kompensiert werden. Bestimmen Sie γ, δ, T R und V R für die Vorgaben i. t r = 1s ii. ü = 7% iii. e rk =(1) k = 0 an den geschlossenen Regelkreis. Hinweis: arctan() 63 c) Gegeben ist die Impulsantwort (g k ) = (0, 1,, 3, 3,... ) eines linearen, zeitinva- P. rianten Abtastsystems mit n = 3 Zuständen. i. Bestimmen Sie die zur Eingangsfolge (u k ) = (1, 1, 0,, 0, 0,... ) zugehö- 1 P. rige Ausgangsfolge (y k ). ii. Prüfen Sie das System auf BIBO-Stabilität, Erreichbarkeit sowie Beob- 3 P. achtbarkeit. 3 P. a) G # (g) = + 80T a q T a q + T a q + 8 b) γ = 1, δ =, T R = 10, V R = c) (y k ) = (0, 1, 1, 1,,, 3, 3,... ) System nicht BIBO-stabil (Impulsantwort nicht absolut summierbar) und vollständig erreichbar und vollständig beobachtbar (Hankel-Matrix)

3 . Gegeben ist das zeitdiskrete System 8 P x k+1 = x k + 1 u k y k = [ c 1 c c 3 ] xk a) Bestimmen Sie unter welchen Bedingungen an die Parameter c 1, c, c 3 R das P. System vollständig beobachtbar ist. Hinweis: Verwenden Sie den PBH-Eigenvektortest. b) Entwerfen Sie einen Zustandsregler u k = k T x k so, dass das charakteristische P. Polynom des geschlossenen Kreises sich zu ergibt. p(λ) = λ 3 + λ + λ + 1 a) (c 0 c 1 0 c 3 R) (c 0 c 3 0 c 1 R) b) k T = 1 [ 3, 7, 7] 16 3

4 3. Betrachten Sie den in Abbildung 1 dargestellten Regelkreis. 11 P. d G d (s) r - R (s) G (s) y Abbildung 1: Einschleifiger Standardregelkreis. Die Strecke ist durch die Übertragungsfunktionen G (s) = s + 1 s 3αs, G d (s) = 1 s mit einem Parameter α R gegeben. Der Regler ist durch mit a 0, a 1, b 0, b 1 R gegeben. R (s) = a 0 + a 1 s b 0 + b 1 s a) Nehmen Sie an, dass α = 1 gilt. Berechnen Sie den Regler R (s) so, dass alle 3 P. Pole der Führungsübertragungsfunktion auf 1 liegen. b) In weiterer Folge wird wieder α R betrachtet. Bestimmen Sie den zulässi- 3 P. gen Wertebereich für α unter dem die Führungsübertragungsfunktion mit dem Regler aus Unterpunkt a) BIBO-stabil ist. Hinweise: Bitte stellen Sie eindeutig dar, welche Bedingung(en) an α zu stellen ist (sind), damit die Führungsübertragungsfunktion BIBO-stabil ist. Insbesondere können redundante Bedingungen nicht berücksichtigt werden. Falls Sie im Unterpunkt a) kein Ergebnis für R (s) erhalten haben, können Sie ersatzweise den Regler R (s) = 5+s verwenden. Dies gilt auch für die nachfolgenden 1+s Unterpunkte, bei denen R (s) benötigt wird. c) Bestimmen Sie eine Minimalrealisierung des Reglers R (s) aus Unterpunkt a). 1 P. d) Es gelte α = 1. Werden mit dem Regler aus Unterpunkt a) konstante Stö- P. rungen d(t) = d c stationär unterdrückt? Falls nicht, geben Sie die bleibende Abweichung lim t y(t) zufolge von d c an. Argumentieren Sie bezüglich der Anwendbarkeit des Grenzwertsatzes. e) Nehmen Sie an, es gilt R(s) = und α = 1. Berechnen Sie die Ausgangsgröße P. y(t) für r(t) = 0 sowie d(t) = σ(t). a) R(s) = +6s s b) α < 17 9

5 c) ẋ = u y = x + 6u d) Die Übertragungsfunktion T d,y weist das gleiche Nennerpolynom wie T r,y auf. Daher ist T d,y für α = 1 < 17 (vgl. Unterpunkt b)) BIBO-stabil. Damit darf 9 der Grenzwertsatz angewandt werden und liefert eine bleibende Abweichung lim t y(t) = d c. e) y(t) = σ(t) t t e t 5

6 . Bearbeiten Sie die nachfolgenden voneinander unabhängigen Aufgabenstellungen. 10 P. a) Abbildung zeigt die Sprungantwort eines linearen zeitinvarianten Systems. 3 P. 3 h(t) Zeit in s Abbildung : Sprungantwort h(t) eines linearen zeitinvarianten Systems. Bestimmen Sie aus den gegebenen Übertragungsfunktionen G i (s), i = 1,...,, die zu der Sprungantwort gemäß Abbildung passende und berechnen Sie weiters die Konstante c R mit c 0. Achten Sie auf eine ausreichende Begründung Ihrer Antworten. s G 1 (s) = c s + 3s + 1 s + G 3 (s) = c s + 3s + 1 s(s ) G (s) = c s + 3s + 1 s G (s) = c s s + 1 b) Die Transitionsmatrix eines linearen zeitkontinuierlichen zeitinvarianten Sy- 3 P. stems lautet ( 1 Φ(t) = e t sin ( ) ( )) t + cos t 3 e t sin ( ) t 1 e t sin ( ) ( ( ) ( )). t 1 e t sin t + cos t Bestimmen Sie die Dynamikmatrix A. Wie lauten die zugehörigen Eigenwerte? Hinweis: Benutzen Sie die Eigenschaften der Transitionsmatrix. c) Wie groß ist die stetige Winkeländerung des Polynoms 1 P. p(s) = s + 8s +? d) Gegeben ist das nichtlineare System zweiter Ordnung 3 P. ẋ 1 = x 1 (x ), ẋ = cos(x 1 ) + (x ) + u. (a) (b) i. Berechnen Sie für u R = sämtliche Ruhelagen x R = [x 1,R x,r ] T des P. Systems (). ii. Wählen Sie aus der Menge aller Ruhelagen von () eine solche mit dem 1 P. kleinsten Abstand zu x = 0. Linearisieren Sie das System um diese Ruhelage und geben Sie das resultierende lineare zeitinvariante dynamische System explizit an. Hinweis: Der Abstand r eines Zustandsvektors x = [x 1 x ] T zu x = 0 ist durch r = x 1 + x gegeben. 6

7 a) G 1 mit c = ist die passende Übertragungsfunktion, Argumentation bspw. über Analyse der Polstellen, Beurteilung der Sprungfähigkeit sowie Anfangsund Endwertsatz. b) c) arg(p(iω)) = π [ ] 0 d) i. 1.) x R = [ ± 3π.) x R = + nπ ], n Z [ ] 5 3 A = 1 3 λ 1, = ± I [ ± π 3.) x R = + nπ ], n Z [ ] π ii. Linearisierung um x R = [ ] [ ] 0 π A = 0 b = 1 1 ẋ = A x + b u x = x x R, u = u 7