Flächenaggregation LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

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1 Vorlesung Algorithmische Kartografie Flächenaggregation LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg

2 Flächenaggregation Flächennutzung Maßstab 1:

3 Flächenaggregation Flächennutzung Maßstab 1: direktes Skalieren? Flächennutzung Maßstab 1:

4 Flächenaggregation Aggregation Flächennutzung Maßstab 1: direktes Skalieren? Flächennutzung Maßstab 1:

5 Flächenaggregation Aggregation Flächennutzung Maßstab 1: direktes Skalieren Skalieren? Flächennutzung Maßstab 1:

6 Flächenaggregation Aggregation Flächennutzung Maßstab 1: direktes Skalieren? Skalieren Vereinfachen Flächennutzung Maßstab 1:

7 Flächenaggregation Aggregation Flächennutzung Maßstab 1: Qualitätskriterien? direktes Skalieren Skalieren? Vereinfachen Flächennutzung Maßstab 1:

8 Aufgabenstellung Daten: topographische Datenbank mit Flächennutzungsdaten Unterteilung der Ebene in Polygone bestimmter Nutzungskategorien z.b.: Siedlung, Gewerbe, Ackerland, Wald,... Ziel: generiere sinnvolle Karte in Maßstab 1:Z dargestellte Flächen überschreiten Mindestgröße dazu Aggregation benachbarter Flächen nötig möglichst kleine Kategorienänderungen möglichst kompakte Flächen Aggregation 3

9 Typische Heuristik Algorithmus RegionGrowing S Menge der Regionen kleiner als Mindestfläche while S do a kleinste Region in S verschmelze a mit passendstem Nachbarn update S 4

10 Typische Heuristik Algorithmus RegionGrowing S Menge der Regionen kleiner als Mindestfläche while S do a kleinste Region in S verschmelze a mit passendstem Nachbarn update S Vor- und Nachteile? 4

11 Typische Heuristik Algorithmus RegionGrowing S Menge der Regionen kleiner als Mindestfläche while S do a kleinste Region in S verschmelze a mit passendstem Nachbarn update S Vor- und Nachteile? einfach zu implementieren Mindestflächen werden eingehalten nur lokale greedy Entscheidungen wichtige Features können verschwinden keine Qualitätsgarantie für Änderung der Kategorien 4

12 Qualitätskriterien 1) Logische Konsistenz Ausgabe ist Unterteilung der Ebene Einhaltung von Mindestflächen, ggf. kategorienabhängig (z.b. Wald 40 ha für 1:250K) 5

13 Qualitätskriterien 1) Logische Konsistenz Ausgabe ist Unterteilung der Ebene Einhaltung von Mindestflächen, ggf. kategorienabhängig (z.b. Wald 40 ha für 1:250K) 2) Vollständigkeit jede Eingaberegion, die groß genug ist muss korrekt in ihrer Kategorie dargestellt sein 5

14 Qualitätskriterien 1) Logische Konsistenz Ausgabe ist Unterteilung der Ebene Einhaltung von Mindestflächen, ggf. kategorienabhängig (z.b. Wald 40 ha für 1:250K) 2) Vollständigkeit jede Eingaberegion, die groß genug ist muss korrekt in ihrer Kategorie dargestellt sein 3) Semantische Genauigkeit semantische Distanz d: Γ Γ R + 0 zwischen Kategorien minimiere d = v V w(v) d(γ(v), γ (v))/ v V w(v) 5

15 Qualitätskriterien 1) Logische Konsistenz Ausgabe ist Unterteilung der Ebene Einhaltung von Mindestflächen, ggf. kategorienabhängig (z.b. Wald 40 ha für 1:250K) 2) Vollständigkeit jede Eingaberegion, die groß genug ist muss korrekt in ihrer Kategorie dargestellt sein 3) Semantische Genauigkeit semantische Distanz d: Γ Γ R + 0 zwischen Kategorien minimiere d = v V w(v) d(γ(v), γ (v))/ v V w(v) 4) Kompaktheit aggregierte Regionen sollen möglichst kompakt sein, gemessen an einem Kompaktheitsmaß c: 2 V Γ R + 0 5

16 Formale Problemstellung AreaAggregation Geg: planarer Graph G = (V, E) mit Knotengewichten w : V R + und Knotenfärbung γ : V Γ Mindestgewicht jeder Farbe θ : Γ R + semantischer Abstand d: Γ Γ R + 0 (Nicht-)Kompaktheit c: 2 V Γ R + 0 Parameter s [0, 1] Ges: Knotenfärbung γ : V Γ und Partitionierung P = {V 1,..., V p } von V mit γ (v) = γ i für alle v V i v V i w(v) θ(γ i ) induzierter Graph G[V i ] ist zusammenhängend Knoten v V i, der seine Farbe behält, d.h. γ(v) = γ (v) 6

17 Formale Problemstellung AreaAggregation Geg: planarer Graph G = (V, E) mit Knotengewichten w : V R + und Knotenfärbung γ : V Γ Mindestgewicht jeder Farbe θ : Γ R + semantischer Abstand d: Γ Γ R + 0 (Nicht-)Kompaktheit c: 2 V Γ R + 0 Parameter s [0, 1] Ges: Knotenfärbung γ : V Γ und Partitionierung P = {V 1,..., V p } von V mit γ (v) = γ i für alle v V i v V i w(v) θ(γ i ) induzierter Graph G[V i ] ist zusammenhängend Knoten v V i, der seine Farbe behält, d.h. γ(v) = γ (v) minimiere dabei Kosten f = s f col + (1 s) f comp f col = v V w(v) d(γ(v), γ (v)) f comp = V i P c(v i, γ i ) 6

18 Kompaktheit Umfangsbasiert je kleiner der Umfang einer Region desto kompakter c p (V ) = Umfang(V ) präferiert in der Summe über P größere Regionen Alternativen wie c p /(2 πfläche) oder Fläche c p /2 π sind problematisch für lineare Optimierung 7

19 Kompaktheit Umfangsbasiert je kleiner der Umfang einer Region desto kompakter c p (V ) = Umfang(V ) präferiert in der Summe über P größere Regionen Alternativen wie c p /(2 πfläche) oder Fläche c p /2 π sind problematisch für lineare Optimierung Distanz zum Zentrum sei δ : V V R + 0 Euklidischer Abstand zwischen Schwerpunkten c d (V, k) = min{ v V w(v) δ(v, u) u V und γ(u) = k)} Flächen sammeln sich rund um Zentrum mit unverändertem Typ präferiert kleinere Regionen, jedoch beschränkt durch θ Kombination mit c p möglich 7

20 Kompaktheit Umfangsbasiert je kleiner der Umfang einer Region desto kompakter c p (V ) = Umfang(V ) präferiert in der Summe über P größere Regionen Alternativen wie c p /(2 πfläche) oder Fläche c p /2 π sind problematisch für lineare Optimierung Distanz zum Zentrum sei δ : V V R + 0 Euklidischer Abstand zwischen Schwerpunkten c d (V, k) = min{ v V w(v) δ(v, u) u V und γ(u) = k)} Flächen sammeln sich rund um Zentrum mit unverändertem Typ präferiert kleinere Regionen, jedoch beschränkt durch θ Kombination mit c p möglich nutze alternativ kürzeste Wege δ V (u, v) in G, die innerhalb V verlaufen c sp (V, k) 7

21 Komplexität [Haunert, Wolff 2010] Satz 1: Für eine gegeben Instanz von AreaAggregation und einen Wert C Z ist es NP-schwer zu entscheiden, ob eine Lösung mit Kosten C existiert, selbst wenn Γ = 2, w 1, θ für alle Farben gleich, Distanz d {0, 1} und s = 1. Beweis: Reduktion von planarem Vertex Cover (s. Tafel) 8

22 (Gemischt) Ganzzahlige Programmierung Lineare Programmierung (LP) ist ein effizientes Optimierungsverfahren für lineare Nebenbedingungen lineare Zielfunktion reellwertige Variablen 9

23 (Gemischt) Ganzzahlige Programmierung Lineare Programmierung (LP) ist ein effizientes Optimierungsverfahren für lineare Nebenbedingungen lineare Zielfunktion reellwertige Variablen Beispiel: maximiere x + 2y sodass y 0, 9x + 1, 5 y 1, 4x 1, 3 9

26 (Gemischt) Ganzzahlige Programmierung Lineare Programmierung (LP) ist ein effizientes Optimierungsverfahren für lineare Nebenbedingungen lineare Zielfunktion reellwertige Variablen Beispiel: maximiere x + 2y sodass y 0, 9x + 1, 5 y 1, 4x 1, 3 Gemischt ganzzahlige Programmierung (MIP) erlaubt binäre und ganzzahlige Variablen ist im Allg. NP-schwer liefert dennoch oft brauchbare und praktikable Lösungen in der Praxis 9

27 (Gemischt) Ganzzahlige Programmierung Lineare Programmierung (LP) ist ein effizientes Optimierungsverfahren für lineare Nebenbedingungen lineare Zielfunktion reellwertige Variablen Beispiel: maximiere x + 2y sodass y 0, 9x + 1, 5 y 1, 4x 1, 3 Gemischt ganzzahlige Programmierung (MIP) erlaubt binäre und ganzzahlige Variablen ist im Allg. NP-schwer liefert dennoch oft brauchbare und praktikable Lösungen in der Praxis 9

28 MIP A: Netzwerkfluss [Haunert, Wolff 2010] Variablen: f a [0, M] definiert den Fluss über Kante a (M = v V w(v)) F a {0, 1} mit F a = 1 falls f a > 0 b vk {0, 1} mit b vk = 1 falls γ (v) = k s v {0, 1} mit s v = 1 falls v eine Senke ist 10

29 MIP A: Netzwerkfluss [Haunert, Wolff 2010] Variablen: f a [0, M] definiert den Fluss über Kante a (M = v V w(v)) F a {0, 1} mit F a = 1 falls f a > 0 b vk {0, 1} mit b vk = 1 falls γ (v) = k s v {0, 1} mit s v = 1 falls v eine Senke ist Zielfunktion: minimiere s w(v) d(γ(v), k) b vk + (1 s) v V k Γ a=uv A δ(u, v) f a 10

30 MIP A: Netzwerkfluss [Haunert, Wolff 2010] Nebenbedingungen: M F a f a für alle a A (1) b vk = 1 für alle v V (2) k Γ b uk b vk + (F uv 1) für alle uv A, k Γ (3) b vγ(v) s v für alle v V (4) f a f a w(v) Ms v für alle v V (5) a=vu A a=vu A a=uv A f a a=uv A a=uv A f a w(v) s v θ(γ(v)) für alle v V (6) F a 1 s u für alle u V (7) 11

31 MIP A: Netzwerkfluss [Haunert, Wolff 2010] Nebenbedingungen: M F a f a für alle a A (1) b vk = 1 für alle v V (2) k Γ b uk b vk + (F uv 1) für alle uv A, k Γ (3) b vγ(v) s v für alle v V (4) f a f a w(v) Ms v für alle v V (5) a=vu A a=vu A a=uv A f a a=uv A a=uv A f a w(v) s v θ(γ(v)) für alle v V (6) F a 1 s u für alle u V (7) Wie lässt sich Vollständigkeit modellieren? 11

32 MIP B: Vorgängerrelation [Haunert, Wolff 2010] Variablen: x uv {0, 1} mit x uv = 1 gdw. Knoten v zum Zentrum u gehört 12

33 MIP B: Vorgängerrelation [Haunert, Wolff 2010] Variablen: x uv {0, 1} mit x uv = 1 gdw. Knoten v zum Zentrum u gehört Zielfunktion: minimiere s (u,v) V 2 w(v) d(γ(v), γ(u)) x uv + (1 s) (u,v) V 2 w(v) δ(u, v) x uv 12

34 MIP B: Vorgängerrelation [Haunert, Wolff 2010] Variablen: x uv {0, 1} mit x uv = 1 gdw. Knoten v zum Zentrum u gehört Zielfunktion: minimiere s (u,v) V 2 w(v) d(γ(v), γ(u)) x uv + (1 s) Nebenbedingungen: v V u V (u,v) V 2 w(v) δ(u, v) x uv x uv = 1 für alle v V (8) w(v) x uv θ(γ(u)) x uu für alle u V (9) w P r u (v) x uw x uv für alle (u, v) V 2, u v (10) 12

35 MIP B: Vorgängerrelation [Haunert, Wolff 2010] Variablen: x uv {0, 1} mit x uv = 1 gdw. Knoten v zum Zentrum u gehört Zielfunktion: Wie lässt sich Vollständigkeit modellieren? minimiere s (u,v) V 2 w(v) d(γ(v), γ(u)) x uv + (1 s) Nebenbedingungen: v V u V (u,v) V 2 w(v) δ(u, v) x uv x uv = 1 für alle v V (8) w(v) x uv θ(γ(u)) x uu für alle u V (9) w P r u (v) x uw x uv für alle (u, v) V 2, u v (10) 12

36 MIP C: Umfangskosten [Haunert, Wolff 2010] wie MIP B, aber zusätzlich Variablen: y ue [0, 1] mit y ue = 0 falls mind. ein Endpunkt von e E nicht zum Zentrum u gehört 13

37 MIP C: Umfangskosten [Haunert, Wolff 2010] wie MIP B, aber zusätzlich Variablen: y ue [0, 1] mit y ue = 0 falls mind. ein Endpunkt von e E nicht zum Zentrum u gehört Nebenbedingungen: y ue x uw y ue x uv für alle u V, e = {v, w} E (11) 13

38 MIP C: Umfangskosten [Haunert, Wolff 2010] wie MIP B, aber zusätzlich Variablen: y ue [0, 1] mit y ue = 0 falls mind. ein Endpunkt von e E nicht zum Zentrum u gehört Nebenbedingungen: y ue x uw y ue x uv für alle u V, e = {v, w} E (11) Zielfunktion: minimiere s (u,v) V 2 w(v) d(γ(v), γ(u)) x uv (1 s) 2 wobei λ: E R + die Kantenlängen angibt u V e E λ(e) y ue 13

39 Evaluation Visueller Eindruck: Eingabe Region Growing Semantik Semantik + Kompaktheit 14

40 Evaluation Visueller Eindruck: Eingabe Region Growing Semantik Semantik + Kompaktheit 14

41 Evaluation Performance: MIP A: recht langsam, selbst für kleinere Instanzen MIP B/C: deutlich schneller, aber erst durch zusätzliche Heuristiken werden realistische Instanzgrößen erreicht aus [Haunert, Wolff 2010] 15