Condorcet-Paradox (der sozialen Entscheidung mit einfacher Mehrheit)

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1 1 - wipo doc Condorcet-Paradox (der sozialen Entscheidung mit einfacher Mehrheit) Problem: Wenn mindestens drei Personen unter mindestens drei Optionen auszuwählen haben, dann ist es möglich, daß keine Option die absolute Mehrheit bekommt, kann die einfache Mehrheit zu Minderheits-Siegen führen (34% reichen). Idee: Paarweise Abstimmung (stellt bei Individualentscheidung Rationalität sicher) Axiome der individuellen Rationalität: Transitivität, Reflexivität, Vollständigkeit Neues Problem: Nun sind zyklische Mehrheiten möglich.

2 Beispiel mit 3 Akteuren {i;ii;iii} u. 3 Optionen {A;B;C} Für Akteur i ii iii ist die beste Option (Nutzen 3) A C B die mittlere (Nutzen 2) B A C die schlechteste (Nutzen 1) C B A Paarweise Abstimmung: 1) A-B: A gewinnt, tritt gegen C an => A-C: C gewinnt endgültig. (Aber B-C: B gewinnt). 2) B-C: B gewinnt, tritt gegen A an => A-B: A gewinnt endgültig. (Aber C-A: C gewinnt). => soziale Entscheidung hängt von Agenda ab. => kollektive Präferenzen unter dieser Aggregationsregel sind nicht transitiv; es gilt A > B > C > A (zyklisch) 2 - wipo doc

3 3 - wipo doc Dieses Ergebnis (zyklische soziale Präferenzen) kommt nur vor, wenn es Teilnehmer gibt, die mehrgipflige individuelle Präferenzen haben, die nicht durch Umsortieren der (nominal skalierten) Optionen beseitigt werden können. Wenn dagegen eine Sortierung der Optionen existiert, bei der alle Teilnehmer eingipflige Präferenzen haben, gibt es keine Abstimmungszyklen. (vgl. Grafik im Weimann 5.3) Die Aggregationsregel Paarweise Abstimmung verhindert für den Fall mehrgipfliger individueller Präferenzen also nicht die Agenda-Abhängigkeit bzw. Nicht-Transititvität sozialer Präferenzen. Gibt es überhaupt eine Aggregationsregel, welche die Rationalität sozialer Präferenzen sicherstellt? => Arrows Unmöglichkeitstheorem

4 4 - wipo doc Arrows Unmöglichkeitstheorem / Diktatortheorem Fünf wünschenswerte Axiome für die Aggregation individueller Präferenzen zu kollektiven Entscheidungen ( kollektive Rationalität ): 1. Pareto-Effizienz: Wenn eine Option existiert, die von allen Individuen vorgezogen wird, dann sollte auch die kollektive Entscheidung diese Option der anderen vorziehen. 2. Transititvität: Die kollektive Entscheidung sollte transitiv sein. 3. Kein Ausschluß von Präferenzen: Keine mögliche individuelle Präferenzordnung ist ausgeschlossen. 4. Unabhängigkeit von irrelevanten Optionen: Kollektive Entscheidung zwischen Optionen x und y soll nur von den individuellen Reihung von x und y abhängen, aber nicht von den individuellen Reihungen von x und z (bzw. y und z). 5. Keine Diktatur (non-dictatorship): Kollektive Entscheidung soll nicht nur von den Präferenzen eines Akteurs abhängen. Weimann 5.5.3: Diskussion der einzelnen Axiome

5 5 - wipo doc Arrow-Paradox: Die einzige Aggregationsregel, die Axiome 1-4 erfüllt, ist die Diktatur. Unmöglichkeitstheorem: Keine Aggregationsregel erfüllt Axiome 1-5. Das Arrow-Paradox wirft aus Sicht des methodologischen Individualismus ein Problem auf: Organisationen sind Spiele (interaktive Entscheidungsprobleme), Organisationsverhalten sind Gleichgewichte dieser Spiele, aber keine Aggregationsvorschrift stellt Rationalität sicher. => können Organisationen als rationale Entscheider angesehen werden?

6 6 - wipo doc Paradox of voting (warum gehen Menschen wählen?) N = Zahl aller Wähler n = die Zahl der Wähler, die wirklich zur Wahl gehen p(n) = die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Stimme entscheidend ist (p fällt in n). C = Kosten der Teilnahme G = Nutzen aus einem positiven Wahlausgang (mit G>C>0). Dann gilt: Teilnahme lohnt sich, wenn p(n)g - C > 0 <=> p(n) > C/G Fall 1: Gilt p(n)>c/g, dann ist n=n ein Gleichgewicht (alle Wähler gehen wählen). Genauer: die Wahrscheinlichkeit, Teilnahme zu wählen, ist eins.

7 7 - wipo doc Fall 1: p(n)> C/G => n*=n Fall 2: p(n)<c/g => n*=p -1 (C/G) p(n) P(N) C/G p(n) Wähler N n n* Wähler N n

8 8 - wipo doc Fall 2: Gilt dagegen p(n)<c/g, dann hat das Spiel kein Nash-GG in reinen Strategien. Aber es existiert ein Wert n* mit p(n*)=c/g <=> n*=p -1 (G/C). Und es existiert ein Nash-GG in gemischten Strategien mit prob(teilnehmen)=n*/n Wenn jeder der homogenen Bürger diese Strategie wählt, sind alle indifferent zwischen den reinen Strategien teilnehmen und nicht teilnehmen. Komparative Statik: n* ist um so kleiner, je niedriger p(n) oder G, je höher C. Je größer N, desto eher liegt der Fall 2 vor. Interpretation: Das Modell kann niedrige positive Wahlbeteiligung erklären, obwohl alle Bürger an Ausgang der Wahl Interesse haben (G>0) und Kosten der Beteiligung gering sind (G>C>0).