Klausur Algorithmen und Datenstrukturen I WS 05/06

Transkript

1 FH Braunschweig/Wolfenbüttel Fachbereich Informatik Prof. Dr. R. Rüdiger Wolfenbüttel, den 10. Januar 2006 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen I WS 05/06 Hinweise: Es sind beliebige schriftliche Unterlagen als Hilfsmittel zugelassen, jedoch keine Rechner, auch keine Taschenrechner (generell keine Elektronik ). Die Klausur besteht aus 4 Aufgaben. Tragen Sie Ihre Ergebnisse auf den ersten beiden Blättern ein. Die Anzahl der vorgedruckten Kästchen muß nicht unbedingt gleich der Zahl der einzutragenden Ergebnisse sein. Name: Vorname: Mat.-Nr.: Freiversuch (F0) oder F1/F2/F3-Prüfung? bitte ankreuzen: F0 F1 F2 F3 erreichte Punktzahl/Note: WICHTIG: Entscheidend für die Bewertung sind die Ergebnisse, die Sie auf den ersten beiden Blättern eingetragen haben. Geben Sie aber bitte alle Blätter mit ab, die Ihre Vorüberlegungen und Zwischenergebnisse zeigen (jedes Blatt mit Namen, Vornamen und Matrikelnummer versehen). Ihre Ergebnisse Aufgabe 1 (Punktzahl: 6/24) b) Ausgabe für n = 3: a) Ausgabe für n = 2: c) Anzahl der Zeilen bei n = 11: d) Komplexität: T (n) = O(......)

2 Aufgabe 2 (Punktzahl: 7/24) a) Die 3 B-Bäume: hier nur die sauber gezeichneten Endergebnisse eintragen: 1. bitte hier ankreuzen, falls die B-Baum- Variante bis SS 05 zugrundegelegt wird b) Fragen zu dem durch Algorithm2 1 / Algorithm2 2 dargestellten Algorithmus: b 1 ) b 2 ) Ausgabe (je eine Zeile pro B-Baumknoten):

3 Aufgabe 3 (Punktzahl: 7/24) Nur die ersten 8 Wertepaare i, j sind gesucht; die erste Zeile ist bereits korrekt eingetragen: i j 1 5 Aufgabe 4 (Punktzahl: 4/24) a) (Prägnanz und Kürze der Antwort werden mitbewertet) b) Ausgabe der Variante 1 bei Start mit den Werten a = 3, n = 5: n x p Aufgabe 1 Die Aufgaben (Punktzahl: 6/24) Analysieren Sie den im folgenden abgedruckten Algorithmus, und beantworten Sie dann die Fragen. Algorithm1(n) 1 code {} Initialisierung mit der leeren Menge 2 while code {1, 2,..., n} 3 do for i 1 to n 4 do if i code 5 then Print( ) hier: Ausgabe ohne Zeilenvorschub (analog zu System.out.print(... )) 6 else Print( ) entsprechend 7 Print(newline) hier: neue Zeile (analog zu System.out.println()) 8 i n 9 while i > 1 and i code 10 do code code {i} 11 i i 1 12 code code {i} 13 for i 1 to n 14 do Print( ) wie oben 15 Print(newline) hier: neue Zeile Erläuterungen: code ist eine Variable, deren Werte Teilmengen der Menge {1, 2,..., n} sind. Die Operation in Zeile 10 ist das Mengenminus: aus code wird das Element i entfernt, falls vorhanden. Entsprechend wird in Zeile 12 das Element i zu code hinzugefügt, alles entsprechend den Regeln der elementaren Mengenlehre. a) Was ist die Ausgabe bei Start mit Parameter n = 2... b)... und entsprechend für Parameter n = 3? c) Wieviele Zeilen schreibt der Algorithmus für n = 11? d) Welches ist die Komplexität des Algorithmus, wenn man die geschriebene Zeilenzahl T (n) als Komplexitätsmass zugrundelegt, d. h. also, eine neue Zeile (newline) gilt als 1 Schritt? Im Pseudo-Code stehen Zeilenvorschübe in den Zeilen 7 und 15.

4 Aufgabe 2 (Punktzahl: 7/24) a) Es sollen sukzessive die in der Tabelle abgedruckten Werte (in der Reihenfolge 12, 13, 11, 10, 20,..., 23, 7) in einen B-Baum mit dem minimum degree t = 2 eingefügt werden: (!) (!) (!) Gesucht sind die drei Zustände des B-Baums an den durch (!) markierten Stellen, wie sie während des Einfügens auftreten. Die drei B-Bäume sollen graphisch dargestellt werden, nicht in Tabellenform. Hinweis für Wiederholer: Sie können dieser Teilaufgabe a) auch die früher (bis zum SS 05) verwendete Variante der B-Bäume zugrundelegen. In dem Fall ist der kennzeichnende Parameter der B-Bäume die Ordnung n, konkret in dieser Aufgabe n = 1. Kreuzen Sie bitte vorne an, falls Sie sich für diese Möglichkeit entschieden haben. Kein Kreuz bedeutet automatisch B-Baum-Definition ab WS 05/06 (also die Definition aus dem Buch CLRS). Ein Mischen beider Varianten wird als Fehler gewertet. Für Teilaufgabe b) sind die Unterschiede in den Definitionen belanglos. b) Die folgenden Algorithmen realisieren eine Operation auf B-Bäumen. Algorithm2 1 (T ) 1 Algorithm2 2 (root[t ]) Algorithm2 2 (x) 1 if not leaf [x] 2 then for i 1 to n[x] do Algorithm2 2 (c i [x]) 4 Print(x) Zur Erläuterung: Alle Attribute, die hier im Zusammenhang mit B-Bäumen verwendet werden, sind so bezeichnet wie in der Vorlesung und damit auch im Skript. Zur Erinnerung im Einzelnen: Der Algorithmus Algorithm2 1 wird auf den B-Baum T angewandt und aktiviert seinerseits den Algorithmus Algorithm2 2 mit Parameter root[t ]. Der Parameter x ist demnach vom Typ (Referenz auf) B-Baum-Knoten. leaf [x] ist eine boolesche Variable: ist x ein Blatt? n[x] ist die Anzahl der Schlüssel, die in x gespeichert sind, c i [x] sind die n[x]+1 Referenzen (Zeiger) auf die Kindknoten von x. Print(x) druckt die Schlüsselwerte von x aus. Die Fragen: b 1 ) Wie nennt man diese Art von Operation auf Bäumen, die durch die obigen Algorithmen dargestellt wird? b 2 ) Was ergibt sich bei Anwendung auf den hier abgedruckten B-Baum? (Einrückungen entsprechend der Rekursionstiefe sollen hier nicht berücksichtigt werden.)

5 Aufgabe 3 qsort(a, l, r) 1 x a[ (l + r)/2 ] 2 i l 3 j r 4 showstate 5 repeat while a[i] < x 6 do i i while x < a[j] 8 do j j 1 9 showstate 10 if i j 11 then exchange a[i] a[j] 12 i i j j 1 14 showstate 15 until i > j 16 if l < j 17 then qsort(a, l, j) 18 if i < r 19 then qsort(a, i, r) (Punktzahl: 7/24) Gegeben sei ein Array a, das belegt ist mit den Werten 1, 12, 9, 3, 11. Geben Sie die ersten 8 Zwischenzustände an, die beim Sortieren dieses Arrays mittels Quicksort in den Zeilen 4, 9 und 14 auftreten. Konkret gesucht als Zustände sind hier nur die jeweiligen (lokalen) Werte von i und j. Ein (richtiger) Beispieleintrag steht bereits in der vorne abgedruckten Tabelle. Array-Komponenten werden hier ab 1 gezählt. Hinweis: Die Angabe der Zustände muß sich natürlich strikt an die Vorgaben halten; das kann auch bedeuten, dass zwei aufeinanderfolgende der vorne einzutragenden Zeilen gleich sind. Man darf dann natürlich trotzdem nicht eine der Zeilen auslassen. Aufgabe 4 Die zwei im folgenden abgedruckten Algorithmen berechnen eine Funktion. (Punktzahl: 4/24) Algorithm4 1 (a, n) 1 p a 2 if n mod then x a 4 else x 1 5 n n/2 6 Print(n, x, p) 7 while n > 0 8 do p p 2 9 if n mod then x x p 11 n n/2 12 Print(n, x, p) 13 return x Algorithm4 2 (a, n) 1 p a 2 x 1 3 while n > 0 4 do if n mod then x x p 6 n n/2 7 p p 2 8 return x a) Die Ausgabe mit Print in der linken Variante 1 soll hier zunächst nicht beachtet werden. Diese Variante ist offenbar auch ohne dieses Print länger als die rechte Variante 2, was man als Nachteil ansehen kann. Hat die Variante 1 gegenüber 2 auch einen Vorteil? Wenn Ja, welchen? b) Was gibt die Variante 1 aus bei Start des Algorithmus mit a = 3, n = 5 jetzt unter Berücksichtigung von Print in den Zeilen 6 und 12?