, 5;8 7,6 8;15;21 4/2,3/1,4 2; 4 3;15 7;7 3,2;3; 32 5,6,7 ; 8,2,1

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Transkript

1 Mathematik (BG27)

2 2

3 3

4 { Objekt} { Menge } { Element } { } Reihenfolge spielt keine Rolle Unterscheidbarkeit der Objekte (redundanzfrei) 4

5 Objekt, 58 7,6 Beschreibung /2,3/1, , ,6,7 8,2,1 5

6 Bei der Definition einer Menge mittels deren Eigenschaften, muss im ersten Teil stets der Bereich gewählt werden, der als Basis (Welt) verwendet werden soll. Dieser ist so klein als möglich zu definieren. Anschließend erfolgt die Beschreibung einer Bedingung, durch die die Zahlen der Lösungsmenge aus der Welt herausgefiltert werden können. { x Grundmenge Formel( a) Formel( b) } M = = Menge Welt Bedingung Menge: Welt: Bedingung: Großbuchstabe für die Lösungsmenge Variablendefinition aus der Grundmenge Mathematische Formel bzw. verbaler Ausdruck 7

7 1) Aufzählung: Die einzelnen Objekte werden innerhalb der Menge aufgeführt, wobei Platzhalter in Form von... dargestellt werden. 2) Einschluss: Basierend auf einer beliebigen Ausgangsmenge wird ein Gesetz definiert, das die enthaltenden Objekte beschreibt. 3) Ausschluss: Aus einer Grundzahlenmenge werden die Objekte definiert, die nicht enthalten sein dürfen. Beispiel: 1 ) G Ν = { } { x Ν x mod 2 0} 2 ) G = = Ν Mengen der geraden, natürlichen Zahlen { x Ν x mod 2 0} 3 ) G = x Ν \ <> Ν 8

8 4) Vennsches Diagramm: Es werden die existierenden Mengen mittels Kreise in die Welt (Kasten) eingetragen. B A Ω C Die dadurch entstehenden Untermengen sind: Vereinigungsmenge (ODER-Verknüpfung) Schnittmenge (UND-Verknüpfung) 9

9 Die Modulo-Funktion entspricht einem Restwertoperator, d.h. bei einer ganzzahligen Division wird der Rest als Ergebnis dargestellt. Beispiel: X mody = Zähler Nenner (Divisor) Restwert 5 mod 2 = 1, denn 5 2 = 2 Rest 1 23 mod 5 = 3, denn 23 5 = 4 Rest 3 R Teilbarkeit: Restwert muss 0 ergeben x mod 7 = 0 x mod 2 <> 0 x ist teilbar durch 7 x ist nicht durch 2 teilbar (ungerade Zahl) 10

10 N Natürliche Zahlen { } Z Ganze Zahlen { } Q a Rationale Zahlen a Z b Z \ { 0} b Endliche Nachkommastellen, Periode R Reelle Zahlen { } π e 2... Unendliche Nachkommastellen C Komplexe Zahlen z = a + b i i = 1 11

11 Lösen Sie die folgenden Übungen, in dem Sie je einmal die Mengen via Aufzählung und einmal mittels Eigenschaften definieren. 1) Beschreiben Sie alle natürlichen Zahlen, die durch drei teilbar und kleiner 42 sind. 2) Definieren Sie ganzen Zahlen im Bereich von -22 bis 22, die durch zwei oder durch 7 teilbar sind. 3) Geben Sie die natürlichen Zahlen an, die größer 100 bzw. kleiner als 30 sind und nicht durch fünf dafür aber durch 6 teilbar sind. 4) Nennen Sie alle ganzen Zahlen zwischen -4 und 12, die weder durch 2 noch durch 3 teilbar sind. 5) Welche natürlichen Zahlen größer als 44 sind durch 5 und auch durch 3 aber nicht durch 6 teilbar sind. Vorkurs - 12

12 Junktoren entsprechen Verbindungen / Operatoren die beliebige Objekte miteinander verknüpfen können (Artithmetik: +, -, *, : ). ( ) UND A B : Das Objekt der Lösung gehört gleichzeitig zu den Menge A und B. (Durchschnitt) Beispiel: Primzahl gerade, natürliche Zahl = 2 ( ) { } ODER A B : Das Objekt der Lösung gehört zur Menge A oder B oder zu A und B. (Vereinigung) Beispiel: ungerade Zahl gerade, natürliche Zahl = Ν ( ) NICHT A \ B : Das Objekt der Lösung gehört zur Menge A aber nicht zu B. (Differenz) Beispiel: natürliche Zahl \ gerade, natürliche Zahl = ungerade Zahl 13

13 1) Gegeben sind die folgenden Mengen: A = Berechnen Sie: A B C B C \ A ( ) { } B = { 123 } C = { 2357 } ( A B) ( C A) A \ ( B C) 3) 2) Über die Anzahl n der Elemente in der Untermenge A, B und C einer Menge mit 200 Elementen ist folgendes bekannt: n( A) = 70 n ( B) = 120 n ( C) = 90 n( A B) = 50 n( A C) = 30 n B C = n( A B C) = 20 Wie groß ist die Anzahl der Elemente in den folgenden Mengen? n A B n( A B C) n A B C n A B C ( ) ( ) ( ) ( ) 40 4) 14

14 Kommutativgesetz: A B = B A A B = B A Assoziativgesetz: A ( B C) = ( A B) C A ( B C) = ( A B) C Distributivgesetz: A ( B C) = ( A B) ( A C) A ( B C) = ( A B) ( A C) De Morgan: Komplement: A B = A B A B = A B A A = { } A A = Ω Absorption: A ( A B) = A A ( A B) = A Zusammenhänge zwischen A { } Ω : A A = A A Ω = A A { } = { } : A A = A A Ω = Ω A { } = A Neutrales Objekt: A Ω = A A { } = A 15

15 Beweisen Sie die folgenden Ausdrücke unter Benennung aller angewandten Gesetze 1) Das Absorptionsgesetz A ( A B) = A 2) Das De Morgangesetz A B = A B mittels Komplement 3) Vereinfachen Sie die Robbinsgleichung: A B A B 16

16 Sofern die Ausgangsmenge ein Teil oder komplett innerhalb einer weiteren Menge vorhanden ist, so spricht man von einer Teilmengenbeziehung bzw. von einer Inklusion. Methodik: 1) Streichen der Mengenklammer bei der Ausgangsmenge 2) Jedes Objekt muss bzgl. Wert und Format in der 2. Menge auftauchen { a} Alphabet a Alphabet Eigenschaften: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge { } A reflexiv: Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst A A transitiv: logische Schlussfolgerungen sind zugelassen A B B C A antisymmentrie: Beweisprinzip der Extensionalität A B B A A = B C 17

17 Ω Symmetrie: Zu jedem Punkt gehört ein Spiegelpunkt. Asymmetrie: Zu keinem Punkt existiert ein Spiegelpunkt. Antisymmetrie: Zu keinem Punkt existiert ein Spiegelpunkt aber mindestens ein Punkt auf der Spiegelachse. Sind mehrere Symmetrievarianten vorhanden, so kann keinerlei Aussage über das Symmetrieverhalten getroffen werden. 18

18 Man spricht von einer Klasseneinteilung, sofern sicher gestellt werden kann, dass jedem Objekt aus der definierten Welt einer Klasse (Untermenge) zugeordnet werden kann. UND-Verknüpfung: Die UND-Verbindung zwischen jeder Klasse muss jeweils die leer Menge als Lösung haben. Man spricht dann von disjunkten Mengen. ODER-Verknüpfung: Die ODER-Verbindung zwischen allen Klassen muss zu einer Menge führen, die alle Objekte der definierten Ausgangsmenge enthält. Beispiel: UND-Verknüpfung: ODER-Verknüpfung: Alphabet Konsonat Vokal Konsonat Vokal = = { } Alphabet 19

19 Eine Potenzmenge ist eine Ansammlung von allen möglichen Teilmenge basierend auf einer beliebigen Menge A. Da jedes Objekt der Ausgangsmenge zwei Möglichkeiten besitzt, nämlich zu der Teilmenge zu gehören oder nicht, besteht jede Potenzmenge aus Untermengen. n 2 Die Teilmengen existieren von der Länge Null (leere Menge) bis zu der Länge n (Anzahl der Objekte in der Ausgangsmenge). Beispiel: { } d c b a A = ( ) { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } = d c b a d c b d c a d b a c b a d c d b c b d a c a b a d c b a A P = = n Untermengen WS 2017/18 20 Torsten Schreiber

20 Das kartesische Produkt wird mittels Kreuzprodukt aus beliebigen Mengen gebildet, wobei jedes Objekt der linken Menge mit jedem weitern Objekt übrigen Mengen kombiniert wird. ( ) Als Ergebnis entsteht ein n-dimensionales Tupel X = x x, x,...,. 1, 2 3 Die entstehende geordnete Punktmenge ist nicht kommutativ. Der Euklidische Vektorraum lässt sich als kartesische Produkt somit wie folgt 3 R = Rx RxR = x, x, x darstellen: ( ) Beispiel: A = { a b c} B = { 12 } AxB = {( a, 1 ) ( a,2 ) ( b,1 ) ( b,2 ) ( c,1 ) ( c,2 )} BxA = {( 1, a) ( 1, b) ( 1, c) ( 2, a) ( 2, b) ( 2, c) } x n 21

21 1) 2) 3) { { } { } Gegeben sei die Menge A = 42 x y,. Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch (Begründung)? a) x A b) { x y} A c) 42 d) { 42} A e)42 A { } A ) g) { } A h) { } A i) { } A j) { 4} A f 42 A Welche der folgenden Aussagen über eine Potenzmenge P A und einer Menge A sind wahr bzw. falsch (Begründung)? a e ( ) ) A P( A) b) A P( A) c) { } P( A) d) { } P( A) ){ A} P( A) f ){ A} P( A) g) { } P( A) h) { } P( A) { } Bilden Sie die Potenzmenge basierend auf der Menge A = π. 22

22 4) { } { } { } Gegeben sei die Menge A = a Welche der folgenden Untermengen sind Zerlegungen von A (Begründung)? a ){ a} { 13 } { } { 5 } b ){ a} { 13 } { } { 5 { 5 } c) { a { 13 } { } { 5 { 5 } d ){ a} { 13 } { } { 5 } { 5 } e) { 5 a { 13 } { } { 5 } 5) { } = { } { } Gegeben sei die Menge A = α β ε, B I V und die Menge C = x y. a) Bilden Sie das kartesische Produkt AxBxC. b) Bilden Sie das Kreuzprodukt aus AxB sowie aus CxA (grafische Darstellung). 6) Ermitteln Sie die gefragten Lösungsmengen aufgrund des gegebenen Venn schen Diagramms. a) A C b) c) A \ ( B C) ( A C) ( B C) ( A B) C ( A B) \ ( A C) ( C A) ( B C) d ) \ e) f ) A C B 23

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