Woche 2: Zufallsvariablen

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1 Woche 2: Zufallsvariablen Patric Müller ETHZ WBL 19/21, Wahrscheinlichkeit und Statistik Patric Müller WBL 2019

2 Teil III Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit und Statistik 2 / 16 WBL 2019

3 Lernziele Sie können die Definition einer Zufallsvariablen nennen und an Beispielen erläutern.... aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung die zugehörige kumulative Verteilungsfunktion berechnen und umgekehrt.... Erwartungswert und Varianz einer diskreten Zufallsvariable berechnen. Vorlesung basiert auf Kapitel 2.5 und 2.7 im Skript. Wahrscheinlichkeit und Statistik 3 / 16 WBL 2019

4 Zufallsvariable: Beispiel Eine Zufallsvariable ist eine Variable, die numerische Werte annimmt, die vom Ausgang eines Zufallsexperiments abhängen. Beispiele: Zufallsexperiment: Eine Jasskarte ziehen * Zufallsvariable: Wert der gezogenen Jasskarte Karte Wert Karte Wert Sechs 0 Bube 2 Sieben 0 Dame 3 Acht 0 König 4 Neun 0 Ass 11 Zehn 10 Zufallsexperiment: Würfeln zweier Würfel * Zufallsvariable: Y = Augensumme Wahrscheinlichkeit und Statistik 4 / 16 WBL 2019

5 Zufallsvariable: Definition Formale Definition der Zufallsvariablen: Definition Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion, die einen Grundraum Ω nach R abbildet: X : Ω R. Notation: Einen Zufallsvariable wird durch einen Grossbuchstaben (z.b. X ) dargestellt; der gleiche Kleinbuchstabe (z.b. x) bezeichnet einen möglichen Wert, den die Zufallsvariable annehmen kann. Das Ereignis {X = x} besteht aus allen Elementarereignissen dessen Wert x ist, d.h. {ω Ω : X (ω) = x}. Beispiel (Wert von Jasskarten): {X = 11} enthält die Elementarereignisse A, A, A, A. {X = 0} enthält die 16 Elementarereignisse Sechs Neun. Wahrscheinlichkeit und Statistik 5 / 16 WBL 2019

6 Verteilung einer Zufallsvariablen I X : Ω R sei eine Zufallsvariable. Wenn Ω diskret ist, kann auch X nur endlich (oder abzählbar) viele Werte annehmen wir können die möglichen Werte auflisten: x 1, x 2, x 3,... Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert x angenommen wird: P(X = x) = P(ω) Beispiel Jasskarten: ω Ω:X (ω)=x P(X = 11) = P( Ass ) = 4 36 = 1 9 P(X = 0) = P( Sechs Neun ) = = 4 9 Beispiel zwei Würfel: P(Y = 3) = P ( (1, 2) ) + P ( (2, 1) ) = 2 36 = 1 18 Wahrscheinlichkeit und Statistik 6 / 16 WBL 2019

7 Verteilung einer Zufallsvariablen II Die Liste der Wahrscheinlichkeiten P(X = x i ) für alle möglichen Werte x 1, x 2,... heisst Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X. Beispiel Jasskarten: x P(X = x) 4/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 Visualisierung: P(X = x) x Wahrscheinlichkeit und Statistik 7 / 16 WBL 2019

8 Kumulative Verteilungsfunktion Statt via Wahrscheinlichkeitsverteilung kann eine Zufallsvariable auch via kumulative Verteilungsfunktion beschrieben werden: Definition Die kumulative Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist die Funktion F X (x) = P(X x). Eigenschaften: F X wächst monoton lim x F X (x) = 0, lim x F X (x) = 1 P(a < X b) = F X (b) F X (a) Wahrscheinlichkeit und Statistik 8 / 16 WBL 2019

9 Kumulative Verteilungsfunktion: Beispiel Jass Die kumulative Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X, Wert einer gezogenen Jasskarte springt genau an den Stellen, die X annehmen kann: P(X = x) x F X (x) x Wahrscheinlichkeit und Statistik 9 / 16 WBL 2019

10 Erwartungswert Definition (Erwartungswert) Eine diskrete Zufallsvariable X kann die Werte x 1, x 2,... annehmen. Der Erwartungswert von X ist dann definiert als E X (X ) = E(X ) = x i P(X = x i ). i=1,2,... Oft benutzt man auch die Notation E(X ). Der Erwartungswert entspricht dem theoretische Durchschnittswert der Zufallsvariable. Beispiel Jasskarten: E(X ) = = 10 3 Im Schnitt hat eine Jasskarte den Wert Bemerkung: E(X ) ist eine fixe Zahl (nicht zufällig). Wahrscheinlichkeit und Statistik 10 / 16 WBL 2019

11 Varianz und Standardabweichung Definition (Varianz und Standardabweichung) Die Varianz einer Zufallsvariablen X ist definiert als Var(X ) = E X ( (X E X (X )) 2) Die Standardabweichung ist die Wurzel daraus: σ(x ) = Var(X ) In Worten: die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert. Varianz und Standardabweichung messen die Breite der Verteilung einer Zufallsvariablen. Bei Zufallsvariablen mit physikalischen Einheiten hat die Standardabweichung dieselbe Einheit wie die Zufallsvariable selbst, im Unterschied zur Varianz. Wahrscheinlichkeit und Statistik 11 / 16 WBL 2019

12 Berechnung der Varianz Eine diskrete Zufallsvariable X kann die Werte x 1, x 2,... annehmen. Ihre Varianz berechnet man dann nach der Formel: Var(X ) = (x i E(X )) 2 P(X = x i ). i=1,2,... Alternativ kann die Identität Var(X ) = E(X 2 ) E(X ) 2 verwendet werden, die die Berechnung oft einfacher macht. Was ist der Unterschied zwischen E(X 2 ) und E(X ) 2? Wie berechnet man die beiden Grössen? Wahrscheinlichkeit und Statistik 12 / 16 WBL 2019

13 Varianz und Standardabweichung: Beispiel X : Wert einer zufällig gezogenen Jasskarte ( ) 2 ( ) 2 ( Var(X ) = ( ) 2 ( ) 2 ( σ(x ) = Var(X ) = ) = 50 3 ) Was ist der Erwartungswert und die Varianz der Augensumme zweier Würfel? Wahrscheinlichkeit und Statistik 13 / 16 WBL 2019

14 Unabhängige Kopien einer Zufallsvariable Definition Sei X eine Zufallsvariable. X 1,..., X n sind unabhängige Kopien von X, falls sie unabhängig sind und dieselbe Verteilung wie X haben. Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig, falls jedes Ereignis der ersten Zufallsvariable unabhängig von jedem Ereignis der zweiten Zufallsvariable ist, d.h. A, B R, P(X 1 A X 2 B) = P(X 1 A) P(X 2 B)) Beispiel: Sei X die Zufallsvariable, die zum Zufallsexperiment Würfeln eines Würfels die Augenzahl assoziert. Seien X 1, X 2 unabhängige Kopien von X. X 1 + X 2 ist eine neue Zufallsvariable, die zum Zufallsexperiment man würfelt zwei Würfel die erhaltene Augensumme assoziert. Welche Aussagen können wir über E(X 1 + X 2 ) und Var(X 1 + X 2 ) machen? Wahrscheinlichkeit und Statistik 14 / 16 WBL 2019

15 Summe, Erwartungswert und Varianz Theorem Seien X 1,..., X n unabhängige Kopien von X, dann gilt: E(X X n ) = E(X 1 ) E(X n ) = ne(x ) Var(X X n ) = Var(X 1 ) Var(X n ) = n Var(X ) Wie kann man schnell die Erwartung und die Varianz der Augensumme zweier / n Würfel bestimmen? Wahrscheinlichkeit und Statistik 15 / 16 WBL 2019

16 Bemerkung: X 1 + X 2 2X Bemerkung: Man bemerke, dass obwohl X 1 und X 2 identische Kopien von X sind, die Summe der zwei Kopien nicht das Zweifache der Zufallsvariablen ist, d.h. X 1 + X 2 2X Beispiel: X ist die Augensumme eines Würfels X 1 + X 2 ist die Augensumme zweier Würfel. Die Funktionswerte sind {2, 3,..., 11, 12} 2X bedeutet das Würfelergebnis zu verdoppeln. Die Funktionswerte sind {2, 4, 6, 8, 10, 12} Bemerkung: E(X 1 + X 2 ) = 2E(X ) = E(2X ) Var(X 1 + X 2 ) = 2 Var(X ) Var(2X ) = 4 Var(X ) Wahrscheinlichkeit und Statistik 16 / 16 WBL 2019