Mathematik Berufskolleg zur Erlangung der Fachhochschulreife

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1 Mathematik Berufskolleg zur Erlangung der Fachhochschulreife INHALTSVERZEICHNIS. GRUNDLAGEN. DAS KOORDINATENSYSTEM. DARSTELLUNG VON GERADEN. SEITENVERHÄLTNISSE IM RECHTWINKLIGEN DREIECK 4. WEITERE GERADENGLEICHUNGEN 5. STEIGUNG 6. SEITENMITTE 7. SCHNITTPUNKTE VON GERADEN 8. ORTHOGONALITÄTSBESTIMMUNG. PARABELN. QUADRATISCHE FUNKTIONEN. SCHEITELFORM. FAKTORFORM 4. BESTIMMUNG DER NULLSTELLEN VON PARABELN 5. BESTIMMUNG VON PARABELGLEICHUNGEN 6. BESTIMMUNG VON STEIGUNGEN 7. REGELN ZUR BESTIMMUNG DER ABLEITUNG 8. FAQ. GANZRATIONALE FUNKTIONEN. BESTIMMUNG VON NULLSTELLEN. BESTIMMUNG VON EXTREMPUNKTEN. BESTIMMUNG VON WENDEPUNKTEN 4. BESTIMMEN VON FUNKTIONSGLEICHUNGEN 5. TANGENTEN VON EINEM PUNKT AUS AN EINE FUNKTION LEGEN 6. DAS NEWTONSCHE NÄHERUNGSVERFAHREN 7. ELIMINATIONSVERFAHREN NACH GAUSS ZUR BERECHNUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 8. EXTREMWERTPROBLEME 4. INTEGRALRECHNUNG. STAMMFUNKTION. BERECHNUNG VON FLÄCHENINHALTEN DURCH INTEGRATION 5. EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN. RECHNEN MIT POTENZEN UND WURZELN. LOGARITHMUSFUNKTIONEN. RECHNEN MIT LOGARITHMEN 4. DIE NATÜRLICHE EXPONENTIALFUNKTION 5. DIE NATÜRLICHE LOGARITHMUSFUNKTION

2 INHALTSVERZEICHNIS 6. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN. DAS BOGENMASS. DIE SINUSFUNKTION. ABLEITUNGEN 4. DIE 'REINE' SINUSFUNKTION 7. VEKTORIELLE GEOMETRIE. DAS DREIDIMENSIONALE KOORDINATENSYSTEM. VEKTOREN. ADDITION VON VEKTOREN 4. SUBTRAKTION VON VEKTOREN 5. ORTSVEKTOREN 6. PARAMETERFORM EINER GERADENGLEICHUNG 7. SCHNITTPUNKTE VON GERADEN 8. DAS SKALARPRODUKT 9. GEOMETRISCHE BEDEUTUNG DES SKALARPRODUKTES 0. EINHEITSVEKTOREN Thomas Kumpan 04 BKFH GHSE

3 () Grundlagen (.) Das Koordinatensystem. Quadrant y Ordinate. Quadrant Abszisse Ursprungsgerade, Winkelhalbierende x Quadrant 4. Quadrant

4 (.) Darstellung von Geraden Normalform einer Geradengleichung: m=steigung b=y-achsenabschnitt y=mx b Beispiel: Wie heißt die Geradengleichung? 5 Steigungswinkel 4,5 α / Steigungsdreiecke Die Gleichung heißt: y= x Die Steigung ist der tan α: m=tan = 0,5 oder,5 oder Setzt man für x eine 0 ein, kann man gleich den ersten Punkt einzeichnen.

5 (.) Seitenverhältnisse im rechtwinkligem Dreieck 5 4 sin = G H Hypotenuse Gegenkathete cos = A H tan = G A α Ankathete 4 - Das Ergebnis sind die jeweiligen Seitenverhältnisse - (.4) Weitere Geradengleichungen Punkt-Steigungsform y=m x x y m=steigung x ; y =Koordinaten eines Punktes P Zwei-Punkte-Form y= y y x x x x y zweiter Punkt P (x /y )

6 (.5) Steigung 5 4 Q(5/4) y Q -y P Steigung: m PQ =tan = y Q y P x Q x P m PQ =tan = 4 5 = 6 = tan α wird immer an der Horizontalen gemessen. P(-/) x Q -x P (.6) Seitenmitte (x/y) B(0/7) x mitte = x A x C x mitte = 0 x mitte =,5 5 4 A(0/0) y mitte = y A y C C(/4) y mitte = 0 4 y mitte = 5 4 Die Mitte liegt bei (,5/)

7 (.7) Schnittpunkte von Geraden Aufgabe: Bestimmen sie zeichnerisch und rechnerisch den Schnittpunkt der Geraden mit den Gleichungen f =x und f = x 5 4 S(/) 4 5 Gleichsetzungsmethode Die Koordinaten des Schnittpunktes müssen beide Gleichungen erfüllen: f = f x = x x = x= x= -/ x + */ Durch Einsetzen von x in die Gleichung f oder f ergibt sich: f =x f = f = Der Schnittpunkt S liegt auf (/).

8 (.8) Orthogonalitätsbestimmung Für senkrecht aufeinander stehende (orthogonale) Geraden gilt: m = m (Die Formel gilt nur bei rechtwinkligen Dreiecken!) 4 f(x) g(x)

9 () Parabeln Aufgabe: Zeichnen sie die Schaubilder folgender Funktionen in ein Schaubild:. y =x. y =x 4. y = x 9 4. y 4 =x x 8 5. y 5 = x 4 x 6. y 6 = x x 4 Wertetabelle: x y y y y y y

10 (.) Quadratische Funktionen Funktionen mit der Funktionsgleichung (allgemeine Form einer Parabelgleichung) Wenn a=0 ist es eine Gerade, da das x wegfällt a: Breite und Richtung der Öffnung c: Schnittpunkt mit der y-achse y=ax bx c Diese Funktionen heißen quadratische Funktionen, ihre Schaubilder heißen Parabeln. Der höchste (bzw. tiefste) Punkt heißt Scheitel. Einfachste Form: y=x (Normalparabel). Wenn a=, b=0, c=0 handelt es sich um eine Normalparabel. (.) Scheitelform y=a x d e Koordinaten des Scheitels: S cheitel d /e Einfluss von a: Wenn a>0: nach oben geöffnet a<0: nach unten geöffnet 0< a <: Parabel gestaucht (breiter) wenn a zwischen 0 und a >: Parabel gestreckt (schmäler) wenn a größer als Von der Scheitelform zur Normalform y= 4 9 x 4 y= 4 9 x 4x 4 4 y= 4 9 x 6 9 x y= 4 9 x 6 9 x 0 9

11 (.) Faktorform y=a x x x x x und x sind die Schnittpunkte mit der x-achse (Nullstellen) Von der Faktorform zur Normalform y= 4 x x 5 9 y= 4 9 x 5x x 5 y= 4 9 x 4x 5 y= 4 9 x 6 9 x 0 9 (.4) Bestimmung der Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-achse) von Parabeln Aufgabe: Bestimmen sie die Nullstellen der Parabel mit der Gleichung: y=x 6x Lösung: pq-formel y=0 setzen (da die Nullstellen immer y=0 haben): 0=x 6x +5 p q p x, = 6 ± 6 5 x, =± 4 x = =5 x = = p q -4

12 pq-lösung Die quadratische Gleichung x px q=0 hat die Lösungen x, = p ± p q Sonderfälle Normalform, wenn p fehlt: x 9=0 x =9 x = x = x 0x 9=0 x, = 0 ± 0 9 x, =± 9 Scheitelform, Scheitel liegt auf der x-achse: x =0 x =0 x= Faktorform, Nullstellen sind schon gegeben: x 5 x =0 x =5 x =

13 (.5) Bestimmung von Parabelgleichungen Nützlich: Lösen von linearen Gleichungssystemen Aufgabe: Bestimme a und b: I a+4b=8 II a-6b= Möglichkeit : Gleichsetzungsverfahren. Beide Gleichungen nach einer Unbekannten auflösen. Gleichungen gleichsetzen. Unbekannte ausrechnen 4. einsetzen in eine Gleichung 5. zweite Unbekannte ausrechnen a 4b=8 I nach a auflösen: a b=4 a=4 b II nach a auflösen: a 6b= a= 6b 4 b= 6b -4 gleichsetzen: b= 6b -6b 8b= b= 4 einsetzen: a 6 4 = a = a=,5 Möglichkeit : Einsetzungsverfahren. Eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen. in die andere Gleichung einsetzen II in I einsetzen: 6b 4b=8 4 b 4b=8 6b=4 b= 4

14 Möglichkeit : Additionsverfahren. Gleichungen so addieren, dass eine Unbekannte eliminiert wird I: II: a+4b= 8 a-6b= *(-) I: a+4b= 8 II: -a+b=-4 }+ 6b=4 b=/4 Beispiel: Gesucht ist eine Parabel y=x px q durch die Punkte A(/) und B(/). Punkte in die Gleichungen einsetzen: I: = p q II: = p q. Additionsverfahren: I: =9+p+q II: =4+p+q *(-) I: =9+p+q }+ II: -=-4-p-q -=5+p p=-7. P einsetzen in eine Gleichung: =4 7 q = 0 q q= Die Parabel heißt: y=x 7x Exkurs: Passante, Tangente, Sekante Passante Tangente Sekante Passante: geht an Funktion vorbei Tangente: trifft die Funktion in genau einem Punkt Sekante: trifft in die Funktion in zwei oder mehr Punkten

15 (.6) Bestimmung von Steigungen Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit f x = 4 x. Gesucht ist die Steigung der Tangente im Punkt p(/?).. Legen Sie eine Wertetabelle an (-4 x 4); schrittweise 0,5 und zeichnen sie das Schaubild.. Bestimmen sie die Steigungen der Sekanten durch P und Q n, wobei Q n immer näher an P heranrückt. Q soll nacheinander die x-werte 4,,,,,5,,,,0,,00,,000 annehmen x -4,0 -,5 -,0 -,5 -,0 -,5 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5,0,5,0,5 4,0 y 4,00,06,5,56,00 0,56 0,5 0,06 0,00 0,06 0,5 0,56,00,56,5,06 5, Q(x Q /y Q ) Steigung: m= y Q y P x Q x P m= /4x Q /4 x Q P(/0.5) y 4=,5 = = 0,75 = error,0= 0,505,00=0,505,000=0,500 Der Wert der Steigung ist 0,5 x Ergebnis: Rückt Q immer näher an P heran, so nähert sich der Wert der Sekantensteigung immer mehr dem Wert der Tangentensteigung. Man sagt, die Tangentensteigung ist der Grenzwert der Sekantensteigungen, wenn x Q gegen x P strebt. Man schreibt: Sekantensteigung: m S = y x = y y Q P x Q x P ( Differenzenquotient) Tangentensteigung: m S = lim y x 0 x = lim x 0 y Q y P x Q x P ( Differentialquotient) Man spricht: Limes von x 0 y Q y P x Q x P für x Q (strebt) gegen x P (Limes = Grenze, Grenzwert)

16 Die Berechnungsvorschrift für die Tangentensteigung heißt auch erste Ableitung von f und wird mit f' (f Strich) bezeichnet: m T = f ' Beispiele: f x = 4 x f ' x = x f x =x f ' x =x f x = x 6 5x f ' x =x 5 5 f x = 4x f ' x = 8x f x = 7x 4 x f ' x = 8x x f x =x f ' x = (.7) Regeln zur Bestimmung der Ableitung f(x) f'(x) x n n*x n- a*x n +b a*(n*x n- ) Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten, ein konstanter Summand fällt weg. x x (Wenn man hier eine einsetzt, erhält man die Steigung der Funktion x im Punkt x=)

17 (.8) FAQ. Steigung des Schaubildes der Funktion f mit f x =x 4 im Punkt P(/-) P(/-) -4 Steigung = erste Ableitung Steigung an der Stelle x=: Erste Ableitung: f ' x =x Steigung bei x=: Einsetzen: f ' = = Also hat die Steigung im Punkt P(/-) (d.h. an der Stelle x=) den Wert. das ist gleichzeitig die Steigung der Tangente in diesem Punkt.. In welchem Punkt Q hat die Steigung den Wert -? Zunächst muss der x-wert bestimmt werden, bei dem die Steigung - beträgt:. Ableitung = Steigung: f ' x =x= f ' =x x=,5 An der Stelle x=-,5 hat die Steigung den Wert -.. Berechnung des zugehörigen y-wertes y-wert: f x = f,5 f x =,5 4 f x =,75 Punkt Q(-,5/-,75)

18 () Ganzrationale Funktionen Eine Funktion f mit f x =a n x n a n x n... a x a 0 x 0 heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades. a n 0, n N 0 für N=0,,,,... Ihr Definitionsbereich ist R (alle realen Zahlen). Das Schaubild heißt Parabel n-ter Ordnung (nur für n>, sonst wäre es eine Gerade). Der Funktionsterm lässt sich auch als Polynom schreiben, z.b. 6x 0x 56= x 7 x 8. Die in Klammern stehenden Terme heißen auch Linearfaktoren. f x =x 4 6x 0x x 9x 0 f x =x 4 6x x 9

19 (.) Bestimmung von Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-achse) f x =0 (.) Bestimmung von Extrempunkten TP : TP : HP: globales Minimum (tiefster Punkt der Kurve) lokales Minimum (tiefster Punkt in der Umgebung) lokales Maximum HP TP TP In den Extrempunkten ist die Steigung der Kurve, und damit die Tangentensteigung gleich Null. Notwendige Bedingung: Hinreichende Bedingung: f'(x)=0 f''(x)>0 (Minimum) f''(x)<0 (Maximum)

20 Beispiel: Nullstellen und Extrempunkte an der Funktion f x = x 4 Scheitel f x = x f x = x x f x = x x Beim Scheitel ist die Steigung Null f ' x = x Die Steigung von f ist Null, das heißt f' hat eine Nullstelle: f'(x)=0 Die Steigung von f und damit der Funktionswert von f' wechselt mit zunehmenden x-werten von positiven zu negativen Werten f ' ' x = Die zweite Ableitung, das heißt die Steigung der ersten Ableitung, ist dann negativ (f''(x)<0). Für Tiefpunkte gilt entsprechendes f''(x)<0 HP

21 (.) Bestimmung von Wendepunkten 6 4 f''(x) f'(x) f(x) f x = x 5x f ' x =x 5 f ' ' x =6x In den Wendepunkten wechselt die Kurve von einer Rechtsdrehung in eine Linksdrehung oder umgekehrt. Die Steigung hat in diesen Punkten ein Minimum oder Maximum. Die Steigung f'' der Steigungsfunktion f' ist also gleich 0 f''(x)=0. Sonderfall: Sattelpunkt Beispiel: x 4 Wendepunkt mit waagerechter Tangente: f ' x =0 f ' ' x = Sattelpunkt - -4 Sattelpunkte haben alle ungeraden Funktionen: x ; x 5 ; x 7 ; x 9...

22 (.4) Bestimmen von Funktionsgleichungen Beispiel: Bestimme die Funktionsgleichung von f x =ax bx c anhand der Grafik 0 Scheitel: p()=9 Steigung im Scheitel: p'()=0 8 6 Schnittpunkt mit y-achse: p(0)=5 4 Schnittpunkt mit der x-achse: Nullstellen: p(5)=0 p(-)= Daraus resultiert: p(0)= c=5 p(5)=0 5a+5b+5=0 p(-)=0 a-b+5=0 p()=9 4a+b+5=9 p'()=0 4a+b=0 Möglichkeit : Additionsverfahren I: a-b+5=0 a einsetzen in eine Gleichung: 4a b=0 II: 4a+b =0 } + 4 b=0 5a +5=0 b=4 5a =-5 a=- a und b einsetzen in vorgegebene Funktion: f x = x 4x 5 Möglichkeit : Werte in Scheitelform einsetzen f x = x 9 f x = x 4x 4 9 f x = x 4x 5 Möglichkeit : Werte in Faktorform einsetzen f x = x x 5 f x = x 5x x 5 f x = x 4x 5

23 (.5) Tangenten von einem Punkt aus an eine Funktion legen Aufgabe: Legen sie vom Punkt P(-/-0,75) Tangenten an das Schaubild der Funktion f mit f x = 4 x. 4 f(x) Wir wissen: f x B = 4 x B P(-/-0,75) x - B(x B /y B ) y T m= f ' x B = x B m= y x = y y B P x B x P m= y B 0,75 x B - Daraus ergibt sich: m= y B 0,75 x B x B= 0,5 x B 0,75 x B x B x B = 4 x B 7 4 x B x B= 4 x B x B x B 7 4 =0 x B = x B = 7 Berührungspunkte an der Funktion f: Berührungspunkt B : y B = f x B = f = 5 4 Berührungspunkt B : (/,5) Berührungspunkt B : y B = f x B = f 7 = 4 Berührungspunkt B : (-7/,5)

24 Bestimmung der Tangentengleichungen: Tangente T : f T x =m x b m= f ' =0,5 4 = b b = 4 f T x = x 4 Tangente T : f T x =m x b m= f ' 7 =,5 4 =,5 7 b b =,5 f T x =,5 x,5

25 (.6) Das Newtonsche Näherungsverfahren (zur Bestimmung von Nullstellen) 5 4 P (x /x ) y P Q(x /0) x m= y x = y y x x f ' x =m f x = y x haben wir ausgewählt, x ist gesucht Herleitung: f ' x = f x 0 x x *(x -x ) f ' x x x = f x /f'(x) x x = f x f ' x -x x = x f x f ' x *(-) x =x f x f ' x Durchführung:. Wähle einen Punkt P (x /y ) in der Nähe der Nullstelle. Bestimme den Schnittpunkt Q(x /0) der Tangente durch P mit der x-achse: x =x f x f ' x. Wiederhole das Verfahren mit dem Punkt P (x /y )

26 Beispiel: f(x)=x +x- f'(x)=x + Wir wählen den Anfangswert x =0,5: x =x f x f ' x x =x x x x x =0,5 0,5 0,5 0,5 Taschenrechnereingabe (TI-8+):. 0,5 x (x den Wert 0,5 zuweisen). x x x x (Ergebnis der Näherung in x speichern) Ergebnis:. Näherung: 0, Näherung: 0,4598. Näherung: 0,45977 Die Nullstelle liegt bei 0,45.

27 (.7) Eliminationsverfahren nach Gauß zur Berechnung linearer Gleichungssysteme Beispiel: Gesucht ist eine Parabel zweiten Grades, die durch die Punkte A(-/), B(/) und C(-/) geht. f(x)=ax +bx+c f(-)= f()= f(-)= 9a+b+c= a+b+c= a-b+c= Vorgehensweise des TI-8+ Nullsetzen setzen a b c d }- }+ *9 /6 } / /(-) /(-8) -/ /9 /9 0 / / 0 0 5/ Eingabe in den TI 8+. y [edit] [*4] a (Zeilenzahl*Spaltenzahl). Werte eingeben. y [A] selektieren (ref) 4. (Anzeige ref) y (Matrix auswählen) a a Ergebnis direkt: ƒ [B] y a a

28 (.8) Extremwertprobleme B P(u /-0,4u+) A(u)=-0,4u +u 0 f(x)=-0,4u A u - - Aufgabe: Dem Dreieck 0AB soll ein Rechteck einbeschrieben werden, so dass sein Flächeninhalt möglichst groß wird. Bestimmen sie die Rechtecksseiten.. Extreme Größe feststellen: Hier: Flächeninhalt des Rechtecks. Definition einer Variablen: u sei eine Rechteckseite. Zielfunktion Hier: Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Rechtecks: A=a*b A(u)=u*(-0,4u+) A(u)=-0,4 +u 4. Untersuchung der Zielfunktion auf Extrempunkte: A ' u = 0,8u =0 0,8 u= u=,5 einsetzen: y= 0,4,5 = überprüfen: A ' ' u = 0,8 0 Maximum 5. Das Rechteck mit den Seitenlängen,5 und,0 hat den maximalen Flächeninhalt

29 (4) Integralrechnung (4.) Stammfunktion 4 f x = x Randfunktion /x x Flächeninhaltsfunktion des Dreiecks: F Dreieck = a b F x = x x= 4 x F ' x = x Die Randfunktion f(x) ist die erste Ableitung der Flächeninhaltsfunktion F(x): f(x)=f'(x) Jede Funktion F(x), für die diese Gleichung gilt, heißt auch Stammfunktion von f. Ist F Stammfunktion von f, dann sind auch alle Funktionen F+c (c=konstant) Stammfunktionen von f: F'(x)=f F'+c=f

30 Regel zur Ermittlung einer Stammfunktion: F x = n x n Beispiele: f x =7x 4 6x F x =7 5 x 5 6 x x f x = x 5 8=x 0x F x = x 5x x f x =x x x =x x x F x = x x 8 x 4

31 (4.) Berechnung von Flächeninhalten durch Integration A 0 (a) A a (b) f(x) 0 a b Für die Berechnung eines Flächeninhaltes im. Quadranten zwischen Randfunktion f(x) und x-achse im Intervall [a;b] (A a (b)) gilt: A a b =A 0 b A 0 a A a b =A b A a A a b =[ A x ] a b A(x) ist die Stammfunktion (Flächeninhaltsfunktion) von f(x). Integralschreibweise b A a b = a f x dx=[ A x ] a b = A b A a f(x): Integrand x: Integrationsvariable a: untere Grenze b: obere Grenze

32 (5) Exponential- und Logarithmusfunktionen (5.) Rechnen mit Potenzen und Wurzeln a=basis n=exponent (Hochzahl) a n =a*a*a*a*...*a (n-mal) Gesetze. a 0 =. a =a. a = a x 4. a x a y =a x y 5. a x x y y=a a 6. a x b x = a b x 7. a x b = a x b x 8. a x y =a x y 5 9. a 5 =a 0. a =a. n a=b a=b n

33 Übungen:.. 5a b 4 a 4 b =5 a 6 b 7. 5b n x 5b x = bn 4. a 4x b a x b=ax b 4a 5x n 5a 4 0a5x a =4 n 4 5 a5x 5 6 a5x 4 = 0 a5x 4 5. [ n x ] =n 8 x 6. 4 b 5 b 5 =4b 5 b 5 =b 5 7. n a b n = a n n b n =a b 8. a a =a a =a 9. 6 n4 x n x = n 6 x = n 6 6 n 4 =n x = 6 4 =6. a0 a 4 a 7. x= x x= x = x = a 4 7 = a =a Eine Funktion f x =a x mit a R \ {} (a Element R plus ohne ) heißt Exponentialfunktion zur Basis a. Für eine Funktion f x =b a x gilt: f 0 =b a 0 =b (der Anfangswert) a ist der Faktor, um den der Funktionswert zu- oder abnimmt, wenn der x-wert um größer wird (der Wachstumsfaktor). Beispiel: f x =b x Nimmt x um zu, so verdreifacht sich der Funktionswert f(x). Wachstum, wenn a> ist Beispiel: f x =b x 4 Nimmt x um zu, so teilt sich der Funktionswert f(x) durch 4. Negatives Wachstum bzw. Zerfall, wenn 0<a< ist

34 (5.) Logarithmusfunktionen 4 f(x)= x Spiegelachse g(x)=log x Logarithmusfunktionen entstehen durch Spiegelung von Exponentialfunktionen an der Winkelhalbierenden (Spiegelachse). Derart gespiegelte Funktionen nennt man auch Umkehrfunktionen. Rechnerische Umwandlung: Beispiel: y=x x und y vertauschen: x= y Andere Schreibweise: y=log x (sprich: 'Logarithmus von x zur Basis ' oder 'Zweierlogarithmus von x') zwei ist die Basis, x ist der Numerus

35 (5.) Rechnen mit Logarithmen a x = y x=log a y Gesetze. log b x y =log b x log b y. log b x y =log b x log b y. log b x y = y log b x Sonderfälle. log b =0. log b b= Taschenrechnereingabe TI8+ Beispiel: log 5 ; ; (5) () = A A 5

36 (5.4) Die natürliche Exponentialfunktion f x =e x Eulersche Zahl e n e= n =, Stammfunktion und Ableitung Beispiele: F(x) f(x) f'(x) e x e x e x a*e x a*e x a*e x b e bx ebx b*e bx F(x) f(x) f'(x) f''(x) /4e x /e x e x e x x /e x e x /e x /9 e (5.5) Die natürliche Logarithmusfunktion f x =ln x Sie ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ln: ln x: logarithmus naturalis Logarithmus von x zur Basis e log e x y=e x x=ln y

37 (6) Trigonometrische Funktionen (6.) Das Bogenmaß α Bogenmaß b Kreisumfang: Im Einheitskreis (r=) ist: U= r U= Das Bogenmaß b ist die zu einem bestimmten Winkel α gehörende Bogenlänge im Einheitskreis. Ist b 60, ist das Bogenmaß U=. Es gilt: b = 60 b verhält sich zu α wie der Umfang zu 60 Daraus ergibt sich: b= 60

38 Beispiele: 90 (π/) Mathematisch positiv (π) (π) -0.5 Mathematisch negativ (-π/) (/π)

39 (6.) Die Sinusfunktion sin α -0.5 π/6 0 π/ π/ π 4 /π π 60 - sin α = sin (80 -α) sin x = sin (π-x) Periode π Die Zuordnung α sin(α) f =sin heißt Sinusfunktion. Im Bogenmaß: f b =sin b (übliche Schreibweise: f x =sin x x=bogenlänge)

40 (6.) Ableitungen.5 f'(x)=0 f'(x)=steigung von f(x) 0.5 f'(x)= f'(x)=- 4 6 f(x)=sin(x) f(x) f x =sin x f x =sin ax f x =cos x f'(x) f ' x =cos x f ' x =a cos ax f ' x = sin x Beispiele: F(x) f(x) f'(x) f''(x) /sin x cos x sin x 4 cos x /4cos x / sin x cos x sin x

41 (6.4) Die 'reine' Sinusfunktion f x =sin x Amplitude (maximale Auslenkung aus der Nulllage) Periode π: Nach einer Periode wiederholt sich der Vorgang Bei Schwingungsvorgängen mit zeitlichem Bezug: Periodendauer T: Zeit für eine vollständige Schwingung Frequenz f: Anzahl der Perioden pro Sekunde: f = T Beispiel: Frequenz unseres Wechselstromes f=50 Hz (Hertz): 50 s Periodendauer: T= f = 50 /s =0ms

42 (7) Vektorielle Geometrie (7.) Das dreidimensionale Koordinatensystem x x 4 D A 0 C B A(//4) B(0//4) C(0/0/4) D(/0/4) E(/0/0) F(//0) G(0//0) 0 E F G x (7.) Vektoren Vektoren stellen eine Verschiebung dar. Der Vektor a= (Repräsentant der Pfeilklasse) bedeutet eine Verschiebung um eins in x -Richtung, um in x -Richtung und um in x -Richtung. Vektoren werden durch Pfeile dargestellt. Sie können parallel verschoben werden. Die Menge aller im dreidimensionalen Raum existierenden Vektoren heißt dreidimensionaler Vektorraum V. Ein Vektor AB mit der Länge Null heißt Nullvektor. Die zugehörige Verschiebung heißt identische Abbildung. Der Vektor BA ist der Gegenvektor zu AB.

43 (7.) Addition von Vektoren Methode : Aneinanderreihen a a+b b - Methode : Parallelogramm b a a+b Berechnung (Beispiel) a= 4 b= 0 6 a b= = = 4 9

44 (7.4) Subtraktion von Vektoren a b= a b (Addition des Gegenvektors) a -b+b -b b (7.5) Ortsvektoren a= A(/) Der Vektor, der eine Verschiebung vom Ursprung zum Punkt A(/) darstellt, heißt Ortsvektor a von A.

45 (7.6) Parameterform einer Geradengleichung 4 P p-u p -u P 0 u P x = p t u p+u u p+u P 4 - x p ist ein Ortsvektor, der zu einem beliebigen Punkt auf der Geraden zeigt. Man nennt ihn Stützvektor p. u ist der Richtungsvektor, der in Richtung der Geraden zeigt (Länge beliebig außer Null). Die Variable t heißt Parameter und durchläuft alle reellen Zahlen R. Beispiel: 4 f x = x g : x= 0 / t - 4 -

46 (7.7) Schnittpunkte von Geraden Um zu überprüfen ob sich zwei Geraden schneiden, setzt man ihre Gleichungen gleich. Dabei unterscheidet man folgende Fälle:. Eine Lösung Schnittpunkt. unendlich viele Lösungen Geraden sind identisch. keine Lösung keinen Schnittpunkt Parallel, wenn Richtungsvektoren linear abhängig sind (einer ist ein Vielfaches des anderen) sonst windschief (7.8) Das Skalarprodukt a= a Für zwei Vektoren a und a b= b b b, die den Winkel γ einschließen, gilt: a b= a b cos oder a b=a b a b a b Betrag von a : a = a a a

47 (7.9) Geometrische Bedeutung des Skalarproduktes b b Grün: Länge (Betrag) der Vektoren γ b *cos γ A= a + b *cos γ a a Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine reelle Zahl. Diese ist ein Maß für den Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seiten a b cos. Sonderfälle. =90 a b=0 a ist orthogonal zu b. =0 a b= a b linear abhängig (gleiche Richtung)

48 Beispielaufgaben Beispiel: Gegeben sind die Punkte A(//), B(/4/), C(5/0/).. Wie weit ist B von A entfernt?. Steht AB senkrecht auf BC?. Welchen Winkel bildet AC mit AB?. Betrag des Vektors BA : BA = a b = = 4 = =,74. AB BC= b a c b AB BC= AB BC= 4 AB BC= 4 AB BC = Der Vektor AB steht nicht orthogonal auf dem Vektor BC :- 0. AC= 4 cos = AB= AC AB AC AB = 8 4 =0,8898 =79,

49 Beispiel: Untersuchen sie die folgenden Geraden auf Schnittpunkte: : +t=+r : +0t=+r : +t=+0r Aus : +0t=+r r=0 Aus : +t=+0r t= g : x= Einsetzen in : +*=+*0 = Es gibt einen Schnittpunkt! = 0 t 0 h : x r Beispiel.: Wo ist der Schnittpunkt? Einsetzen von r in h (oder t in g): s= 0 0 = Der Schnittpunkt ist bei SP(//). Beispiel: Untersuchen der Geraden auf Schnittpunkte: g : x= = t h : x 5 r 4 (Man sieht, dass die Geraden entweder parallel oder aufeinander liegen, da die Richtungsvektoren linear abhängig sind) I: +t= -r II: --t=-5+r } + III: -+4t=-r - =- -8 =-8 * } + Allgemein gültige Aussage: unendlich viele Lösungen (h und g sind identisch).

50 Beispiel4: Untersuchen der Geraden auf Schnittpunkte x= 9 = 4 4 g : 5 t h : x r I: II: III: + t=4+r 5+t=+r +9t=4+r -+t=-6 t=-5 *(-)} + Einsetzen in : -5=4+r r=-6 Einsetzen in : +9*(-5)=4+*(-6) -45= =-4 Die Geraden sind windschief, da sie nicht parallel sind. Es gibt keinen Schnittpunkt.

51 (7.0) Einheitsvektoren Ein Vektor mit der Länge Eins nennt man Einheitsvektor..5.5 u 0.5 u u 0 = = u u u= u u 0