Günter M. Gramlich. Mathematik-Studienhilfen. Eine Einführung. Lineare Algebra. 2., aktualisierte Auflage

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1 Günter M. Gramlich Mathematik-Studienhilfen Lineare Algebra Eine Einführung 2., aktualisierte Auflage

2 Günter M. Gramlich Lineare Algebra

3 Mathematik - Studienhilfen Herausgegeben von Prof. Dr. Bernd Engelmann Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig (FH) Fachbereich Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften Zu dieser Buchreihe Die Reihe Mathematik-Studienhilfen richtet sich vor allem an Studenten technischer und wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen an Fachhochschulen und Universitäten. Die mathematische Theorie und die daraus resultierenden Methoden werden korrekt aber knapp dargestellt. Breiten Raum nehmen ausführlich durchgerechnete Beispiele ein, welche die Anwendung der Methoden demonstrieren und zur Übung zumindest teilweise selbständig bearbeitet werden sollten. In der Reihe werden neben mehreren Bänden zu den mathematischen Grundlagen auch verschiedene Einzelgebiete behandelt, die je nach Studienrichtung ausgewählt werden können. Die Bände der Reihe können vorlesungsbegleitend oder zum Selbststudium eingesetzt werden. Bisher erschienen: Dobner/Engelmann, Analysis 1 Dobner/Engelmann, Analysis 2 Dobner/Dobner, Gewöhnliche Differenzialgleichungen Gramlich, Lineare Algebra Gramlich, Anwendungen der Linearen Algebra Knorrenschild, Numerische Mathematik Knorrenschild, Vorkurs Mathematik Martin, Finanzmathematik Nitschke, Geometrie Preuß, Funktionaltransformationen Sachs, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stingl, Operations Research Linearoptimierung Tittmann, Graphentheorie

4 Lineare Algebra Eine Einführung von Prof. Dr. Günter M. Gramlich 2., aktualisierte Auflage mit 44 Bildern, 122 Beispielen und 67 Aufgaben Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

5 Autor Prof. Dr. Günter M. Gramlich Hochschule Ulm Fakultät Grundlagen Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek: Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung mit Ausnahme der in den 53, 54 URG genannten Sonderfälle -, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 2009 Carl Hanser Verlag München Lektorat: Christine Fritzsch Herstellung: Renate Roßbach Satz: Günter M. Gramlich, Ulm Druck und Binden: Druckhaus Thomas Müntzer GmbH, Bad Langensalza Printed in Germany

6 Vorwort Vorlesungen zur Linearen Algebra gehoren zu den Pflichtveranstaltungen der mathematischen Grundausbildung von allen Studenten der ingenieurwissenschaftlichen, wirtschaftwissenschaftlichen, naturwissenschaftlichen sowie informations- und kommunikationstechnischen Fachrichtungen an Fachhochschulen, Hochschulen und Universitaten. Das in einem Band erscheinende Arbeits- und Ubungsbuch zur Linearen Algebra in der Reihe Mathematik-Studienhilfen gibt eine knappe, konzentrierte Darstellung der wesentlichen Begriffe, Ergebnisse und Methoden und stellt das Einuben und Trainieren dieser anhand zahlreicher Beispiele mit vollstandigen Losungen in den Mittelpunkt. Das Buch eignet sich daher insbesondere zum Selbststudium und zur Prufungsvorbereitung. Die zentralen Gleichungen der Linearen Algebra sind lineare Gleichungssysteme Ax = b und Eigenwertgleichungen Ax = λx. Es ist einfach faszinierend, wie viel man uber diese beiden Gleichungen sagen (und lernen) kann. Viele Anwendungen sind diskret und nicht kontinuierlich, digital anstatt analog und linearisierbar anstatt unberechenbar und chaotisch. Dann aber sind Matrizen und Vektoren die geeigneten Objekte und die Lineare Algebra die richtige Sprache; an die Stelle von kontinuierlichen Funktionen treten Vektoren. Unser Buch ist so angelegt, dass es in der vorgegebenen Reihenfolge, ohne Auslassungen, sicher aber mit haufigem Zuruckblattern, bearbeitet werden kann. Die Satze sind grau unterlegt, durchnummeriert und (fast) jeder Satz mit einem Namen versehen. Eine Definition erkennt man nicht daran, dass davor Definition steht, sondern daran, dass der zu definierende Begriff fett gedruckt ist. An zahlreichen Beispielen konnen Sie die zentralen Begriffe und Methoden der Linearen Algebra trainieren. Jedes Kapitel beinhaltet Aufgaben, deren Losungen am Ende abgedruckt sind. Sie finden zwei Sorten von Aufgaben. Zum einen ganz einfache Kastchenaufgaben bzw. Richtig- oder Falsch-Aufgaben, diese dienen zur unmittelbaren Selbstkontrolle und zum anderen die eigentlichen Aufgaben. Bei diesen habe ich mich bemuht, keine unnotigen Tricks einzubauen, sondern Ihnen Erfolgserlebnisse zu ermoglichen. Das Sachwortverzeichnis ist recht ausfuhrlich angelegt, um das Auffinden von Definitionen und Erlauterungen beim Zuruckblattern oder bei der spateren

7 6 Arbeit mit dem Buch zu erleichtern. Beweise habe ich nur dann gefuhrt, wenn sie wesentlich zum Verstandnis der betrachteten Zusammenhange beitragen. In der Regel werden mathematische Satze jedoch nur formuliert und ihre Bedeutung wird an Beispielen aufgezeigt. Sind Sie an vollstandigen Beweisen interessiert, so verweise ich Sie auf die angegebene Literatur. Ich habe mich bemuht, Bezeichnungen konsistent uber das ganze Buch hinweg zu verwenden. Punkte, Mengen und lineare Abbildungen werden mit großen lateinischen Buchstaben A, B, C, usw. bezeichnet. Besonders wichtige Mengen, wie zum Beispiel die reellen Zahlen R werden ebenfalls mit großen lateinischen Buchstaben geschrieben, daruber hinaus sind sie aber noch fett gedruckt. Reelle Zahlen sind kleine lateinische a, b, c,... oder griechische Buchstaben α, β, γ, usw. Vektoren und Matrizen sind fett und kursiv geschrieben; Vektoren sind kleine ( a, b, c usw.) und Matrizen sind große lateinische Buchstaben (A, B, C, usw.). Das vorliegende Buch habe ich vollstandig in LATEX mit der Hauptklasse scrbook des KOMA-Script Pakets erstellt. Die Literaturhinweise wurden mit BibTEX und der Index mit MakeIndex erzeugt. Alle Bilder wurden mit Hilfe von PSTricks erstellt. Ohne diese schonen Tools ware dies alles viel schwieriger gewesen. Fur jede Anregung, nutzlichen Hinweis oder Verbesserungsvorschlag bin ich dankbar. Sie konnen mich uber Post oder gramlich@hs-ulm.de erreichen. Auch nachdem das Buch in Druck gegangen ist, wird es weiterleben. So finden Sie auf meiner Homepage eine standig aktualisierte Fehlerliste zu diesem Buch, die.bib-datei, in der die von mir angegebene Literatur steht und weitere interessante Links zur Linearen Algebra. Ich danke meinem Kollegen Klaus Ressel und meinen Studenten Karin Lehner, Christian Beck und Stefan Polzer, die durch Hinweise auf Druck- oder Denkfehler, oder einfach durch ihr fachliches oder didaktisches Interesse an diesem Buch und seinem Inhalt, zur Verbesserung des Textes beigetragen haben. Dank an Herrn Engelmann fur die Aufnahme in diese Reihe und an Frau Fritzsch fur die vielen Hinweise zur Gestaltung dieses Buchleins. In der zweiten Auflage habe ich an zahlreichen Stellen Anderungen, Glattungen und Verbesserungen vorgenommen. Ulm, im November 2008 Gunter M. Gramlich

8 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Elementare Umformungen und Zeilenstufenformen Das Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren Mehr uber Matrizen Operationen mit Matrizen Die Matrixform eines linearen Gleichungssystems Losen quadratischer Systeme durch Matrixinvertierung Weitere Bemerkungen und Hinweise Vektoren in der Ebene und im Raum Geometrische Vektoren Vektoren in Koordinatensystemen Rechenregeln fur Vektoren in Koordinatendarstellung Die Lange von Vektoren Das Skalarprodukt Das Kreuzprodukt Weitere Bemerkungen und Hinweise Analytische Geometrie von Geraden und Ebenen Darstellungen von Geraden Darstellungen von Ebenen Weitere Bemerkungen und Hinweise Reelle Vektorraume und Unterraume Die Vektorraum-Definition Der Vektorraum R n Weitere Beispiele von reellen Vektorraumen Untervektorraume Der Nullraum einer Matrix Linearkombinationen Die vier Fundamentalraume einer Matrix Der Spaltenraum und lineare Gleichungssysteme

9 8 Inhaltsverzeichnis 4.9 Lineare Unabhangigkeit Basis und Dimension Die Struktur der Losungsmenge von Ax = b Basen des Zeilen-, Spalten- und Nullraumes einer Matrix Die Dimensionen der vier Fundamentalraume Der Euklidische Vektorraum R n Die Orthogonalitat der vier Fundamentalraume Orthogonale Projektionen Lineare Ausgleichsrechnung Orthogonal- und Orthonormalbasen Weitere Bemerkungen und Hinweise Determinanten Die Determinante einer (2, 2)-Matrix Verallgemeinerung auf (n, n)-matrizen Determinanten und lineare Systeme Weitere Bemerkungen und Hinweise Eigenwerte und Eigenvektoren Wie berechnet man Eigenwerte und Eigenvektoren? Diagonalisierung einer Matrix Orthogonale Matrizen Diagonalisierung mit orthogonalen Matrizen Weitere Bemerkungen und Hinweise Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen von R n nach R m Beispiele linearer Abbildungen Weitere Bemerkungen und Hinweise Losungen 187 Literaturverzeichnis 195 Sachwortverzeichnis 196

10 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen The simplest model in applied mathematics is a system of linear equations. It is also by far the most important. Gilbert Strang In vielen realen, aber auch innermathematischen Problemen treten lineare Gleichungssysteme auf; ihre Behandlung ist eines der wichtigsten Themen der Linearen Algebra. InderElektrotechnik etwa fuhrt die Anwendung der Kirchhoffschen Knotenregel fur Schaltkreise auf lineare Gleichungssysteme, Bilanzaufgaben in Technik und Okonomie werden mit linearen Systemen modelliert. Innerhalb der Mathematik werden Losungen nichtlinearer Gleichungssysteme und Optimierungsaufgaben mit linearen Systemen gesucht (Quasi-Newton-Verfahren). Interpolationen und Approximationen von Kurven und Flachen mittels Spline- und anderer Funktionen fuhren auf lineare Systeme. Die Integration von Anfangswertaufgaben bei Systemen gewohnlicher Differenzialgleichungen, die Diskretisierung von Randwertaufgaben bei gewohnlichen und partiellen Differenzialgleichungen mittels Differenzenverfahren oder finiter Elemente oder das Losen von Anfangs- und Randwertaufgaben bei partiellen Differenzialgleichungen fuhrt uber lineare Gleichungssysteme zur Losung. Zur sachgerechten Behandlung mathematischer Probleme der Technik und Wirtschaft, etwa zu Netzwerkberechnungen in der Elektrotechnik oder zur Berechnung von Fachwerken in der Statik, zur Losung von Transportproblemen oder anderen Optimierungsaufgaben, zur qualitativen und quantitativen Diskussion mechanischer dynamischer Systeme bedient man sich der Matrizenrechnung. 1.1 Lineare Gleichungssysteme Die Gleichung 2x 5=3 ist eine lineare Gleichung, weil die Variable x linear in ihr vorkommt. Lost man die Gleichung 2x 5=3nachderUnbekanntenx auf, so erhalt man die Losung x =4.